常微分方程总结

常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,

n

阶常微分方程的形式是的阶.分类或机动目录上页下页返回结束1精选ppt课件引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1通解:特解:微分方程的解

—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.机动目录上页下页返回结束2精选ppt课件定义32.微分方程的解（几何意义）：3精选ppt课件转化可分离变量微分方程机动目录上页下页返回结束第二节解分离变量方程可分离变量方程第七章4精选ppt课件分离变量方程的解法:设y＝

(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝

(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝

(y)也是①的解.机动目录上页下页返回结束5精选ppt课件形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束第三节齐次方程6精选ppt课件内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x

及

y=C

机动目录上页下页返回结束3.齐次方程的求解方法:令7精选ppt课件找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P263,5(2))

2)根据物理规律列方程(如:例4,例5)3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤机动目录上页下页返回结束8精选ppt课件一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程;机动目录上页下页返回结束9精选ppt课件对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动目录上页下页返回结束该定理易让我们想起《线性代数》中的一阶非齐次线性方程组的解的结构定理。10精选ppt课件二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利目录上页下页返回结束11精选ppt课件内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程机动目录上页下页返回结束12精选ppt课件思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程机动目录上页下页返回结束13精选ppt课件可降阶高阶微分方程机动目录上页下页返回结束第五节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第七章解法：降阶14精选ppt课件一、令因此即同理可得依次通过

n

次积分,可得含

n

个任意常数的通解.型的微分方程

机动目录上页下页返回结束既不含未知函数y,也不含未知函数的导数解法:连续积分n次，便得通解。15精选ppt课件型的微分方程

设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、机动目录上页下页返回结束即含自变量x,不含未知函数y16精选ppt课件三、型的微分方程

令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解机动目录上页下页返回结束即含有未知函数y,不含自变量x17精选ppt课件内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令机动目录上页下页返回结束18精选ppt课件思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.例6例7机动目录上页下页返回结束19精选ppt课件n阶线性微分方程的一般形式为方程的共性

为二阶线性微分方程.例1例2—可归结为同一形式:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y机动目录上页下页返回结束20精选ppt课件证毕二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)定理1.机动目录上页下页返回结束是不是所给二阶方程的通解？问题：21精选ppt课件说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解！但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.机动目录上页下页返回结束22精选ppt课件定义:是定义在区间I上的

n个函数,使得则称这n个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为

0的常数机动目录上页下页返回结束23精选ppt课件两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关机动目录上页下页返回结束24精选ppt课件定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)

推论.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为机动目录上页下页返回结束25精选ppt课件三、线性非齐次方程解的结构

是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:

将代入方程①左端,得②①复习目录上页下页返回结束26精选ppt课件是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.机动目录上页下页返回结束27精选ppt课件定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.机动目录上页下页返回结束28精选ppt课件定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动目录上页下页返回结束29精选ppt课件*四、常数变易法复习:常数变易法:对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为代入原方程确定对二阶非齐次方程情形1.已知对应齐次方程通解:设③的解为③由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:④机动目录上页下页返回结束30精选ppt课件⑤令于是将以上结果代入方程①:得⑥故⑤,⑥的系数行列式是对应齐次方程的解P10目录上页下页返回结束31精选ppt课件积分得:代入③即得非齐次方程的通解:于是得说明:将③的解设为只有一个必须满足的条件即方程③,因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化计算.机动目录上页下页返回结束32精选ppt课件情形2.仅知③的齐次方程的一个非零特解代入③化简得设其通解为积分得(一阶线性方程)由此得原方程③的通解:代入③目录上页下页返回结束33精选ppt课件常系数

机动目录上页下页返回结束第七节齐次线性微分方程

基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第七章34精选ppt课件二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.机动目录上页下页返回结束35精选ppt课件2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束36精选ppt课件3.当时,特征方程有一对共轭复根利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束这时原方程有两个复数解（欧拉公式)37精选ppt课件小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动目录上页下页返回结束38精选ppt课件若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:n阶常系数齐次线性方程机动目录上页下页返回结束39精选ppt课件由于n次代数方程有n个根，而每个根对应着通解中的一项，且每一项各含一个任意常数。将上表中各对应项相加，就得到n阶微分方程的通解。小结:解法40精选ppt课件内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.机动目录上页下页返回结束41精选ppt课件思考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为作业P3101(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3第九节目录上页下页返回结束42精选ppt课件常系数非齐次线性微分方程机动目录上页下页返回结束第八节一、二、

第七章

43精选ppt课件二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法:机动目录上页下页返回结束根据f(x)的两种特殊形式,44精选ppt课件一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)

若

不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束45精选ppt课件(2)

若

是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)

若

是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解机动目录上页下页返回结束46精选ppt课件简例47精选ppt课件二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点机动目录上页下页返回结束48精选ppt课件第一步利用欧拉公式将f(x)变形机动目录上页下页返回结束49精选ppt课件第二步

求如下两方程的特解

是特征方程的k

重根(k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③

的特解.②③设则②

有特解:机动目录上页下页返回结束50精选ppt课件第三步

求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为

m次多项式.机动目录上页下页返回结束51精选ppt课件第四步分析因均为

m次实多项式.本质上为实函数,机动目录上页下页返回结束52精选ppt课件小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动目录上页下页返回结束53精选ppt课件内容小结

为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动目录上页下页返回结束54精选ppt课件思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)

设机动目录上页下页返回结束55精选ppt课件2.

求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束56精选ppt课件3.

已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为机动目录上页下页返回结束57精选ppt课件机动目录上页下页返回结束

第十节欧拉方程欧拉方程常系数线性微分方程第十二章58精选ppt课件欧拉方程的算子解法:

则计算繁!机动目录上页下页返回结束59精选ppt课件则由上述计算可知:用归纳法可证于是欧拉方程

转化为常系数线性方程:机动目录上页下页返回结束60精选ppt课件思考:如何解下述微分方程提示:原方程直接令作业P3192;6;8

第11节目录上页下页返回结束61精选ppt课件机动目录上页下页返回结束第十一节微分方程的幂级数解法一、一阶微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法:积分法—只能解一些特殊类型方程幂级数法—本节介绍数值解法—计算数学内容本节内容:

第十二章62精选ppt课件一、一阶微分方程问题幂级数解法:将其代入原方程,比较同次幂系数可定常数由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.①设所求解为本质上是待定系数法机动目录上页下页返回结束63精选ppt课件常系数线性微分方程组机动目录上页下页返回结束*第十二节解法举例解方程组高阶方程求解消元代入法

算子法第十一章64精选ppt课件常系数线性微分方程组解法步骤:第一步用消元法消去其他未知函数,得到只含一个函数的高阶方程;第二步求出此高阶方程的未知函数;第三步把求出的函数代入