江苏省无锡市锡东片2022年中考数学押题试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC,AE,则一的值是（）

AC

A.1B.V2C.2D.百

2.如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH,若EH=3,EF=4,

那么线段AD与AB的比等于（）

A.25：24B.16：15C.5：4D.4：3

3.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，ZABC=90°,CA±x

k

轴，点C在函数y=-（x>0）的图象上，若AB=2,则k的值为（）

A.4B.272C.2D.0

k

4.如图，4（4,0）,B（1,3）,以04、为边作口以口，反比例函数丁=一（存0）的图象经过点C则下列结论

x

B.若y<3,则x>5

C.将口O/C5向上平移12个单位长度，点8落在反比例函数的图象上.

D.将口CMC5绕点。旋转180。，点C的对应点落在反比例函数图象的另一分支上.

5.如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）

△_____

V

A.三棱柱B.三棱锥C.圆柱D.圆锥

6.下列运算错误的是（）

A.（m2）3=m6B.al0-ra9=aC.x3*xs=x8D.a4+a3=a7

7.能说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是（）

1L

A.a=-2B.a=-C.a=lD.a=J2

3

8.已知（DO及。O外一点P,过点P作出。O的一条切线（只有圆规和三角板这两种工具），以下是甲、乙两同学的作

业：

甲：①连接OP,作OP的垂直平分线1,交OP于点A；

②以点A为圆心、OA为半径画弧、交。O于点M；

③作直线PM,则直线PM即为所求（如图1）.

乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P;

②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O,直角顶点落在。O上，记这时直角顶点的位置为点M；

③作直线PM,则直线PM即为所求（如图2）.

对于两人的作业，下列说法正确的是（）

A.甲乙都对B.甲乙都不对

C.甲对，乙不对D.甲不对，已对

9.若2"?-"=6,则代数式的值为（）

2

A.1B.2C.3D.4

10.某校九年级（1）班全体学生实验考试的成绩统计如下表:

成绩（分）24252627282930

人数（人）2566876

根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）

A.该班一共有40名同学

B.该班考试成绩的众数是28分

C.该班考试成绩的中位数是28分

D.该班考试成绩的平均数是28分

11.如图，直线A3与直线CQ相交于点O,E是NCOB内一点,KOE1.AB,NAOC=35。，则/EO0的度数是（）

7

C

AtTKB

A.155°B.145°C.135°D.125°

12.等式、匠=,但三1成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）

x/%+1Vx+1

A.B.]C.—A”JD.—>

-13-13-13

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是RtAABC的两条边，AABC最小的角为A,那么tanA的值为

14.如图，已知CD是RtAABC的斜边上的高，其中AD=9cm,BD=4cm,那么CD等于cm.

c

15.如图，已知CD是"BC的高线，且CD=2cm,NB=30。，则8C=.

7

17.如图，半圆O的直径AB=7,两弦AC、BD相交于点E,弦CD=-,且BD=5,则DE=___

2

18.若/一〃=!，«-/?=1,则。+力的值为______.

63

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)RtAABC中，ZABC=90°,以AB为直径作。O交AC边于点D,E是边BC的中点，连接DE,OD.

(1)如图①，求NODE的大小；

(2)如图②，连接OC交DE于点F,若OF=CF,求NA的大小.

20.(6分)综合与实践-猜想、证明与拓广

问题情境：

数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题，如图1,正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，点D

关于直线AE的对称点为点F,直线DF交AB于点H,直线FB与直线AE交于点G,连接DG,CG.

猜想证明

(1)当图1中的点E与点B重合时得到图2,此时点G也与点B重合，点H与点A重合.同学们发现线段GF，与

GD有确定的数量关系和位置关系，其结论为：;

(2)希望小组的同学发现，图1中的点E在边BC上运动时，(1)中结论始终成立，为证明这两个结论，同学们

展开了讨论：

小敏：根据轴对称的性质，很容易得到“GF与GD的数量关系”…

小丽：连接AF,图中出现新的等腰三角形，如AAFB,…

小凯：不妨设图中不断变化的角NBAF的度数为n,并设法用n表示图中的一些角，可证明结论.

请你参考同学们的思路，完成证明;

(3)创新小组的同学在图1中，发现线段CG〃DF,请你说明理由；

联系拓广：

(4)如图3若将题中的“正方形ABCD”变为“菱形ABCD“，NABC=a,其余条件不变，请探究NDFG的度数，并

21.(6分)在四张编号为A,B,C,D的卡片(除编号外，其余完全相同)的正面分别写上如图所示的

正整数后，背面向上，洗匀放好.

(1)我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的

卡片上的数是勾股数的概率Pi；

(2)琪琪从中随机抽取一张(不放回)，再从剩下的卡片中随机抽取一张(卡片用A,B,C,D表示).请

用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2,并指出她与嘉嘉抽到勾股数的

可能性一样吗?

BD

2,3.43,4,56,8,105,12,13

22.（8分）在AABC中，AB=BC=2,ZABC=120°,将白ABC绕着点B顺时针旋转角a(0°<a<90°)得到△AiBC；

AiB交AC于点E,AiG分别交AC、BC于D、F两点.

(1)如图1,观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论.

(2)如图2,当a=30。时，试判断四边形BGDA的形状，并证明.

(3)在(2)的条件下，求线段DE的长度.

23.（8分）（1）计算：（-If2-（-I）2018-4sin60

2

（2）化简：」-----a--4

a+1a-+2a+1a+1

24.(10分)某中学为了考察九年级学生的中考体育测试成绩(满分30分)，随机抽查了40名学生的成绩(单位：分),

得到如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题:

(1)图中m的值为.

(2)求这40个样本数据的平均数、众数和中位数：

(3)根据样本数据，估计该中学九年级2000名学生中，体育测试成绩得满分的大约有多少名学生。

25.(10分)如图，抛物线y=ax?+2x+c与x轴交于A、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由.

26.(12分)如图，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知AB,C,。分别为“果圆”

与坐标轴的交点，直线y=—3与“果圆”中的抛物线丫==/+法+c交于B、。两点

44

⑴求“果圆”中抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y轴截得的线段BO的长；

(2)如图，£为直线8C下方“果圆”上一点，连接AE、AB.BE,设AE与8C交于尸，所的面积记为孔招-，

S

△ABF的面积即为S^BF,求下皿的最小值

(3)“果圆”上是否存在点P,使NAPC=NC4B,如果存在，直接写出点P坐标，如果不存在，请说明理由

27.(12分)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图1中，AF,BE是△ABC的中

线，AF±BE,垂足为P,像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索

(1)如图1,当NABE=45。，c=2及时，a=,b=；

如图2,当NABE=10。，c=4时，a=,b=；

c

图2图3

归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a?,b2,c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图1证明你发现的关

系式;

拓展应用

(1)如图4,在nABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点，BE_LEG,2加，AB=1.求AF的长.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】

连接AG、GE、EC,易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解.

【详解】

解：连接AG、GE、EC,

则四边形ACEG为正方形，故一1=血.

AC

故选：B.

【点睛】

本题考查了正多边形的性质，正确作出辅助线是关键.

2、A

【解析】

先根据图形翻折的性质可得到四边形EFGH是矩形，再根据全等三角形的判定定理得出RtAAHEgRtACFG,再由

勾股定理及直角三角形的面积公式即可解答.

【详解】

VZ1=Z2,N3=N4,

...N2+N3=90°,

.".ZHEF=90°,

同理四边形EFGH的其它内角都是90°,

二四边形EFGH是矩形，

.*.EH=FG（矩形的对边相等），

XVZ1+Z4=9O°,N4+N5=90°,

.--Z1=Z5（等量代换），

同理N5=N7=N8,

.*.Z1=Z8,

ARtAAHE^RtACFG,

/.AH=CF=FN,

XVHD=HN,

.*.AD=HF,

在RtAHEF中，EH=3,EF=4,根据勾股定理得HF=J.”？+E尸=5,

又；HE・EF=HF・EM,

；.EM=—,

5

又；AE=EM=EB（折叠后A、B都落在M点上），

24

/.AB=2EM=——，

5

2425

AAD：AB=5：——=—=25：1.

524

故选A

【点睛】

本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前

后图形的形状和大小不变，折叠以后的图形与原图形全等.

3、A

【解析】

【分析】作BDJ_AC于D,如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=V^AB=2四，BD=AD=CD=V2»再利用

AC_Lx轴得到C（夜，2夜），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值.

【详解】作BDJ_AC于D,如图，

VAABC为等腰直角三角形，

，AC=0AB=20,

.*.BD=AD=CD=V2，

•；AC_Lx轴，

AC（血，2夜）,

k

把c（五,2^/2）代入y=—得卜=夜X2夜=4,

x

故选A.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=K（k为常数,

X

导0）的图象是双曲线，图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值k,即xy=k是解题的关键.

4、B

【解析】

先根据平行四边形的性质得到点。的坐标，再代入反比例函数丫=A(际0)求出其解析式，再根据反比例函数的图

x

象与性质对选项进行判断.

【详解】

解:♦••4(4,0),B(1,3),BC=OA=A,

C(5,3),

•二反比例函数y=&(际0)的图象经过点C,

X

**-k=5x3=159

二反比例函数解析式为丁=史.

X

DOACB的面积为。4x%=4x3=12,正确；

当y<0时，尤<0,故错误；

将口04c5向上平移12个单位长度，点3的坐标变为(1,15),在反比例函数图象上，故正确；

因为反比例函数的图象关于原点中心对称，故将口。1。8绕点。旋转180。，点C的对应点落在反比例函数图象的另一

分支上，正确.

故选：B.

【点睛】

本题综合考查了平行四边形的性质和反比例函数的图象与性质，结合图形，熟练掌握和运用相关性质定理是解答关键.

5、A

【解析】

侧面为长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱.

【详解】

解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱.

故本题选择A.

【点睛】

会观察图形的特征，依据侧面和底面的图形确定该几何体是解题的关键.

6、D

【解析】

【分析】利用合并同类项法则，单项式乘以单项式法则，同底数幕的乘法、除法的运算法则逐项进行计算即可得.

【详解】A、(n?)3=m6,正确；

B、a10-e-a9=a,正确；

C、x3»xs=x8,正确；

D、a4+a3=a4+a3,错误,

故选D.

【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以单项式、同底数毫的乘除法，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.

7、A

【解析】

将各选项中所给a的值代入命题“对于任意实数a,|«|＞-a”中验证即可作出判断.

【详解】

(1)当a=-2时，时=|一2j=2，、a=-(-2)=2,此时=

...当a=-2时，能说明命题“对于任意实数a,同＞一。”是假命题，故可以选A；

(2)当a=§时，同=w，—a=-q,此时时＞一a,

...当a=g时，不能说明命题“对于任意实数，，同＞一。”是假命题，故不能B；

(3)当a=l时，同=l,?-a=-,此时同＞-a,

...当“=1时，不能说明命题“对于任意实数a,同〉”是假命题，故不能C；

(4)当4=，^时，同="'/^,?~0=—\/—,此时时＞—a,

二当a=也时，不能说明命题“对于任意实数。，同＞一。”是假命题，故不能D；

故选A.

【点睛】

熟知“通过举反例说明一个命题是假命题的方法和求一个数的绝对值及相反数的方法”是解答本题的关键.

8、A

【解析】

(1)连接OM,OA,连接0P,作。尸的垂直平分线/可得OA=MA=AP,进而得到N0=N4W0,ZAMP=ZMPA,

所以NOMA+NAMP=NO+NMP4=90。，得出MP是的切线，(1)直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的

另一条直角边过圆心O,直角顶点落在。0上，所以NOMP=90。，得到MP是。。的切线.

【详解】

证明：(1)如图1,连接。M,0A.

••,连接0P,作。P的垂直平分线/,交0P于点A,.••Q4=AP.

•.,以点A为圆心、。4为半径画弧、交。。于点

：.OA=MA=AP,：.ZO=ZAMO,ZAMP=ZMPA,：.ZOMA+ZAMP=ZO+ZMPA=90°,：.OMVMP,是。O

的切线；

(1)如图1.

•.•直角三角板的一条直角边始终经过点尸，它的另一条直角边过圆心。，直角顶点落在。。上，.••NOMP=90。，

是。。的切线.

故两位同学的作法都正确.

故选A.

【点睛】

本题考查了复杂的作图，重点是运用切线的判定来说明作法的正确性.

9、D

【解析】

先对m--n+l变形得到工(2m-n)+1,再将2m-«=6整体代入进行计算，即可得到答案.

22

【详解】

1

m----71+1

2

=­(2m-〃)+1

2

当2机-〃=6时，原式='x6+l=3+l=4,故选：D.

2

【点睛】

本题考查代数式，解题的关键是掌握整体代入法.

10、D

【解析】

直接利用众数、中位数、平均数的求法分别分析得出答案.

【详解】

解：A、该班一共有2+5+6+6+8+7+6=40名同学，故此选项正确，不合题意；

B、该班考试成绩的众数是28分，此选项正确，不合题意；

C、该班考试成绩的中位数是：第20和21个数据的平均数，为28分，此选项正确，不合题

意；

D、该班考试成绩的平均数是：(24x2+25x5+26x6+27x6+28x8+29x7+30x6)+40=27.45(分),

故选项D错误，符合题意.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了众数、中位数、平均数的求法，正确把握相关定义是解题关键.

11、D

【解析】

解：•••NAOC=35°,

NBOD=35。,

'."EO1.AB,

：•ZEOB=9Q°,

二ZEOD=ZEOB+ZBOD=90+35°=125°,

故选D.

12、B

【解析】

根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围.

【详解】

%—3>0

由题意可知:

x+1>0

解得：x..3,

故选：B.

【点睛】

考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1或立

34

【解析】

解方程x2・4x+3=0得，xi=LX2=3,

①当3是直角边时，’.•△ABC最小的角为A,.，.tanA=L

3

②当3是斜边时，根据勾股定理，NA的邻边=疗=F=20,/.tanA=-1==—

2,24

I历

所以tanA的值为一或上.

34

14、1

【解析】

利用AACDS2XCBD,对应线段成比例就可以求出.

【详解】

VCD±AB,ZACB=90°,

/.△ACD^ACBD,

.CDBD

-=---，

ADCD

.CD4

•.二f

9CD

.,.CD=L

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键.

15、4cm

【解析】

根据三角形的高线的定义得到ZBDC=90°,根据直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】

解:丁。。是AABC的高线，

:.NBDC=90°,

,••ZB=30。，CD=2,

：.BC=2CD=4cm.

故答案为：4cm.

【点睛】

本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，含30。角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.

【解析】

直接把分子相加减即可.

【详解】

x1x+11„_,I

~~+~2~7=~r.~iT=i，故答案为：—7.

x"—1—1(x+l)(x—1)x—1x~l

【点睛】

本题考查了分式的加减法，关键是要注意通分及约分的灵活应用.

17、2五.

【解析】

连接OD,OC,AD,由。O的直径AB=7可得出OD=OC,故可得出OD=CD=OC,所以NDOC=60。，ZDAC=30°,

根据勾股定理可求出AD的长，在RtAADE中，利用NDAC的正切值求解即可.

【详解】

解：连接OD,OC,AD,

•半圆O的直径AB=7,

7

.,.OD=OC=-,

2

7

VCD=-,

2

/.OD=CD=OC

.,.ZDOC=60°,NDAC=30°

又；AB=7,BD=5,

AD=dAB?-BD?=V72-52=276

在RtAADE中，

VZDAC=30°,

h

：.DE=AD«tan30°=2"x—=272.

故答案为2c.

D

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识；综合性比较强.

【解析】

分析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将占的值代入即可求出。+方的值.

详解：Va2-b2=(a+b)(a-b)=—,a-b=—,a+b=—.

632

故答案为!.

2

点睛：本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)ZODE=90°；(2)ZA=45°.

【解析】

分析：(I)连接OE,BD,利用全等三角形的判定和性质解答即可；

(II)利用中位线的判定和定理解答即可.

详解：(I)连接OE,BD.

TAS是。。的直径，/.ZAZ)B=90°,：.ZCDB=90°.

YE点是的中点，：,DE=-BC=BE.

2

'：OD=OB,OE=OE,：./\ODE^/\OBE,/.ZODE=ZOBE.

■:NA5c=90。,二ZODE=90°；

CHY：CF=OF,CE=EB,：.FE是ACOB的中位线，.•.尸E〃08,NAOD=NODE,由(I)得/。。㈤=90°,

:.ZAOD=90°.

1800-90°

VOA=ODf:.NA二NADO=---------------=45°.

2

点睛：本题考查了圆周角定理，关键是根据学生对全等三角形的判定方法及切线的判定等知识的掌握情况解答.

oc

20、(1)GF=GD,GF_LGD;⑵见解析;(3)见解析;(4)90°-y.

【解析】

(1)根据四边形ABCD是正方形可得NABD=NADB=45。，NBAD=90。，点D关于直线AE的对称点为点F,即可证

明出NDBF=9()。，故GFJ_GD,再根据NF=NADB,即可证明GF=GD；

(2)连接AF,证明NAFG=NADG,再根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD,ZBAD=90°,设NBAF=n,

ZFAD=90°+n,可得出NFGD=360°-NFAD-NAFG-NADG=360°-(90°+n)-(180°-n)=90°,故GFJ_GD；

(3)连接BD,由(2)知，FG=DG,FG±DG,再分别求出NGFD与NDBC的角度，再根据三角函数的性质可证

明出AUDFsaCDG,故NDGC=NFDG,贝(ICG〃DF；

(4)连接AF,BD,根据题意可证得NDAM=90。-N2=90。-Nl,ZDAF=2ZDAM=180°-2ZL再根据菱形的性

质可得NADB=NABD=L,故NAFB+NDBF+NADB+NDAF=(ZDFG+Z1)+(ZDFG+Zl+-a)+-a+(180°

222

-2ND=360°,2ZDFG+2Zl+a-2Z1=18O°,即可求出NDFG.

【详解】

解：(1)GF=GD,GF±GD,

理由：：四边形ABCD是正方形，

:.NABD=ZADB=45°,NBAD=90°,

V点D关于直线AE的对称点为点F,ZBAD=ZBAF=90°,

；.NF=NADB=45。，ZABF=ZABD=45°,

.,.ZDBF=90°,

.,.GF±GD,

VZBAD=ZBAF=90°,

二点F,A,D在同一条线上，

VZF=ZADB,

；.GF=GD,

故答案为GF=GD,GF±GD；

(2)连接AF,V点D关于直线AE的对称点为点F,

，直线AE是线段DF的垂直平分线，

AAF=AD,GF=GD,

AZ1=Z2,Z3=ZFDG,

AZ1+Z3=Z2+ZFDG,

/.ZAFG=ZADG,

■:四边形ABCD是正方形，

AAB=AD,ZBAD=90°,

设NBAF=n,

:.ZFAD=90°+n,

VAF=AD=AB,

AZFAD=ZABF,

:.ZAFB+ZABF=180°-n9

.\ZAFB+ZADG=180°-n,

:.ZFGD=360°-ZFAD-ZAFG-ZADG=360°-(90°+n)-(180°-n)=90°,

AGF±DG,

(3)如图2,连接BD,由(2)知，FG=DG,FG±DG,

AZGFD=ZGDJF=-(180°-ZFGD)=45°,

2

丁四边形ABCD是正方形，

ABC=CD,ZBCD=90°,

AZBDC=ZDBC=-(180°-ZBCD)=45°,

2

AZFDG=ZBDC,

/.ZFDG-ZBDG=ZBDC-ZBDG,

.\ZFDB=ZGDC,

在RtABDC中，sinNDFG=—=sin45°=—，

DF2

DC5

在RtABDC中，sinZDBC=—=sin45°=—,

DB2

.DGDC

••=9

DFDB

.DGDF

••二9

DCDB

.,.△BDF^ACDG,

VZFDB=ZGDC,

.,.ZDGC=ZDFG=45°,

.*.ZDGC=ZFDG,

.♦.CG〃DF；

a

(4)90°-—,理由：如图3,连接AF,BD,

2

••,点D与点F关于AE对称，

AAE是线段DF的垂直平分线，

；.AD=AF,N1=N2,ZAMD=90°,ZDAM=ZFAM,

AZDAM=900-Z2=90°-Zl,

:.ZDAF=2ZDAM=180°-2NL

•••四边形ABCD是菱形，

.♦.AB=AD,

:.ZAFB=ZABF=ZDFG+Z1,

VBD是菱形的对角线，

.•.ZADB=ZABD=-a,

2

在四边形ADBF中，ZAFB+ZDBF+ZADB+ZDAF=(ZDFG+Z1)+(ZDFG+Zl+-a)+—a+(180°-2ND=360°

22

.,.2ZDFG+2Zl+a-2Z1=18O°,

【点睛】

本题考查了正方形、菱形、相似三角形的性质，解题的根据是熟练的掌握正方形、菱形、相似三角形的性质.

21、(1)43；(2)淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样.

4

【解析】

试题分析：

(1)根据等可能事件的概率的定义，分别确定总的可能性和是勾股数的情况的个数；

(2)用列表法列举出所有的情况和两张卡片上的数都是勾股数的情况即可.

试题解析：

(1)嘉嘉随机抽取一张卡片共出现4种等可能结果，其中抽到的卡片上的数是勾股数的结果有3种，所以嘉嘉抽取一

3

张卡片上的数是勾股数的概率Pi=J；

(2)列表法:

ABcD

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)

由列表可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有6种,

31

,.,Pl=—,P2=—,P#P2

42

,淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样.

22、(1)EA=FC.(2)四边形BGD4是菱形.(3)2-1^.

【解析】

(1)根据等边对等角及旋转的特征可得AABEMAC/F即可证得结论；

(2)先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再得到邻边相等即可判断结论；

(3)过点E作于点G,解Rt^AEG可得AE的长，结合菱形的性质即可求得结果.

【详解】

(1)EAt=FC.

证明：(证法一)•.・AB=3C,；.NA=NC.

由旋转可知，AB=BC”NA=NC1,NABE=NgBF

:.AA[BFACBE.

：.BE=BF,又•:AB=BCe

Z.\=ZC,A{B=CB,即EA[=FC.

(证法二)•.•AB=BC,；.ZA=NC.

由旋转可知，BA-BE=BC—BF,而NEBC=NF%

/.=ACBE

ABE=BF,：.B%-BE=BC-BF

即E4,=FC.

(2)四边形BGD4是菱形.

证明：vZA=NA8A=30°,；.AC,IIAB同理ACIIg

/.四边形BC.DA是平行四边形.

XvAB=BCy:.四边形BCQA是菱形

(3)过点E作EG_LAB于点E,则AG=BG=L

在EGLAB中，

AE=-y[3

3

.由(2)知四边形8GD4是菱形，

:.AG=BG=1.

ED=AD-AE=2--y/3.

3

【点睛】

解答本题的关键是掌握好旋转的性质，平行四边形判定与性质，的菱形的判定与性质，选择适当的条件解决问题.

23、(1)2-273;(2)-1；

【解析】

(1)根据负整数指数骞、特殊角的三角函数、零指数累可以解答本题；

(2)根据分式的除法和减法可以解答本题.

【详解】

(1)(—―)~—(—I)'018—45/7160—(>r—1)°

n

=4-l-4x4一1

2

=4-1-273-1

=2-2V3-

X1Q~_4a_2

(z2)----------------+-----

。+1Q~+2。+1a+1

1(〃+2)(a-2)Q+1

Q+1(a+l)?(i—2

1_a+2

Q+lQ+l

\-a-2

a+\

「(a+l)

a+1

=-l

【点睛】

本题考查分式的混合运算、负整数指数嘉、特殊角的三角函数、零指数幕，解答本题的关键是明确它们各自的计算方

法.

24、(1)25；(2)平均数：28.15,所以众数是28,中位数为28,(3)体育测试成绩得满分的大约有300名学生.

【解析】

(1)根据统计图中的数据可以求得m的值；

(2)根据条形统计图中的数据可以计算出平均数，得到众数和中位数；

(3)根据样本中得满分所占的百分比，可以求得该中学九年级2000名学生中，体育测试成绩得满分的大约有多少名

学生.

【详解】

解：(1)—X100%=25%,，m的值为25；

40

/、-4x26+8x27+12x28+10x29+6x30

(2)平均数：x=-------------------------------------=28.15,

40

因为在这组样本数据中，28出现了12次，出现的次数最多，所以众数是28；

因为将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是28,所以

这组样本数据的中位数为28；

(3)—x2000=300(名)

40

，估计该中学九年级2000名学生中，体育测试成绩得满分的大约有300名学生.

【点睛】

本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法.

25、(1)y=-x2+2x+3；(2)见解析.

【解析】

⑴将8(3,0),C(0,3)代入抛物线尸a*2+2x+c,可以求得抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴为直线x=l,设点。的坐标为(1,“利用勾股定理求出AC2、AQ\CQ2,然后分AC为斜边,

AQ为斜边，时斜边三种情况求解即可.

【详解】

解：(1)\,抛物线y=ax?+2x+c与x轴交于A、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3),

...(9a+6+c=0,得产T,

1c=31c=3

...该抛物线的解析式为y=-X2+2X+3；

(2)在抛物线的对称轴上存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形，

理由：•.•抛物线y=-x?+2x+3=-(x-1)2+4,点B(3,0),点C(0,3),

...抛物线的对称轴为直线x=L

.••点A的坐标为(-1,0),

设点Q的坐标为(Lt),则

AC2=OC2+OA2=32+12=10,

AQ2=22+t2=4+t2,

CQ2=M+(3-t)2=t2-6t+10,

当AC为斜边时，

10=4+t2+t2-6t+10,

解得，ti=l或t2=2,

.••点Q的坐标为(1,1)或(1,2),

当AQ为斜边时，

4+t2=10+t2-6t+10.

解得，

...点Q的坐标为(1,晟)，

当CQ时斜边时,

t2-6t+10=4+t2+10,

解得，t=

.•.点Q的坐标为(1,-金，

由上可得，当点Q的坐标是(1,1)、(1,2)、(1,当或(1,-1)时，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，勾股定理及分类讨论的数学思想，熟练掌握待定系

数法是解(D的关键，分三种情况讨论是解(2)的关键.

26、(l)y=-x2--x-3；6；⑵当"有最小值?；⑶出0，-3),8(3,-3).

44S-EF4

【解析】

(1)先求出点B,C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A坐标，即可求出半圆的直径，再构造

直角三角形求出点D的坐标即可求出BD；

s

(2)先判断出要求黄叱的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一

个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG,结论得证.

(3)求出线段AC,BC进而判断出满足条件的一个点P和点B重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点P.

【详解】

3

解:⑴对于直线y=-x-3,令x=0,

4

；.y=-3,

AB(0,-3),

令y=0,

3

:.—x-3=0,

4

x=4,

AC(4,0),

3

•••抛物线y=-x2+bx+c过B,C两点，

4

'3

—xl6+4Z7+c=0

.,.14

c=-3

f,9

b=——

：.<4，

c=-3

39

二抛物线的解析式为y=-x2--x-3；

44

令y=0,

•*.-Y—x_3=0,

44

x=4或x=-l,

.1A(-1,0),

.••AC=5,

如图2,记半圆的圆心为O,连接(TD,

53

.*.OO'=OC-O'C=4--=-,

22

在RtACTOD中，OD=1OD2_002=2,

AD(0,2),

；.BD=2-(-3)=5；

⑵如图3,

；.AC=5,

过点E作EG/7BC交x轴于G,

VAABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为h,

**•SAABF=—AF»h,SABEF=-EF・h,

22

q1AF•力

・\ABF__2______”

RFF

S△BEF-1E11F・h1EF

2

q

q的最小值,

QABEF

・AF息［

•--最小，

EF

VCF/7GE,

,AF—AC5

**EF-CG-CG

最小,即：CG最大，

CG

・・・EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大,

3

:直线BC的解析式为y=-x-3,

4

3

设直线EG的解析式为广:x+m①，

4

39

V抛物线的解析式为y=-x2--x・3②，

44

联立①②化简得，3x2-12x-12-4m=0,

/.△=144+4x3x(12+4m)=0,

:.m=-6,

3

工直线EG的解析式为y=-x・6,