专题16 函数几何问题（精练）-2019年中考数学高频考点突破全攻略（解析版）

一、选择题（10×3=30分）1.二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，它的顶点为C，则△ABC的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】此题容易，只要把坐标写出来，根据面积公式就可解决了．【解答】解：二次函数y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣3）（x+1）与x轴交于A、B两点，则可设A（﹣1，0）、B（3，0）根据顶点坐标公式x=﹣=1，则y=4⇒．故选：C．学科&网2.如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（）A．m B．6m C．15m D．m【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．思路是：长方形的面积=大三角形的面积﹣两个小三角形的面积．3.（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）A． B．3 C． D．5【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．【解答】解：过点D做DF⊥BC于F由已知，BC=5设OB=a则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a）∵点D.C在双曲线上∴1×（a+3）=5a∴a=∴点C坐标为（5，）∴k=故选：C．4.如图17－3，在平面直角坐标系中，抛物线y＝eq\f(1,2)x2经过平移得到抛物线y＝eq\f(1,2)x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为(B)A．2B．4C．8 D．165.（2018•莱芜•3分）在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB=CA=5，点C（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y=的图象上，则k=（）A．3 B．4 C．6 D．12【分析】如图，作AH⊥y轴于H．构造全等三角形即可解决问题；【解答】解：如图，作AH⊥y轴于H．∵CA=CB，∠AHC=∠BOC，∠ACH=∠CBO，∴△ACH≌△CBO，∴AH=OC，CH=OB，∵C（0，3），BC=5，∴OC=3，OB==4，∴CH=OB=4，AH=OC=3，∴OH=1，∴A（﹣3，﹣1），∵点A在y=上，∴k=3，故选：A．【点评】本题考查反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6.（2018·辽宁省沈阳市）（3.00分）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB的值为（）时，矩形土地ABCD的面积最大．A．150m B．160m C．155m D．145m【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积；即可解答本题．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的顶点式求函数的最值．7.如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A． B． C．﹣2 D．【分析】连接OB，过B作BD⊥x轴于D，若OC与x轴正半轴的夹角为15°，那么∠BOD=30°；在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在Rt△OBD中求得BD、OD的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．代入抛物线的解析式中，得：（）2a=﹣，解得a=﹣；故选：B．8.（2018·山东潍坊·3分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A． B． C． D．9.（2018•安徽•4分）如图，直线都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于之间分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【详解】由正方形的性质，已知正方形ABCD的边长为，易得正方形的对角线AC=2，∠ACD=45°，如图，当0≤x≤1时，y=2，如图，当1<x≤2时，y=2m+2n=2(m+n)=2，如图，当2<x≤3时，y=2，综上，只有选项A符合，故选A.学科&网10.[2016·衢州]如图46－2，已知直线y＝－eq\f(3,4)x＋3分别交x轴，y轴于点A，B，P是抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋2x＋5上一个动点，其横坐标是a，过点P且平行y轴的直线交直线y＝－eq\f(3,4)x＋3于点Q，则PQ＝BQ时，a的值是（）.A．－1，4，4＋2eq\r(5)eq\r(5).B．－1，4，4－2eq\r(5).C．－1，4.D．4＋2eq\r(5)或4－2eq\r(5).二、填空题（6×4=24分）.11.如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则S△AOB=．【解答】解：根据题意得：S△AOB==2，故答案为：212.（2018•大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．即OA=m，OB=m；在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，∴OD•=×，∵m＞0，解得OD=，由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m＜．故答案为：m＜．13.（2018·湖北省孝感·3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣l，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y=上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为．【分析】作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，证明△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点D的坐标表示：AG=DH=﹣x﹣1，由DG=BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论．∵AG=DH=﹣1﹣x=1，∴点E的纵坐标为﹣4，当y=﹣4时，x=﹣，∴E（﹣，﹣4），∴EH=2﹣=，∴CE=CH﹣HE=4﹣=，∴S△CEB=CE•BM=××4=7；故答案为：7．14.（2018•湖北荆门•3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为．【分析】过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D点的坐标为（a，b），求出C、E的坐标，代入函数解析式，求出a，再根据勾股定理求出b，即可请求出答案．把D、E的坐标代入y=得：k=ab=（3+a）b，解得：a=2，在Rt△DQO中，由勾股定理得：a2+b2=32，即22+b2=9，解得：b=（负数舍去），∴k=ab=2，故答案为：2．15.（2018·山东潍坊·3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．【解答】解：如图，连接AM，∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，∴DM=ADtan∠DAM=1×=，∴点M的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．学科&网16.定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．其中正确的结论有．（只需填写序号）③当m＜0时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，=﹣＞，即对称轴在x=右边，因此函数在x=右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；④当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．故答案为：①②④．三、解答题（共46分）.17.（2018·重庆市B卷）（10.00分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为﹣2．直线l2与y轴交于点D．（1）求直线l2的解析式；（2）求△BDC的面积．【解答】解：（1）把x=2代入y=x，得y=1，∴A的坐标为（2，1）．∵将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，∴直线l3的解析式为y=x﹣4，∴x=0时，y=﹣4，∴B（0，﹣4）．将y=﹣2代入y=x﹣4，得x=4，∴点C的坐标为（4，﹣2）．设直线l2的解析式为y=kx+b，∵直线l2过A（2，1）、C（4，﹣2），∴，解得，∴直线l2的解析式为y=﹣x+4；（2）∵y=﹣x+4，∴x=0时，y=4，∴D（0，4）．∵B（0，﹣4），∴BD=8，∴△BDC的面积=×8×4=16．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求出求出直线l2的解析式是解题的关键．18.（2018·湖北省武汉·10分）已知点A（a，m）在双曲线y=上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，①若t=1，直接写出点C的坐标；②若双曲线y=经过点C，求t的值．（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y=﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y=﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．【解答】解：（1）①如图1﹣1中，由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3，∴C（1，3）．②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），∵点C在y=上，∴t（t+2）=8，∴t=﹣4或2，（2）如图2中，∵A（a，m），∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），∵D′在y=﹣上，∴mn=﹣8，19.（2018·山东潍坊·12分）如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．【解答】解：（1）由已知，c=，将B（1，0）代入，得：a﹣+=0，解得a=﹣，抛物线解析式为y1=，∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），∴y2=﹣（x﹣1）2，即y2=﹣．（2）存在，如图1：当TC=AC时，t2﹣=解得：t1=，t2=；当TA=AC时，t2+16=，无解；当TA=TC时，t2﹣=t2+16，解得t3=﹣；当点T坐标分别为（1，），（1，），（1，﹣）时，△TAC为等腰三角形．（3）如图2：②当点P在直线l右侧时，同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，则P（2，﹣），R（0，﹣），PQ解析式为：y=﹣；∴PR解析式为：y=﹣或y=﹣20.（2018•莱芜•12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）