学习线性代数线数四章

§4.5行列式的应用

一.求解线性方程组克莱姆法则（Cramer法则）

定理4．5．1(Cramer法则)

如果线性方程组的系数行列式不为零，即那么该方程有唯一解：其中重要结论结论1

如果线性方程组(1)的系数行列式则（1）一定有解,且解是唯一的.结论2

如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.齐次线性方程组的相关定理定理齐次线性方程组（2）的系数行列式当且仅当齐次线性方程组（2）有非零解.1.用克拉默法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.注意2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系

数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.

例对于方程组试讨论当a取何值时，它有唯一解？无穷多解？无解？并在有解时求出解。解方法一

“Gauss消元法”，略。方法二方程组的系数行列式于是由Gramer法则可知：（i）当，时，方程组有唯一解：(ii)当时，方程组有无穷多解，用Gauss消元法得一般解其中为任意常数。

（iii）当时，故方程组无解.例已知齐次线性方程组有非零解，求a。

解因为有非零解，所以由推论得：所给齐次方程组的系数行列式等于零，即于是或。例对于方程组

▌

讨论当a取何值时，它有唯一解？无穷多解？无解？

解易得所给方程组的系数行列式情况一．且因，故方程组有唯一解。情况二．因故对应阶梯形方程组有矛盾方程，此时方程组无解。情况三．因

故对应阶梯形方程组无矛盾方程，且方程个数小于未知数个数，此时方程组有无穷多个解。▌定义4.5.1

设A为n阶方阵，二.方阵的行列式称为矩阵A的行列式。记为或det。

定理4.5.2初等矩阵的行列式非零，且有

定理4.5.3

若P为初等矩阵，则

推论：若

其中

为初等矩阵，则有定理4.5.4

若A、B为同阶方阵，则

det(AB)=detAdetB

推论若为n阶方阵，则有另外，容易证明，关于n

阶方阵的行列式还有如下结论：其中k为任意数；（当可逆）；其中

为方阵。由数学归纳法可证明，（4）的结论可推广到一般的准上（下）三角阵的情形，特别地，有其中为方阵；

若为正交矩阵，则。三.矩阵可逆的条件

设是中元素的代数余子式。将这个数按如下方式排成一个阶方阵，记作，即称为矩阵的伴随矩阵。的伴随矩阵为例如，矩阵由行列式的性质可知，的第行,第列的元素为于是类似地，有,因此其中为的伴随矩阵。

定理4．5．5

方阵可逆的充分必要条件是，且当可逆时证

充分性：若

,则式(4.5.8)可变成

必要性:

若可逆，则。对上式两边取行列式，有于是由矩阵可逆的定义知,矩阵可逆，且其逆矩阵故

例4．5．5

下列矩阵是否可逆？若可逆，则求出其逆矩阵

解求得，因此可逆。记，于是其各元素的代数余子式分别为故从而

当时,可逆，其逆也为对角阵，且

当时，可逆，其逆矩阵为

例４.5.７设可逆，是的伴随矩阵。试证：可逆，且

证由定理4.5.5可知由此得于是于是可逆，且（当A可逆）；（其中k为任意数）；设为阶方阵，与相关的结论还有:（当A可逆时）。对于准下三角阵有因此,准下三角阵对于准上三角阵也有相同的结论特别地，准对角阵当准对角阵可逆时同时，四、行列式与矩阵的秩

定理4．5．6

设为n阶方阵，则满秩即的充要条件是定义4．5．2

设矩阵，任取的k个行行）和k个列列）的交叉点上的个元素，并按原来顺序排列成的k阶行列式称为的一个k阶子式；特别地，当时，称之为的一个k阶主子式.

例如，对矩阵来说都是的子式，且其中还是的主子式。一般地，矩阵的秩与行列式有如下关系：

定理4．5．7

设，秩（）=r的充要条件是有一个r阶子式不为零，且所有r+1阶（若有的话）子式全为零。由该定理可判断矩阵或向量组的秩。例已知4阶方阵可逆，求下列齐次线性方程组

的一般解。

解设分别表示元素的代数余子式。

令，代入方程组。由行列式的性质得，恰为方程组的一个解。

因A可逆，故

所以不全为零，即是上述齐次方程组的一个非零解。

因此，所求一解为，这里k是任意常数。

由此得所给齐次方程组的基础解系只含一个解，于是，非零解就是一个基础解系。所给方程组的系数矩阵的每个3阶子式都是矩阵A的第一行某一元素的余子式，而已得不全为零，故矩阵B至少有一个3阶子式不等于零，所以B的秩为3。▌例设A

为n阶方阵，且秩(A)=n–1，则秩(A*)=1

证明因秩(A)=n–1，故A不满秩，所以|A|=0。由此得由

秩(A)+秩(A*)≤n

得

秩(A*)≤n–秩(A)=n–(n–1)=1

又因秩