近五年2017-2021高考数学真题分类汇编05平面向量含解析

五、平面向量

一、多项选择题

1.(2021•全国新高考1)。为坐标原点，点4(cosa,sina),^(cos/7,-sin^),

《(cos(a+4),sin(a+/)),A(l,0),那么()

A.|西|=|花|B.|而卜|而|

C.OAOP^OP.OP,D.OAOP^OP.O^

二、单项选择题

2.(2021.浙江)非零向量工友入那么是"£=万”的0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

3.(2021•海南)在AA》。中，。是AB边上的中点，那么丽=0

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

4.(2021•海南)P是边长为2的正六边形A8CQEF内的一点，那么丽.通的取值范

围是0

A.(-2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

5.(2021•全国2(理))向量而五，b满足1初=5,出|=6,。3=一6，那么COS@G+5)=

0

31-191719

A.-----B.-----C.—D.—

35353535

6.(2021•全国3(文))单位向量B的夹角为60。，那么在以下向量中，与B垂直的

是()

A.a-\-2bB.2a+bC.a—2bD.2a—b

7.(2021•全国2(文))向量2=(2,3)石=(3,2),那么|力|=

A.OB.2

C.542D.50

8.（2021•全国1（文））非零向量£石满足a=2%,且6-b）1b＞那么々与B的夹

角为

7T兀-2兀n5兀

A.-B.-C.—D.——

6336

9(2021•全国2（理））通=（2,3）,AC=(3,0,忸。|=1,那么福•觉=

A.-3B.-2

C.2D.3

10.（2021•北京（理））设向量湎均为单位向量，那么“|£—3B|=|3G+W是吃_1_力"

的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

11.（2021.浙江）£、石、"是平面向量，工是单位向量.假设非零向量［与2的夹角为

p向量万满足于一4々石+3=0,那么同的最小值是

A.V3-1B.V3+1C.2D.2-73

12.（2021•天津（理））如图，在平面四边形ABC。中，

AB±BC,AD±CD,ABAD=120,Afi=AO=1,假设点E为边CD上的动点，那么

理•丽的最小值为

21325

A.—B.C.D.3

16,216

13.(2021,全国1（文））在^ABC中，A。为BC边上的中线，E为AO的中点，那

么丽=

3—1一1一3一

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3一1一1一3一

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

14.(2021•全国2（文））向量汗,6满足同=1，a*b=—1,那么a•(2a—b)=

A.4B.3C.2D.0

15.(2021・天津(文))在如图的平面图形中，OM=1,ON=2,NMON=12",

BM=2MA,CN=2NA,那么BC.OM的值为

A.-15B.-9

c.-6D.0

16.（2021•浙江）如图，平面四边形ABC。，ABVBC,AB=BC=AD=2,C£>=3,AC

与B。交于点。，记人=砺诙,I2=OBOC,I3=OCOD,那么

A.I2<I3B.11<I3<I2C./3</|<，2D.

17.（2021•全国2（理））△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面A8C内一点，那

么PA.（PB+PC）的最小值是（）

34

A.-2B.---C.---D.—1

23

18.（2024北京（文））设wi为非零向量，那么“存在负数2,使得吊=茄"是"帆•”<（）"

的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

19.（2021•全国21文））设非零向量M，5满足卜+.=卜一同，那么

A.aLbB.\a\=\b\

C.a//bD.时>网

三、填空题

20.（2021•浙江）平面向量a,B,c,（coO）满足忖=l，W=2,a-B=0,（a-B）-c=0.记

向量7在a,b方向上的投影分别为x,»%-£在£方向上的投影为z,那么f+>2+z2

的最小值为.

21.（2021•全国甲（文））假设向量£石满足日|=3,口―4=5,73=1,那么同=

22.（2021.全国甲（理））向量Z=（3,l）,B=（l,0）,"=£+花.假设那么八

23.（2021•全国乙（理））向量£=（1,3）石=（3,4）,假设0—那么丸=

24.（2021•全国乙（文））向量£=（2,5）3=（44）,假设;〃），那么4=

25.⑵21.浙江）设［,4■为单位向量，满足|2冢-4区及，3=.+B=31+£，

设Z，B的夹角为6,那么cos?。的最小值为.

26.（2021•江苏）在AABC中，AB=4,AC=3,N54c=90°,O在边BC上，延长AO

到P，使得AP=9,假设方=+-ni）PC（机为常数），那么C。的长度是.

27.（2021•全国1（文））设向量3=（1,-1）,5=（根+1,2机—4）,假设：I，那么加=

28.（2021•全国1（理））设色B为单位向量，且陌+6|=1,那么|M—B|=.

29.（2021・全国1（理））单位向量的夹角为45。，攵与;垂直，那么

k=.

30.（2021•江苏）如图，在AABC中，。是BC的中点，E在边A8上，BE=2EA,AD

AD

与CE交于点。.假设通.枇=6而•反，那么:G的值是-

AC

31.（2021•北京（文））向量£二（—4,3）,b=（6,m），且£_1_况那么m=.

32.（2021•全国3（文））向量值=（2,2）,6=（-8,6）,那么cos（@,5）=.

33.（2021•全国（理））万石为单位向量，且展5=。，假设^=2万一痴，那么

cos<a,c>=.

34.（2021•天津（文））在四边形ABC。中，AD//BC,AB=2上,A£>=5,NA=30°,

点£在线段CB的延长线上，且AE=BE,那么丽.荏=.

尤2v2

35.（2021・上海）在椭圆工+匕=1上任意一点P,。与P关于1轴对称，假设有

42

FfF\P<\,那么严与质的夹角范围为

36.（2021・上海）实数须、马、月、为满足：X；+y：=1,々2+%2=1,%9+乂％=g，

那么、+口T+.+2印的最大值为______.

V2V2

37.（2021•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线/：y=2x上在第一象限内的点，

B（5,0）,以A6为直径的圆。与直线/交于另一点。.假设通•①=0,那么点A的

横坐标为.

38.（2021•北京（文））设向量£=（1,0）,b=（-1,加），假设江，（而一5）,那么

39.（2021.全国3（理））向量力=（1,2）,6=（2,-2）,c=（l,^）.假设3||（24+石），那

么4=.

40.（2021・上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点打、P>6、鸟以及

四个标记为的点在正方形的顶点处，设集合C={[,g，6,8}，点PeC，过产作

直线。，使得不在。上的的点分布在。的两侧.用2%）和2（。）分别表示。一

侧和另一侧的的点到。的距离之和.假设过P的直线乙中有且只有一条满足

，（[p）=3（/p），那么。中所有这样的尸为

41.（2021.北京（文））点P在圆f+y2=i上，点A的坐标为（-2,0）,。为原点，那

么丽•丽的最大值为.

42.（2021•全国1（理））向量2与石的夹角为60。，|羽=2,区1=1，那么II+2b1=.

43.[2021•天津（文））设抛物线y2=4x的焦点为广，准线为/.点C在/上，以C为圆

心的圆与y轴的正半轴相切于点4.假设ZFAC=120°,那么圆的方程为.

44.（2021•天津（文））在△ABC中，NA=60°,AB=3,AC=2.假设丽=2皮，

AE=AAC-AB（AeR）,且而.荏=-4，那么4的值为.

45.（2021.山东（理）〕e},或是互相垂直的单位向量，假设后[一同■与1+入点的夹

角为60。，那么实数入的值是一.

46.（2021・全国3（文））向量不=（一2,3）,5=（3,相），且£_1_人那么加=.

47.（2021・全国1（文））向量£=（-1,2）,5=（m,1）,假设（。+力_1_2,那么

m=・

48.（2021•山东（文））向量斫（2,6）,6=（-1,4）,假设那么4=.

49.（2021•江苏）在同一个平面内，向量方，砺,玩的模分别为1,1,夜，方与玩的

夹角为a,且1211。=7,而与能的夹角为45°，假设反=〃?西+〃丽（〃2,〃€/?）,

那么m+n=.

50.（2021・天津）如图，在四边形ABC。中，ZB=60°,AB=3,BC=6,且

AD=ABC,而•AB=-二，那么实数/l的值为,假设M,N是线段BC上

2

的动点，且|丽|=1,那么加•丽的最小值为.

51.[2021•北京)正方形ABCD的边长为2,点P满足AP=^(AB+AC),那么|PD|=

；PBPD=----------

52.(2021•浙江)正方形A8CD的边长为1,当每个=1,2,3,4,5,6)取遍±1时，

林AB+A2BC+XyCD+A4DA+A5AC+A6BD^的最小值是；最大值是

53.(2021•浙江)向量2,5满足口=1，M=2,那么,+囚+归—q的最小值是

，最大值是.

四、解答题

54.(2021・江苏)向量。=(cosx,5Z/U),B=xe[0,句.

(1)假设町|5,求x的值；

(2)记/(力=〃/，求函数y=/(x)的最大值和最小值及对应的x的值.

近五年(2021-2021)高考数学真题分类汇编

五、平面向量(答案解析)

1.AC

【解析】

A：=(cosa,sina),OP2=(cos4,一sin夕)，所以|O[|=Jcos^a+sin2a=1，

|OP21=J(cos/J1+(-sin4『=1,故|OPt|=|OP,\,正确；

B：AP[=(cosa-1,sina),AP,=(cos/7-l,-sinp),所以

|福|=J(cosa—+sin2a=Vcos2af-2cosa+l+sin2a=-^2(1-cosor)=卜sin?葭=21sin言|

同理|也|=&CGS0-1)2+Sil?夕=21sin?|,故|福履|不一定相等，错误；

C：由题意得：OA-OF^=lxcos(a+/?)+Oxsin(a+£)=cos(a+/?),

OF\-OP2=cosa•cos尸+sina(—sin/?)=cos(a+/?),正确；

D：由题意得：QVO[=lxcosa+Oxsina=cosa,

OP2OP3=cos/3xcos(ez+/?)+(—sin/?)xsin(cr+/?)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般来说方w漉.喇故错误；

2.B

【解析】

rrr

假设a-c=b-c＜那么(a—b),c=°,推不出a—b；假设a-b＞那么=必成立，

故是"£=石”的必要不充分条件

3.C

【解析】

4.A

【解析】

福的模为2,根据正六边形的特征，可以得到而在而方向上的投影的取值范围是(-1,3),

结合向量数量积的定义式，可知而•通等于AB的模与AP在通方向上的投影的乘积，

所以丽•丽的取值范围是（一2,6）,

5.D

【解析】・・・卜卜5,忸卜6,£.石=一6,.•.4•(4+勾=卜|+a-b=52-6=19.

卜+=yja2+2a-b+b=725-2x6+36=7，

___〃・(〃+司1919

因止匕，cos<a,a-}-b>=z―4=——=—.

r瓦TT卜+05x735

6.D

【解析】由可得：tz-=|tz|•|^|-cos601=1X1X.

-----215

A：因为(a+2〃)/=a/+2Z?=-+2xl=—wO,所以本选项不符合题意；

22

______»21

B：因为(2a+〃>〃=2a力+A=2x—+1=2^0,所以本选项不符合题意；

2

C：因为(£-2母%=£4-2广=L—2X1=—3HO,所以本选项不符合题意；

22

D：因为(2a—=—B=2x1=0,所以本选项符合题意.

2

7.A

【解析】由，«-^=(2,3)-(3,2)=(-1,1),所以-J(—l)2+12=近,

8.B

【解析】因为(£一5)，弓所以0—64=£/一片=。，所以£0=片，所以cos」=

a-b|讨1兀

衲=湎=5'所以［与切勺夹角为牙，应选B-

9.C

【解析】由前-通=(1,/一3),|阮|=一3)2=1,得1=3,那么能=(1,0),

福品=(2,3)・(1,0)=2xl+3x0=2.应选C.

10.C

【解析】因为向量工坂均为单位向量

所以|£-3昨|3£+行|=(2-3肛=0日+町=£2-6a-b+9h2=9a2+6ab+h2

所以“|£一3派|=|3£+'"是"U"的充要条件

11.A

【解析】设Q=(x,y),e=(l,O)/=

、兀

/rrrrr22

那么由=5得Q・e=aecos—,x=—Jx+y,/.y=土百x,

32V.

由,2_4；.1+3=0得m2+〃2_.+3=0,—2)2+九2-1,

因此，自-孑的最小值为圆心(2,0)到直线y=±Jir的距离竽=百减去半径I,为

V3—1.选A.

12.A

【解析】连接BD,取AD中点为O,可知△A3。为等腰三角形，而A3,8cADLC。,

所以△BCD为等边三角形，BD=6设方片=/配(0W/W1)

33

=3Z2--^+-(O<^<1)

22

所以当f=J■时，上式取最小值初,选A.

416

点睛：此题考查的是平面向量根本定理与向量的拆分，需要选择适宜的基底，再把其它向量

都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。

13.A

【解析】根据向量的运算法那么，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC}

222424V)

1一1—1一3——1—

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

__31

所以=—上AC,应选A.

44

14.B

【解析】因为无(2"一5)=2求一小5=2|刈2_(-1)=2+1=3,

15.C

【解析】如下图，连结MN,

由丽=2加,CN=2NA可知点M,N分别为线段A民AC上靠近点A的三等分点，

由题意可知：0M2=12=1,如二丽=lx2xcosl20°=-l，

结合数量积的运算法那么可得：

BCOM=3(ON-OMyOM=3ONOM-3OM2=-3-3=-6.

此题选择C选项.

16.C

【解析】因为NAOB=NCOD>9()。，OA<OC,OB<OD,

所以。反反SOAOXOB〉元。力，应选C.

17.B

【解析】建立如下图的坐标系，以BC中点为坐标原点，那么A(O,Ji),3(-1,0),C(l,0),

设P(x,y),那么丽=(—乙6一y),PB=(-l-x,-y),PC=(1-x,-y),

那么身.(而+PC)=2x2-2A/35-+2/=2[x2+(y—^y)2-

.•.当X=0,y=@时，取得最小值2x(-3)=-],应选：B.

-242

18.A

【解析】假设m4<0,使机=丸〃，那么两向量加，"反向，夹角是180。，那么

m-n=|m||n|cosl80°=-|m||n|<0；假设力〃<0,那么两向量的夹角为(90°,180°],并不

一定反向，即不一定存在负数X,使得m=4〃，所以是充分而不必要条件，应选A.

19.A

【解析】

由归+,=1一,平方得力」+2无石+户=胃一2无方+石2,即万.5=0,那么

2

20.-

5

【解析】由题意，设2=(1,0),5=(0,2),5=(加,〃)，那么(4-4。=/〃-2〃=0,即机=2",

又向量2在方向上的投影分别为x,y,所以2=(x,y),

一一__(d—a)•cm(x-1)+2x—2+y

所以d-a在c方向上的投影z=—■—I=——~j=，

kly/nr+n2V5

即2x+y-y[5z=2,

所以x2+y2+z2=422+l2+(-^)2(x2+/+z2)>^(2x+y-V5z)'=|

2

x=—

‘XJ一z5

1?

当且仅当<21-石即>=不时，等号成立，所以/+>2+z2的最小值为一.

55

2x+y-\[5z-2

亚

Z--------

5

21.372

[解析]•.平叫=5口_邛=£2+62_2公j=9+件_2=25；.W=372.

CC10

22..

3

【解析】•.■4=(3,1),5=(1,0),;.}=。+防=(3+%,1),

•.•a±c,.-.^c=3(3+^)+lxl=0,解得％=—与，故答案为：―3.

23.3

5

【解析】因为【肪=(1,3)—4(3,4)=。—34,3—4/1),所以由伍一词，词得，

aQ

3(l-3A)+4(3-4A)=0,解得4=(.故答案为：

24.号

5

Q

【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4—2x5=0,解方程可得：2=-.

28

25.—

29

11ar-UUMIT3

【解析】QZq—/区及，・・・4—4q-/+l<2,...e/.N/，

=-(1-------->-(1—=-z-)=—

35+3e«235+3x-29-

4

26.更或0

【解析】•.♦4。,75三点共线，，可设西=4万(2>0),

假设加HO且机J,那么B,D,C三点共线，二"(2~m),,即4=2,

?一+-------=1?

乙47乙

,:AP=9»*,*AD=3>>**AB=4,AC=3,ABAC=90°，:.BC=5，

设CD=x,Z^CDA—0,那么BD=5—x,ZBDA=TT-0.

x/八、AD2+BD2-AB2(5-x)-7

•・.根据余弦定理可得cos」七歌广,-,cos(乃一，)=---------------=----—

6''2ADBD6(5-x)

•.•cos6+cos(;r-0)=0,•••白(》)I。,解得x=更，.\CO的长度为竺.

66(5-X)55

当加=0时，PA=^PC,C,。重合，此时CD的长度为0,

3_3_

当加=一时，PA=^-PB,重合，止匕时A4=12,不合题意，舍去.

22

27.5

【解析】由a_L/;可得a/=0，又因为a=(1,—1),B=(m+1,2机—4),

所以£4=1•(机+1)+(—1)《2机—4)=0,即加=5，故答案为：5.

28.V3

rr

【解析】因为为单位向量，所以什=卜卜1

所以卜+=+2£%+忖=^2+2a-b-1>解得：2a石=-1

所以,_©==Ja|一2£石+|目=#)，故答案为：百

29.—

2

【解析】由题意可得：a.?=lxlxcos450=—.由向量垂直的充分必要条件可得:

2

"n］工=(),即：kxm=k—旦=G,解得：左=克.故答案为：—.

k)222

30.6

【解析】如图，过点。作OF//CE,交AB于点F,由BE=2E4,。为BC中点，知

BF=FE=EAAO=OD.

3(2--------1--->2---.2、-------1----23----2--------

=2-AB»AC一一AB+AC=AB>AC——AB+-AC=AB»AC,

2(33J22

得g前2/2,即网=网码，故笫=百

31.8.

【解析】向量a=(-4,3)石=(6,机)，aJ•反那么a・B=0,—4x6+3〃z=0,m=8-

_V|

~7o

2x(-8)+2x6V2

【解析】cos<aj>^^|

在+2”—8>+62=—百,

【解析】因为不=24-65，=0>所以a.e=2选一布a•6=2,

a-c_2_2

修『=口『舟所以所以

4-40+5|6|2=9,|"|=3,cos<n>=\a\-\c\~M~3'

34.-1.

【解析】建立如下图的直角坐标系，那么8(2百,0),D(^,-),

22

因为AD〃BC,ZBAD=30°,所以NCB4=150°,

因为=所以44E=NABE=3O。，

所以直线BE的斜率为也，其方程为y=3(x—26),

直线AE的斜率为-也，其方程为y=-3x.

y=-^(x-26)，

3

由，r-得》=百，丁=一1，所以E(6,一1).

73

V=------X

3

所以丽•衣=（孚,■!）・（6,-1）=一1.

35.乃一arccos」,乃

_3_

【解析】由题意：耳卜0,0）,1（在0）

设P（x,y）,Q（x,-y）,因为耶.耳Pvi,M^X2-2+/<1

22

与?+]=1结合=>4—2y2—2+y241,又yen9目1,2]

丫22?-3v28「1

与上+)v-=1结合，消去x,可得：cos<9=/:=-3+-$六-1,--

42y+2y2+2[3

所以乃一arccos一,乃

36.V2+V3

【解析】设A(xi,yj,B(X2,y2),0A=(xi,yi),0B=(X2,y2),

22

由x『+y|2=i,x2+y2=l,xiX2+yiy2=g,可得A,B两点在圆x?+y2=l上，

且乐•丽=lxlxcos/AOB=；，即有NAOB=60。，即三角形OAB为等边三角形，

lx,+y.-11\x-,+y—11

AB=1,~[+^^7=~9[的几何意义为点A,B两点到直线x+y-1=0的距离d,与

d2之和，显然A,B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=l平行,

可设AB：x+y+t=O,（t>0）,由圆心0到直线AB的距离d=g,

可得2J1一a=1,解得t=45,即有两平行线的距离为上^=也上叵

丫22-7F2

即归+%一1|」巧+>2Tl

的最大值为啦+百，故答案为五+力.

即-7F

37.3

%+5、口加

［解析］设r(a,2a)(a>0),那么由圆心C为AB中点得C--,Q,易得

I2)

℃:(x-5)(x-a)+y(y-2。)=0,与y=2x联立解得点。的横坐标x。=1,所以

0(1,2).所以福=(5-a,-2a),①=。一年，2-a),

由福.②=0得(5-。)[1一^!^卜(一24)(2-4)=0,42-24_3=0,4=3或4=一1,

因为。>0,所以。=3.

38.-1.

【解析】9：a-(1,0),6=(-1,m)，ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m)，

由Q_L(相〃一B)得：a-(ma-b)=0,a-(ma-b)=m+1=0,即/篦=—1.

39.-

2

【解析】由题可得2M+B=(4,2),•高//(22+b),1=(1")

.•.4九-2=0,即九=’,故答案为4

22

40.[、6、舄

【解析】建立平面直角坐标系，如下图;

那么记为“▲”的四个点是A(0,3),B(1,0),C(7,1),

D［4,4),线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,易知EFGH为平行四边

形，如下图；设四边形重心为M(x,y),那么加+耐+砒+砺=0,由此求得M(3,

2),即为平行四边形EFGH的对角线交于点巴，那么符合条件的直线L一定经过点打，

且过点P2的直线有无数条；由过点《和鸟的直线有且仅有1条，过点鸟和P2的直线有且

仅有1条，过点4和外的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是耳、鸟、舄.

41.6

【解析】•丽=|无0"丽|856国而|“丽区2乂(2+1)=6.所以最大值是6.

42.2百

【解析】•.•平面向量5与5的夹角为60°，同=2啊=1

ab=2xlxcos60°=1-

A|a+2b\=J伍+25)2=击2+4旌6+(25f=J4+4+4=2由故答案为26.

43.

【解析】设圆心坐标为C(-l,m),那么A(O,m),焦点尸(1,0),前=口。)/=(「㈤

加=±6,由于圆C与V轴得正半轴相切，那么取”=百，所求圆得圆心为(-1,百)，半

径为1.

3

44.—

11

___।2

【解析】AB-AC=3x2xcos600=3,AD=-AB+-AC，那么

33

______I___2__.__.___224123

AD-AE=(-AB+-AC)(AAC-Afi)=-x3+——x4——x9——x3=-4^A=—.

33333311

【解析】由题意，设[=(1,0),[0,1),

那么Gq—02=(下>>-1),el+^e2-[1,入)；

又夹角为60。，二(百q-02),(耳+入02)=>/3-X=2x7l+A2xcos60°,

即也一九=Ji1不，解得入=*.

46.2

【解析】由题意可得一2x3+3机=0,解得加=2.

47.7

【解析】由题得〃+]=(〃?—1,3)，因为(〃+万)=0,所以—(〃z—l)+2x3=0,解得加=7・

48.-3

【解析】由。〃b可得-lx6=2/ln；l=—3.

49.3

【解析】以OA为X轴，建立直角坐标系，那么A。,。），由阮的模为0与函与阮的

夹角为。，且tana=7知，cosa=,sina=,可得C

1010

_34

B(cos(a+45)si〃(a+45力,B

~55

I3

—=m——n

345557

由近=〃2丽+〃砺可得m——n.—nm=—,n=—,

557444

—=—n

155

"+〃=3,故答案为3.

113

50.-------

62

【解析】・.•而=2元，.・.ZR4O=180°—/6=12(r，

(n3

ABAD=ABC.