2021年全国研究生招生考试考研数学三历年真题及详解

2021年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上)A.低阶无穷小B.等价无穷小C.高阶无穷小D.同阶但非等价无穷小【答案】C【考点】【解析】是x7的高阶无穷小，故选C项。A.连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数为0D.可导且导数不为0【答案】D【考点】【解析】故f(x)在x=0处连续。因为故选D项。3.设函数f(x)=ax-blnx(a>0)有2个零点，则b/a的取值范围为()。【答案】A【考点】【解析】函数求导得f′(x)=a-b/x,令f'(x)=0,则有驻点x=b/a,得即f(b/a)为函数f(x)的极小值，若f(x)有2个零点，则f(b/a)=a·b/a4.设函数f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2,f(x,x2)=2x21nx,【答案】C【考点】【解析】记3f/ax=f1′,记af/3y=f2′,则题给两式对x求导得分别代入(1)(2)式有将f2′(1,1)=1,df(1,1)=f1′(5.二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2—(x3-x1)2性指数和负惯性指数依次为()。联立可得f1'(1,1)=0,(1,1)dy=dy,故选【答案】B【考点】【解析】f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2所以故特征多项式为令上式等于0,故特征值为一1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1,选B项。为四阶正交矩阵，若矩阵k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=()。【答案】D【考点】线性方程组的通解；【解析】因为A(a1,a2,a3,α4)为四阶正交矩阵，所以向量组a1,a2,a3,α4是一组标准正交向量组，则r(B)=3,又所以齐次线性方程组Bx=0的通解是ka4。而故线性方程组Bx=β的通解x=α1+α2+α3+kα4,其中k为任意常数。7.已知矩阵,若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使PAQ为对角矩阵，则P,Q可以分别取()。【答案】C【考点】对角矩阵的求解；【解析】由增广矩阵得则又则故选C项。8.设A,B为随机事件，且0<P(B)<1,下列命题中不成立的是()。【答案】D【考点】【解析】由条件概率公式以及和事件的运算公式得因为P(A|AUB)>P(A|AUB),故有P(A)>P(B)-P(AB),故选D项。A.0是0的无偏估计，B.0不是0的无偏估计，D.0不是0的无偏估计，【答案】C【考点】【解析】因为X,Y是二维正态分布，所以X与Y也服从二维正态分布，则X-Y也服从二维正态分布，即则0是0的无偏估又由方差公式得D(δ)=D(X-F)=D(X)+D(10.设总体X的概率分布P{X=1}=(1-0)/2,P{X=2}=P{X=3}=(1+0)/4,利用来自总体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2,可得0的最大似然估计【答案】A【考点】【解析】由题知，似然函数为取对数得θ=1/4,故选A项。二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上)【答案】【考点】函数的导数计算；【解析】【答案】6【考点】定积分的计算；【解析】3.设平面区域D由曲线与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转体的体积为。【答案】【考点】定积分的简单应用；【解析】令【答案】【考点】【解析】设差分方程的通解为y=y*+y,其中[a(t+1)+b]-t(at+b)=t,即2at+a+b=t,解得a=1/2,b=-【考点】【解析】根据协方差的定义式计算得Cov(X,Y)=E(根据协方差的定义式计算得Cov(X,Y)=E(XY)所以展开式中含x3项的有一x3,一4x3,即x3项的系数为-5。6.甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数。【答案】【考点】二维离散随机变量的相关系数；【解析】X,Y的联合分布律为PX01PY01P-E(X)E(Y)=3/10-1/2×1/2=1/20,计算得pXY=1/5。三、解答题(本题共6小题，共70分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.(本题满分10分)【答案】要想极限存在，则左右极限相等，即即【考点】极限存在的条件；2.(本题满分12分)求函数【答案】即又由于C=1,AC-B2=3>0,A>0,故f(x,y)在(-1,0)处取得极小值2;驻点(1/2,0)处，A=24,B=0,C=4,AC-B2=96>0,A>0,故f(x,y)在(1/2,0)处取得极小值1/2-21n2。【考点】3.(本题满分12分)设有界区域D是x2+y2=1和直线y=x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分【答案】使用极坐标化简得令则4.(本题满分12分)(1)求yn(x)。是微分方程xy′-(n+1)y=0满足条件(2)求级数的收敛域及和函数。【答案】(1)微分方程化简得,解为(2)的收敛域为[-1,1]设以所以在[-1,1]上连续，所以【考点】齐次线性微分方程的解，级数的收敛域及和函数；5.(本题满分12分)仅有2个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵。【答案】令则b分情况(1)当b=3时，由A相似于对角矩阵可知，二重根λ1=λ2=3至少对应存在两个线性无关的特征向量，则由得a=-1,此时λ1=λ2=3所对应特征向量为λ3=1所对应特征向量为则λ2=1至少对应存在两个线性无关的特征向量，则由得a=1,此时λ1=λ2=1所对应特征向量为λ3=3所对应特征