正弦稳态电路

正弦稳态电路的分析主讲人：刘瑛主要内容正弦量及其表示方法1电路基本器件伏安关系的相量形式2正弦交流电路分析3三相电路概述4正弦量及其表示方法正弦电路：激励电源可用正弦函数描述的电路，或称正弦交流电路。我国电力系统即为50Hz正弦供电系统，家用设备供电50Hz/220V标准。（美国：60Hz/110V标准）实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向相反正弦量的三要素周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间。频率f：正弦量在单位时间内变化的周数。周期与频率的关系：角频率ω：正弦量单位时间内变化的弧度数。角频率与周期及频率的关系：1.

正弦交流电的周期、频率和角频率正弦量的三要素2.

正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值瞬时值是以解析式表示的：最大值就是上式中的Im，Im反映了正弦量振荡的幅度。有效值指与交流电热效应相同的直流电数值。例RiRI交流电i通过电阻R时，在t时间内产生的热量为Q直流电I通过相同电阻R时，在t时间内产生的热量也为Q

即：热效应相同的直流电流I称之为交流电流i的有效值。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。正弦量的三要素若购得一台耐压为

300V的电器，是否可用于220V的线路上?

电器~220V最高耐压

=300V

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。正弦量的三要素3.

正弦交流电的相位、初相和相位差相位：正弦量解析式中随时间变化的电角度(ωt+φ)。初相：t=0时的相位φ，它确定了正弦量计时始的位置。相位差：两个同频率正弦量之间的相位之差。例

显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的初相之差。正弦量的三要素正弦量的三要素正弦量及其表示方法T正弦信号的周期（秒s）Um正弦信号的幅度，取值为正值Ф初相角ω(=2*pi/T)角频率，弧度/秒（rad/s)正弦量及其表示方法例1：若交流电压幅度为310V，电源频率50Hz，初相角为30°，求电压信号表达式，并计算t=0时电压值。例2：若交流电源频率为50Hz，初相角为－45°，t=0时电压值为220V，求电压表达式。正弦量及其表示方法复数及其表示方法A=a1+ja2A=acosψ+jasinψA=aejψ

或A=a/ψ正弦量及其表示方法复数运算法则设有两个复数分别为：A、B加、减、乘、除时的运算公式正弦量及其表示方法1.已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求A+B、A-B、A×B、A÷B。2.已知复数A=17/24°，B=6/-65°。试求A+B、A-B、A×B、A÷B。电路常用元件伏安关系的相量表示例已知U1=U1ψ1U2=U2ψ2U2U1也可以把复平面省略，直接画作U2U1虚线可以不画电路常用元件伏安关系的相量表示例如：利用相量图辅助分析，根据平行四边形法则，由相量图可以清楚地看出：U1cosψ1+U2cosψ2U1sinψ1+U2sinψ2UU2U1正弦量及其表示方法

与正弦量相对应的复电压和复电流称之为相量。为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。例如正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A，若用相量表示，其最大值相量为：有效值相量为：由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的有效值（或最大值），幅角对应正弦量的初相。电路常用元件伏安关系的相量表示电阻元件i=uR电阻元件上的电压、电流关系

电压、电流的瞬时值表达式为：

由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上存在同相关系；数量上符合欧姆定律，即：电路常用元件伏安关系的相量表示功率

（1）瞬时功率p瞬时功率用小写！则结论：1.p随时间变化；2.p≥0,为耗能元件。电路常用元件伏安关系的相量表示2.平均功率（有功功率）P

(一个周期内的平均值)

由:可得:P=UI平均功率用大写！例求：“220V、100W”和“220V、40W”灯泡的电阻？

平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也称之为有功功率。电路常用元件伏安关系的相量表示电容元件电容元件上的电压、电流关系

若加在C两端的电压为：

则C上的充放电电流为：

电路常用元件伏安关系的相量表示由电压、电流解析式可推出，电容元件上电流总是超前电压90°电角数量上存在着：IC=U

C=U2πfC=U/XC电容元件上电压、电流的有效值关系为：其中：XC称为电容元件上的容抗，单位为欧姆(Ω)。电路常用元件伏安关系的相量表示

容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。只有在一定频率下，电容元件的容抗才是常数。容抗与哪些因素有关？直流情况下容抗为多大？XC与频率成反比；与电容量C成反比，因此频率越高电路中容抗越小，这被称作电容元件的通交作用，高频电路中电容元件相当于短路。直流下频率f=0，所以XC=∞。我们说电容元件相当于开路。（隔直作用）电路常用元件伏安关系的相量表示

（1）瞬时功率p则p为正弦波，频率为ui的2倍；在一个周期内，C充电吸收的电能等于它放电发出的电能。电容元件和电感元件相同，只有能量交换而不耗能，因此也是储能元件。结论：电路常用元件伏安关系的相量表示平均功率（有功功率）PP=0，电容元件不耗能无功功率QC

无功功率QC反映了电容元件在充放电过程中与电源之间进行能量交换的规模。即：为区别于有功功率，无功功率的单位定义为乏尔(Var)电路常用元件伏安关系的相量表示电感元件电路常用元件伏安关系的相量表示XL=2πfL=ωL，虽然式中感抗和电阻类似，等于元件上电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电阻反映了元件上耗能的电特性，而感抗则是表征了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用，这种阻碍作用不消耗电能，只能推迟正弦交流电流通过电感元件的时间。XL与频率成正比；与电感量L成正比感抗与哪些因素有关？直流情况下感抗为多大？直流下频率f=0，所以XL=0。L

相当于短路。电路常用元件伏安关系的相量表示

（1）瞬时功率p则p为正弦波，频率为ui的2倍；在一个周期内，L吸收的电能等于它释放的磁场能。电感元件上只有能量交换而不耗能，为储能元件结论：电路常用元件伏安关系的相量表示（2）平均功率（有功功率）PP=0，电感元件不耗能（3）无功功率QL

（单位为乏尔Var）问题与讨论1.电源电压不变，当电路的频率变化时，通过电感元件的电流发生变化吗？f变化时XL随之变化，导致电流i变化。电路常用元件伏安关系的相量表示电路常用元件伏安关系的相量表示阻抗和导纳正弦电压或电流加到无源RLC电路中产生正弦响应电压和电流分别为：正弦电压或电流加到无源RLC电路中产生正弦响应电压和电流分别为：电路常用元件伏安关系的相量表示R-L-C串联交流电路若则电路常用元件伏安关系的相量表示总电压与总电流的关系式相量方程式：则设（参考相量）电路常用元件伏安关系的相量表示Z：复数阻抗实部为阻虚部为抗容抗感抗令则复数形式的欧姆定律电路常用元件伏安关系的相量表示由复数形式的欧姆定律可得：结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比，而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。电路常用元件伏安关系的相量表示一定时电路性质由参数决定

当时，表示u

领先i

－－电路呈感性当

时，表示u

、i同相－－电路呈电阻性当时，表示u

落后i

－－电路呈容性阻抗角电路常用元件伏安关系的相量表示假设R、L、C已定，电路性质能否确定？（阻性？感性？容性？）电路常用元件伏安关系的相量表示阻抗三角形电路常用元件伏安关系的相量表示阻抗Z：相量电压和相量电流之比导纳Y：阻抗的倒数阻抗和导纳的正交形式为

电路常用元件伏安关系的相量表示例：网络加载的电压时产生的电流，求等效阻抗和导纳，画出频域串联等效电路和并联等效电路。电路常用元件伏安关系的相量表示例：已知RL串联电路，求时并联等效电路中等效并联电阻和并联电感值。

解：电路常用元件伏安关系的相量表示电路KCL的一般形式为正弦电路支路电流的一般形式，代入上式正弦电路各支路频率相同，是公因子

电路常用元件伏安关系的相量表示正弦电路中任意闭合路径KVL的相量形式即各支路上电压相量和恒为零

正弦电压（或电流）的振幅或有效值间KCL或KVL是不成立的，即对于节点（或割集），对于闭合路径电路常用元件伏安关系的相量表示例：输入信号为的正弦信号，求分压比。电路常用元件伏安关系的相量表示URIULU电路的相量模型UCRjXL-jXC例2下图中已知R=15Ω，L=12mH，C=40μF，端电压u=28.3sin(2500t)V，求：i及各元件电压。电路常用元件伏安关系的相量表示电路常用元件伏安关系的相量表示

电路常用元件伏安关系的相量表示电路常用元件伏安关系的相量表示电路常用元件伏安关系的相量表示复功率设一个无源二端网络的端口电压、电流为：u=Umsin(ωt+ψu)i=Imsin(ωt+ψi)电路吸收的瞬时功率：

上式说明瞬时功率有两个分量，第一项与电阻元件的瞬时功率相似，始终大于或等于零，是网络吸收能量的瞬时功率，其平均值为UIcosφ

。第二项与电感元件或电容元件的瞬时功率相似，其值正负交替，是网络与外部电源交换能量的瞬时功率，它的最大值为UIsinφ

。2.电路吸收的平均功率：平均功率也就是有功功率，数值上等于瞬时功率在一个周期内的平均值，即：3.电路吸收的无功功率：

无功功率反映了“只交换而不消耗”的电路现象，感性电路中的无功功率就是吸收电能建立磁场的那部分功率，用QL表示，恒为正值；容性电路中的无功功率是建立电场储存电能的那部分功率用QC表示，即：

电力设备的容量一般由其额定电压和额定电流的乘积来决定，称为视在功率，用S表示：

为了区别于有功功率和无功功率，视在功率的单位用“伏安(VA)”或“千伏安(KVA)”。

由上式又可看出视在功率S和有功功率P、无功功率Q三者之间存在着相当勾股弦定理的数量关系，因此可以把这种数量关系用一个三角形来表示：PQL-QCS

功率因数是电力技术经济中的一个重要指标。负载功率因数过低，电源设备的容量不能得到充分利用；另外在功率一定、电压一定的情况下，负载功率因数越低，则通过输电线路上的电流I=P/(Ucosφ)越大，因此造成供电线路上的功率损耗增大。显然，提高功率因数对国民经济的发展具有非常重要的意义。提高功率因数的意义是什么？如何提高？提高功率因数的意义：1.提高发配电设备的利用率；2.减少输电线上的电压降和功率损失。

一台功率为1.1kW的感应电动机，接在220V、50Hz的电路中，电动机需要的电流为10A，求：(1)电动机的功率因数；(2)若在电动机两端并联一个79.5μF的电容器，电路的功率因数为多少？5.3正弦交流电路的最大功率传输图中正弦交流电路的电源阻抗：ZLZSUS·＋－I·负载阻抗：通过电路的电源流：负载从电源获取的有功功率为ZLZSUS·＋－I·

由上式可推导出负载从电源获取最大功率的条件是：或

在满足负载从电源获取最大功率的条件下，负载上获得的最大功率是：当负载为纯电阻时此时负载获得的最大功率RLC串联电路的基本关系串谐电路复阻抗：其中：串谐电路中的电流：据前所述，谐振时u、i同相，φ=0：电抗等于0时，必定有感抗与容抗相等：串谐条件由串谐条件又可得到串谐时的电路频率为：2.由于谐振时电路阻抗最小，所以谐振电流I0最大。f0是RLC串联谐振电路的固有频率，只与电路的参数有关，与信号源无关。

由此可得使串联电路发生谐振的方法：①调整信号源的频率，使它等于电路的固有频率；②信号源频率不变，调整L和C值的大小，使电路中的固有频率等于信号源的频率。1.串谐时由于u、i同相，电路复阻抗为电阻性质：3.特性阻抗ρ是衡量串谐电路性能的一个重要指标：4.品质因数Q是衡量串谐电路性能的另一个重要指标：品质因数Q的大小可达几十至几百，一般为50~200。电路在串联谐振状态下，电路的感抗或容抗往往比电阻大得多，因此：

由于谐振电路的品质因数很高，所以可知动态元件两端的电压在谐振状态下要比外加的信号源电压大得多，因此通常也将串联谐振称为电压谐振。1.回路阻抗与频率之间的特性曲线RLC串联电路的阻抗为：阻抗及其各部分用曲线可表示为：|Z|、R、XRωLωC1|Z|

由RLC串联电路的阻抗特性曲线可看出：电阻R不随频率变化；感抗XL与频率成正比；容抗XC与频率成反比，阻抗|Z|在谐振之前呈容性（电抗为负值），谐振之后呈感性（电抗为正值），谐振发生时等于电阻R，此时电路阻抗为纯电阻性质。ω0ω02.回路电流与频率的关系曲线RLC串谐电路谐振时的电流电路谐振时，串谐电路中的电流达到最大，为了便

上式表示在直角坐标系中，即可得到I—ω谐振特性曲线如下图所示：

从I—ω谐振特性曲线可看出，电流的最大值I0出现在谐振点ω0处，只要偏离谐振角频率，电流就会衰减，而且衰减的程度取决于电路的品质因数Q。即：Q大电路的选择性好；Q小电路的选择性差。11ω00ωI0IQ小Q大3.回路电流相位与频率的关系曲线

若输入电压的初相为0时，回路电流的初相等于阻抗相位的负值，如上式所示。电路的相频特性如右图所示90°－90°ω0ω

在无线电技术中，要求电路具有较好的选择性，常常需要采用较高Q值的谐振电路。f00fI0I1

但是，实际的信号都具有一定的频率范围，如电话线路中传输的音频信号，频率范围一般为3.4KHz，广播音乐的频率大约是30Hz~15KHz。这说明实际的信号都占有一定的频带宽度。为了不失真地传输信号，保证信号中的各个频率分量都能顺利地通过电路，通常规定当电流衰减到最大值的0.707倍时，所对应的一段频率范围称为通频带B。其中f2和f1是通频带的上、下边界。1实践和理论都可以证明：可见通频带与谐振频率有关，由于品质因数

品质因数Q愈大，通频带宽度愈窄，曲线愈尖锐，电路的选择性能愈好；Q值愈小，通频带宽度愈大，曲线愈平坦，选择性能愈差；但Q值过高又极易造成通频带过窄而使传输信号不能完全通过，从而造成失真。

显然通频带B和品质因数Q是一对矛盾，实际当中如何兼顾二者，应具体情况具体分析。结论ωL-j1ωCjR1.并联谐振发生时，电路阻抗最大(导纳最小)，且呈纯电阻性（理想情况r=0时，阻抗无穷大）；2.并联谐振发生时，由于阻抗最大，因此当电路中总电流一定时，路端电压最大，且与电流同相。3.并联时电感、电容支路出现过电流现象，其两支路电流分别为电路总电流的Q倍；Q为电路的品质因数：两支路电流:上述分析均是以等效的并联电路为研究对象。•×וA三相定子绕组在空间位置互差120o定子转子转子装有磁极以

的角速度旋转时，定子三相绕组中便分别感应电动势。三相交流发电机示意图尾端：

XYZ首端：

ABC↓↓↓•×וNS

电路分析中很少用电动势，通常用电压来表示。以A相绕组的感应电压为参考正弦量，则发电机的三相感应电压分别为：

三相感应电压用波形图和相量图可分别表示为：u0TuAuBuCωt120°120°120°UBUAUC显然三个电压大小相等，频率相同，相位互差120º。

我们把三个最大值相等，角频率相同，彼此相位互差120º电角度的单相正弦量称为对称三相交流电。

发电机感应的对称三相交流电压用相量可表示为

由对称三相电压的波形图和相量图可看出：

对称三相交流电在相位上的先后顺序称为相序。我们把相序ABC称为正序或顺序；把CBA称为负序或逆序。电力系统中通常采用正序。三相电源的连接

下图所示电源的连接方式称为星形连接，或记为“Y”接。XZYNBCA

其中由电源绕组尾端公共连接点引出的导线称为中线(零线)，由电源绕组首端引出的导线称为相线(火线)

图中电源绕组首端指向尾端的电压称为相电压(即火线与零线之间的电压)。

火线与火线之间的电压称为线电压。电源绕组这样连接后向外电路供电的方式称为三相四线制。