上海市宝山区建峰高中2024届高一上数学期末统考试题含解析

上海市宝山区建峰高中2024届高一上数学期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．下列各式正确是A. B.C. D.2．半径为2的扇形OAB中，已知弦AB的长为2，则的长为A. B.C. D.3．函数的最小正周期是（）A. B.C. D.34．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A.6 B.8C.12 D.185．已知，则x等于A. B.C. D.6．已知命题：，，则是（）A.， B.，C.， D.，7．若函数取最小值时，则（）A. B.C. D.8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A.4 B.C. D.29．一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为的正方形.若该机器零件的表面积为，则的值为A.4 B.2C.8 D.610．已知函数（，，）的图象如图所示，则（）A.B.对于任意，，且，都有C.，都有D.，使得11．是定义在上的函数，，且在上递减，下列不等式一定成立的是A. B.C. D.12．如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）A. B.C. D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．已知函数，则函数零点的个数为_________14．如图，单位圆上有一点，点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是_____________.15．终边上一点坐标为，的终边逆时针旋转与的终边重合，则______.16．已知函数，则函数的零点个数为__________三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面由扇形挖去扇形后构成的已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度（1）求关于的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值18．已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an<bn，则s<t.19．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.（1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.20．已知.（1）指出函数的定义域，并求，，，的值；（2）观察（1）中的函数值，请你猜想函数的一个性质，并证明你的猜想；（3）解不等式：.21．圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦.（1）当时，求的长；（2）当弦被点平分时，写出直线的方程.22．已知函数（1）求的最大值，并写出取得最大值时自变量的集合；（2）把曲线向左平移个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调递增区间.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、D【解析】对于，，，故，故错误；根据对数函数的单调性，可知错误故选2、C【解析】由已知可求圆心角的大小，根据弧长公式即可计算得解【详解】设扇形的弧长为l，圆心角大小为，∵半径为2的扇形OAB中，弦AB的长为2，∴，∴故选C【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题3、A【解析】根据解析式，由正切函数的性质求最小正周期即可.【详解】由解析式及正切函数的性质，最小正周期.故选：A.4、A【解析】由三视图还原几何体：底面等腰直角三角形，高为4的三棱锥，应用棱锥的体积公式求体积即可.【详解】由三视图可得如下几何体：底面等腰直角三角形，高为4的三棱锥，∴其体积.故选：A.5、A【解析】把已知等式变形，可得，进一步得到，则x值可求【详解】由题意，可知，可得，即，所以，解得故选A【点睛】本题主要考查了有理指数幂与根式的运算，其中解答中熟记有理指数幂和根式的运算性质，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6、D【解析】根据命题的否定的定义写出命题的否定，然后判断【详解】命题：，的否定是：，故选：D7、B【解析】利用辅助角公式化简整理，得到辅助角与的关系，利用三角函数的图像和性质分析函数的最值，计算正弦值即可.【详解】，其中，因为当时取得最小值，所以，故.故选：B.8、B【解析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，所以该四棱锥的最长棱为故选B【点睛】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．熟悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力9、A【解析】几何体为一个正方体与四分之一个球的组合体,所以表面积为,选A点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用10、C【解析】根据给定函数图象求出函数的解析式，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】观察函数的图象得：，令的周期为，则，即，，由，且得：，于是有，对于A，，A不正确；对于B，取且，满足，，且，而，，此时，B不正确；对于C，，，，即，都有，C正确；对于D，由得：，解得：，令，解得与矛盾，D不正确.故选：C11、B【解析】对于A，由为偶函数可得，又，由及在上为减函数得，故A错；对于B，因同理可得，故B对；对于C，因无法比较大小，故C错；对于D，取，则；取，则，故与大小关系不确定，故D错，综上，选B点睛：对于奇函数或偶函数，如果我们知道其一侧的单调性，那么我们可以知道另一侧的单调性，解题时注意转化12、D【解析】A，B，C选项都有，所以四点共面，D选项四点不共面.故选：D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、【解析】解方程，即可得解.【详解】当时，由，可得（舍）或；当时，由，可得.综上所述，函数零点的个数为.故答案为：.14、##【解析】根据单位圆上点的坐标求出，从而求出，从而求出点P的纵坐标.【详解】因为位于第一象限，且，故，所以，故，所以点P的纵坐标故答案为：15、【解析】由题知，进而根据计算即可.【详解】解：因为终边上一点坐标为，所以，因为的终边逆时针旋转与的终边重合，所以故答案为：16、3【解析】由，得，作出y＝f(x)，的图象，由图象可知共有3个交点，故函数的零点个数为3故答案为：3三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、（1）.（2）当时，取最大值.【解析】（1）根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式；（2）根据扇形面积公式求出关于的函数，从而得出的最大值.【小问1详解】解：根据题意，可算得弧，弧，，；【小问2详解】解：依据题意，可知,当时，.答：当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米18、（1）A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}；（2）见解析.【解析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A；（Ⅱ）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an<bn，可得an-bn≤-1．由题意可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤-[1+q+…+qn-2+qn-1]，再利用等比数列的前n项和公式即可得出试题解析：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an<bn，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1＝－qn－1＝－1<0，所以s<t.19、（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元.【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可.（2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.所以，解得，当时，，当时，.所以（2）①当时，，所以；②当时，，由于，当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760.综合①②知，当，取得最大值为6104万美元.【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解20、（1）的定义域;;;;;（2）详见详解;（3）【解析】（1）根据真数大于零,列出不等式组,即可求出定义域;代入函数解析式求出,,,的值.（2）与,与关系,猜想是奇函数,利用奇函数的定义可证明.（3）求出,由对数的运算性质和对数的单调性即可得到所求.【详解】（1）要使函数有意义须,函数的定义域是；;;;.（2）由从（1）得到=,=,猜想是奇函数,以下证明：在上任取自变量,所以是奇函数.（2）所以，原不等式等价于所以原不等式的解集为【点睛】本题考查函数的定义域的求法和奇偶性的判断与证明,考查不等式的解法,注意应用函数的单调性转化不等式,求解不等式不要忽略了定义域,是解题的易错点,属于中档题.21、（1）；（2）.【解析】（1）求出直线AB的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长；（2）当弦被点平分时，AB与垂直，由此可求出直线AB的斜率，写出其点斜式方程化简即可.【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点，所以直线AB的方程为：，圆心到直线AB的距离为，则，所以；（2）当弦被点平分时，AB与垂直，因为，所以，直线AB的点斜式方程为，即