高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）第04讲 双曲线（教师卷）

第04讲双曲线【【考点目录】【【知识梳理】知识点1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.知识点2双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：eq\a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq\a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq\a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq\a\vs4\al(b)离心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x注：（1）在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负：若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”．（2）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.（3）与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．（4）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．（5）双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.知识点3双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)双曲线的定义：(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面积公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，重要结论：S△PF1F2=推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得由三角形的面积公式可得S△PF1F2==知识点4等轴双曲线和共轭双曲线1．等轴双曲线(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,a2)＝1(a＞0)．(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝eq\r(2).(3)等轴双曲线的方程，；2．共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：(1)有相同的渐近线；(2)有相同的焦距；(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.知识点5直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与双曲线交于，两点，则（为直线斜率）3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.【【考点剖析】考点一求双曲线的标准方程1．（2023春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知双曲线的一个焦点是，则实数的值是（

）A．1 B．-1 C． D．【答案】B【分析】先根据焦点坐标判断焦点所在轴,再由计算即可.【详解】由焦点坐标，知焦点在轴上，所以，可得双曲线的标准方程为，由可得，可得.故选:.2．（2023春·北京丰台·高二北京丰台二中校考阶段练习）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将点代入得出关系，由离心率得出关系，结合双曲线关系式即可求解.【详解】将代入双曲线标准方程得，又，，联立解得，故双曲线的标准方程为.故选：C3．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）和椭圆有相同焦点的等轴双曲线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出椭圆的焦点坐标，再利用等轴双曲线性质，求解即可．【详解】椭圆，，则，可得，设等轴双曲线方程为，其中，可得，解得所求的双曲线方程为．故选：A4．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在轴上，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线定点的定义，求得，设出双曲线方程，写出渐近线方程，利用点到直线距离公式，建立方程，可得答案.【详解】由题意得，即，设双曲线的方程为，焦点到其渐近线的距离为，双曲线方程为，综上，双曲线的方程为．故选：B．5．（2023春·江苏南通·高二统考期中）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知，求解即可【详解】由题意可知双曲线方程为且，解得，所以双曲线的标准方程为，故选：B6．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，若的周长为72，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设直线的方程为，联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得到，然后利用双曲线的定义得到，根据的周长为72列方程，解得即可得到双曲线方程.【详解】由题知，，所以直线为，设，，由，得，则，，所以，因为，，所以，因为的周长为72，所以，所以，得，所以双曲线方程为.故选：C.考点二双曲线的焦点三角形7．（2023春·江西上饶·高二校联考阶段练习）设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（

）A．2 B．2或18 C．4 D．18【答案】B【分析】利用双曲线的定义即可求解.【详解】根据双曲线的定义，，即，解得2或18，均满足.故选：B8．（2023春·安徽安庆·高二安庆一中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，，为坐标原点，是中点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用双曲线的定义和已知条件可得出关于、的方程组，解出的值，利用中位线的性质可求得.【详解】在双曲线中，，，，由双曲线的定义可得，又因为，则，因为、分别为、的中点，故.故选：A.9．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出，再利用三角形的面积公式计算可得答案.【详解】因为，所以，由双曲线的定义可得，所以，解得，故的面积为．故选：B.10．（2023春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由双曲线的定义和三角形的周长解得m的值，再由余弦定理列式可得结果.【详解】设，，，由双曲线的定义知：，∴，a=m，∴有，解得，∵在和中，，∴由余弦定理得，解得，可得双曲线的焦距为．故选：C.考点三双曲线定义的应用11．（2023春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】原方程可变形为，根据已知有，解出即可.【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，可变形为.所以有，即，解得.故选：A.12．（2023春·广东佛山·高二统考阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：可整理成，当，则且或且，此时方程即表示的曲线为双曲线，则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则即，则必要性成立，故选：C13．（2023·四川南充·统考三模）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出方程表示双曲线的必要不充分条件的范围可得答案.【详解】由，方程表示双曲线，则，所以，根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.故选：B.14．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案.【详解】由双曲线，则，即，且，由题意，作图如下：，当且仅当共线时，等号成立.故选：C.15．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线定义得，则利用三角形任意两边之差小于第三边求出的最小值即为.【详解】由题意得双曲线焦点在轴上，，，，所以下焦点，设上焦点为，则，根据双曲线定义：，在上支，，,在中两边之差小于第三边，，,

.故选：D.考点四双曲线的轨迹方程16．（2023·四川·高二统考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出轨迹方程作答.【详解】点，，令为轨迹上任意点，则有，因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，即双曲线的实半轴长，而半焦距，则虚半轴长，所以所求轨迹方程为.故选：B17．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可.【详解】如图所示：∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，∴，，∵是圆上一动点，∴，∴，∴，，，∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得，∴点的轨迹方程为.故选：C.18．（2023春·陕西渭南·高二期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由两圆相切分析可知，符合双曲线的定义，可得，，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求出动圆圆心的轨迹方程.【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，动圆圆心为，半径为，当两圆外切时：，所以；当两圆内切时：，所以；即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，，所以动圆圆心的轨迹方程为：，故选：C.19．（2023·全国·高二专题练习）已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过动圆与圆外切，且和圆内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程.【详解】如图，设动圆的半径为，则，，则，所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支.因为，所以.故动圆圆心的轨迹方程为.故选：D.考点五双曲线的离心率求双曲线的离心率20．（2023春·河北唐山·高二校联考阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根据渐近线得到，得到离心率.【详解】因为的一条渐近线方程为，所以，所以的离心率.故选：C21．（2023春·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由点差法得出，进而由离心率公式求解即可.【详解】设，，由的中点为，则，由，两式相减得：=，则==，由直线的斜率，∴，则，双曲线的离心率，∴双曲线的离心率为，故选：B．22．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点分别在双曲线的左､右两支上，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件及双曲线的定义，再利用矩形的性质及勾股定理，结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】如图所示设，则，，，因为，所以，则四边形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，于是有，解得，所以双曲线的离心率为.故选：A.23．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知，根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知，当且仅当点，，三点共线时，等号成立，从而得到的最小值为，求出的值，得到双曲线的离心率．【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线，因为双曲线，，由双曲线的定义可知，，，当且仅当点，，三点共线时，等号成立，渐近线方程为，即，且，此时，的最小值为，，，所以离心率，故选：A．24．（2023春·海南·高二校考阶段练习）设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从而进一步解出答案.【详解】依题意得,以线段为直径的圆的方程为,双曲线的一条渐近线的方程为.由以及解得或不妨取,则.因为,所以,又,所以,所以,所以该双曲线的离心率.故选：D.25．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线，F为C的下焦点．O为坐标原点，是C的斜率大于0的渐近线，过F作斜率为的直线l交于点A，交x轴的正半轴于点B，若，则C的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】分别表示出A、B坐标，利用求得，即可求出离心率.【详解】因为F为双曲线的下焦点，不妨设，所以过F作斜率为的直线，所以.因为是C的斜率大于0的渐近线，所以可设.由联立解得：.因为，所以，解得：.所以离心率.故选：C求双曲线离心率的取值范围26．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线定义可得，，即，进而推得，得到不等式，求解即可得到的取值范围，进而求得离心率的范围.【详解】设双曲线左焦点为，因为点在双曲线左支上，所以有，即.由已知得，存在点，使得，即，显然，所以.又，即当点位于图中位置时，等号成立，所以，又，所以，整理可得，，解得或（舍去），所以，则，则，所以，所以.故选：C.27．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知为双曲线的左焦点，直线过点与双曲线交于两点，且最小值为，则双曲线离心率取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别讨论经过焦点的直线与双曲线的交点在同一支上和直线与双曲线的交点在两支上这两种情况,列出不等式,计算即可得到范围．【详解】①当经过焦点的直线与双曲线的交点在同一支上,可得双曲线的通径最小,设双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线左支相交于，当直线斜率不存在时，直线的方程为可得,即有，当直线斜率存在时，设直线的方程为联立，消去，得，，由，解得或，所以，所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为②当直线与双曲线的交点在两支上,可得当直线的斜率为0时,最小为由①②及题意可得,即为,即有,则离心率.故选:.28．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】设，利用向量加法法则知，则即，故①，设，则，②，由①②得，即，又，所以，即，即，而双曲线离心率的值大于1，故选：B由双曲线的离心率求参数的取值范围29．（陕西安康·统考三模）已知圆锥曲线的离心率为2，则实数m的值为（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】将方程化为标准式，可知为双曲线，再结合离心率公式，即可得到结果.【详解】该圆锥曲线是双曲线方程可化为，∴，解得．故选:A.30．（2023春·河南焦作·高二统考期中）已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围．【详解】当双曲线实轴在轴上时，，解得，此时，所以，解得，所以，当双曲线实轴在轴上时，，解得，不符合题意.综上，解得.故选：A．31．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意确定，根据双曲线离心率的范围可得不等式，即可求得答案.【详解】由题意双曲线方程为,可得，故实半轴，则，由得，则，即k的取值范围为，故选：A．考点六双曲线的渐近线32．（2023春·陕西渭南·高二期末）中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设双曲线方程，根据已知得到，即可得到渐近线的方程.【详解】由已知可设双曲线的标准方程为.由已知可得，所以，则，所以.所以，双曲线的渐近线方程为.故选：D.33．（2023春·江苏徐州·高二期末）若双曲线：，的离心率为，则的两条渐近线所成的角等于__________.【答案】【分析】根据离心率与的关系以及渐近线方程的表达式即可求解.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，又因为，所以，解得，所以双曲线的一条渐近线为，倾斜角为，所以两条渐近线所成的角等于.故答案为:.34．（2023春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）若双曲线的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则______.【答案】【分析】根据双曲线的渐近线相互垂直求得的关系式，结合求得.【详解】依题意，由于双曲线两条渐近线互相垂直，所以，由于，所以.故答案为：35．（2023春·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校联考阶段练习）与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴的长为（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】D【分析】依题意，设双曲线的方程为，将点的坐标代入可求．即可求解.【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，该双曲线经过点，．所求的双曲线方程为：，即．所以，所以虚轴长为4.故选：D36．（2023·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左､右焦点，过作渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的右支交于点，且，，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义建立的关系即可解得答案.【详解】设，其中，则焦点到渐近线的距离又因为，所以，又，得.则在中，有，，.则由余弦定理得则渐近线方程.故选：C37．（2023·新疆·统考三模）已知P是双曲线右支上一点，分别是双曲线C的左，右焦点，P点又在以为圆心，为半径的圆上，则下列结论中正确的是（

）A．的面积为 B．双曲线C的渐近线方程为C．点P到双曲线C左焦点的距离是 D．双曲线C的右焦点到渐近线的距离为3【答案】D【分析】由双曲线方程求得，，的值，继而求得，判断C;根据,证明，求得面积，即可判断；求得双曲线渐近线方程，判断；求得曲线C的右焦点到渐近线的距离，判断D.【详解】由方程，得，，则，由题意知，，，，则，，则△的面积为，故错误．的渐近线方程为，故错误；，故错误；双曲线的右焦点为,根据双曲线的对称性不妨取渐近线方程，即，则双曲线C的右焦点到渐近线的距离为，故D正确，故选：D考点七直线与双曲线的位置关系（一）直线与双曲线的位置关系判断及应用38．（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（

）A．条 B．条 C．条 D．条【答案】C【分析】利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可.【详解】直线，即恒过点，又双曲线的渐近线方程为，则点在其中一条渐近线上，又直线与双曲线只有一个交点，则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切，即满足条件的直线有条.故选：C39．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线渐近线与之间的位置关系，即可容易判断.【详解】的斜率分别是；对A：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，又，故曲线与有两个公共点，不满足题意，A错误；对B：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，又，故双曲线与有两个公共点，不满足题意，B错误；对C：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，又，故双曲线与都没有公共点，满足题意，C正确；对D：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为，又，故双曲线与没有公共点，与有两个公共点，不满足题意，D错误.故选：C.40．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可.【详解】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行.故充分性不满足；必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件.故选：B41．（2023·全国·高二专题练习）若直线与曲线交于不同的两点，那么的取值范围是A．（） B．（） C．（） D．（）【答案】D【详解】由直线与曲线相切得由图知,的取值范围是（），选D.42．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】把直线的方程和双曲线的方程联立，由于直线与双曲线的右支相交于不同的两点，根据韦达定理即可求得实数的取值范围.【详解】联立直线方程和双曲线方程，化简得，因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以,不妨设两交点的横坐标为，则,则，解得；所以实数的取值范围为.故选：D.43．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）若直线l：与曲线C：有两个公共点，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依题意作出曲线C的图象，作出直线的图象，平行移动直线，即可得到当直线l介于与之间时，直线l与曲线C有两个公共点，结合图象，即可求出实数m的取值范围．【详解】当时，曲线C的方程为，轨迹为椭圆的右半部分；当时，曲线C的方程为，轨迹为双曲线的左半部分，其渐近线为，作出图象如下图，直线l（图中虚线）是与直线平行的直线，平行移动直线，可得直线l，如图可知，当直线l介于直线和（与l平行且与椭圆相切，切点在第一象限）之间时，直线l与曲线C有两个公共点．设的方程为，，则有，联立，消去x并整理得，由，解得或（舍），故m的取值范围为．故选：B．（二）弦长问题44．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市青木关中学校校考阶段练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根据渐近线方程和焦点坐标可解得，再将直线方程代入双曲线方程消元，由韦达定理和弦长公式可得.【详解】双曲线C：的一条渐近线方程是，，即左焦点，，，，，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，，由，消去y可得，，故选：D45．（2023·高二课时练习）已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】设出直线，与联立，根据韦达定理，可求出的值，再根据弦长公式求得弦的长．【详解】解：双曲线，则，所以右焦点，根据题意易得过的直线斜率存在，设为，联立，化简得，所以，因为中点横坐标为4，所以，解得，所以，则，则．故选D．46．（2023·高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解【详解】由题意可设双曲线方程为，，由得，则，，不妨假设，则，由图象的对称性可知，可化为，即，解得，故双曲线方程为：，故选：C47．（2023春·福建福州·高二校考期中）设，是双曲线C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的渐近线上，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出渐近线，由双曲线的对称性，不妨设，由列方程解出参数，求出，即可求面积.【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨设，由得，又，∴的面积.故选：A（三）中点弦问题48．（2023·全国·高二专题练习）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据给定条件，利用“点差法”求出l的斜率，再验证作答.【详解】设点，，因为AB的中点，则有，又点A，B在双曲线上，则，即，则l的斜率，此时，直线l的方程：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C49．（2023秋·河南濮阳·高二统考期末）已知直线l被双曲线C：﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（

）A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=0【答案】C【分析】运用代入法、点差法求出直线l的斜率，最后利用直线的点斜式方程进行求解即可.【详解】解：设P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，∵线段PQ的中点为(1，2)，∴x1+x2=2，y1+y2=4，∵，∴﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0，整理得，即直线l的斜率为，故直线l的方程为y﹣2=(x﹣1)，即x﹣8y+15=0，故选：C.50．（2023春·河北石家庄·高二统考期末）已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.【详解】设，则由，可得则，即，则则双曲线的渐近线的斜率为故选：A51．（2023秋·云南大理·高二校考阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根据，，的关系得出，设出，两点的坐标，代入双曲线方程，两式相减利用中点坐标公式，求出，再根据直线过点，求出，即可得出，进而求出，得出双曲线的标准方程.【详解】解：设双曲线的标准方程为：，由题意知：，即①设，，的中点为，，，又，在双曲线上，则，两式作差得：，即，即，又，即，解得：②，由①②解得：，，双曲线的标准方程为：.故选：B.52．（2023·高二课时练习）双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.【详解】设代入双曲线方程作差有:，有，所以，故选：B．考点八双曲线中参数范围及最值问题53．（2023春·湖南株洲·高二校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为，过左焦点且与实轴垂直的弦长为1，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求出的值，则双曲线方程为，则，，设，列出有关的表达式，再根据渐近线方程即可解得其的取值范围.【详解】根据题意知：，，故，，双曲线方程为，则，，设，则，，，，根据渐近线方程知：，即，两边同时倒数可得：，故．故选：C．54．（2023春·福建宁德·高二统考期末）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义和性质得到，由渐近线方程得到渐近线的斜率，当时，利用余弦定理和面积公式，通过面积相等的两种不同求法，建立关系，最终求出k的范围.【详解】焦点在x上焦点坐标为由双曲线的对称性可得又又又而当时，整理得又又的渐近线方程为又k的取值范围为故选：C55．（2023春·河南郑州·高二郑州市回民高级中学校考期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，△和△的内心分别为M，N，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设圆M与△的三边分别切于点D，P，E(参考解析中的图)，根据圆的切线长定理得到相关线段的相等关系，结合双曲线的定义及线段关系可得，进而确定E的坐标，设并确定其范围，由及平方关系、二倍角正弦公式和正弦函数的性质求范围.【详解】设圆M与△的三边分别切于点D，P，E，设E为，如下图示：由圆的切线性质知：，，，由双曲线的定义知：，即，故，可得，即，故圆M切x轴于双曲线的右顶点处，同理圆N也切x轴于双曲线的右顶点处，又，所以，则，设，易知：，又分别为和的平分线，所以，，，所以，又，所以.故选：A．56．（2023·高二课时练习）已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】由题知，，所以==，解得，故选A.考点九双曲线的定点、定值问题57．（2023秋·江苏泰州·高二泰州中学校考开学考试）双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直线恒过定点______．【答案】【分析】先将直线和双曲线方程联立，然后根据两条直线互相垂直，利用向量坐标运算列出方程后整理后可知其过的定点坐标.【详解】解：由题意得：设的方程为由，得．设，，则，，又，∴，即，把根与系数的关系代入，可得，∴，解得或．当时，直线过，舍去；当时，直线过定点．故答案为：58．（2023春·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于___．【答案】【分析】根据题意得到，设且，根据斜率公式求出，并且化简到只有离心率的表达式.【详解】因为双曲线C：所以，设且即，所以故答案为：59．（2023春·山东潍坊·高二潍坊一中期末）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线(1)求曲线C的方程；(2)已知点，直线l不过P点并与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点【分析】（1）结合条件和双曲线定义可得答案.（2）联立直线方程与曲线方程，结合韦达定理与，可得，后通过分解因式可得之间关系，从而可得l所过定点.【详解】（1）如图，设圆E的圆心为，半径为r，由题可得圆M半径为，圆N半径为则，，所以，由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，又.所以动圆的圆心E的轨迹方程为，.（2）设直线l的方程为，将直线方程与曲线E方程联立，有：，消去x得，由题直线与曲线有两个交点，则.设，，其中，，由韦达定理有：.又，则又，，则，即，又，故或，若，则直线l的方程为，此时l过点，与题意矛盾，所以，故，所以直线l的方程为，则直线l恒过点60．（2023·全国·高二假期作业）已知等轴双曲线经过点，过原点且斜率为的直线与双曲线交于、两点.(1)求双曲线的方程；(2)设为双曲线上异于、的任意一点，且、的斜率、均存在，证明为定值；(3)已知点，求最小时的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据双曲线经过的点，代入求解即可.（2）设出、两点坐标，先表示出斜率公式，利用点差法即可求证.（3）首先利用数量积得，进而得直角最小.【详解】（1）因为点在曲线上，则有，解得，故双曲线方程为.（2）由题意可知，、关于原点对称，设、、.则，，那么，又因为、在曲线上，则，两式相减整理得，则有.（3）如图所示：设、、.则，，，即为直角或钝角，所以当为直角时最小，此时，所以.61．（2023春·湖南长沙·高二校联考阶段练习）双曲线：的离心率为，且点在双曲线上.(1)求曲线的方程；(2)动点M，N在曲线上，已知点，直线PM，PN分别与y轴相交的两点关于原点对称，点在直线MN上，，证明：存在定点，使得为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由双曲线过点和离心率为，列方程即可求解；（2）联立直线与双曲线方程，根据直线PM，PN与y轴的两交点关于原点对称结合韦达定理即可求解.【详解】（1）由题意可知：且，解得，故双曲线方程为：.（2）证明：当直线的斜率不存在时，此时两点关于轴对称，若直线PM，PN与y轴的两交点关于原点对称，则在轴上，与题意矛盾，因此直线的斜率存在.设直线的方程为，，，联立，整理得，则，，，.直线PM，PN分别与y轴相交的两点为，，∴直线方程为，令，则，同理，可得，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴，，当时，，此时直线方程为恒过定点，显然不可能，∴，直线方程为，恒过定点∵，设中点为T，∴，∴为定值，∴存在使为定值.考点十双曲线中的向量问题62．（2023春·湖南·高二校联考期中）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是上一点，且位于第一象限，，则的纵坐标为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由，可知为直角三角形，利用勾股定理计算出，又由双曲线的定义建立，联立解的，设的纵坐标为，由等面积法求出即可【详解】因为，所以.由双曲线的定义可得，所以，解得，故的面积为.设的纵坐标为，则的面积为，解得.所以的纵坐标为：故选：C.63．（2023春·江苏连云港·高二校考期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由点在双曲线上得到，再由，的斜率之积为得到，从而得到，由此可求得双曲线的离心率；（2）先由条件求得双线曲方程，再联立直线与双曲线得到，又由得到，从而求得值，由此可得直线的方程.【详解】（1）因为是双曲线E上一点，可得，即为，由题意可得，，可得，即有.（2）由题意可得，，则双曲线的方程为，易知直线斜率存在，设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，可得，设，则，，①又，可得，②由①②可得，，代入①可得，解得，则直线l的方程为.64．（2023春·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解的值，进而可求双曲线方程，（2）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，进而结合向量满足的关系即可代入求值.【详解】（1）因为双曲线的离心率，实轴长为4，，解得，因为所以双曲线的标准方程为（2）将直线与曲线联立得，设，，则，，设，由得，即，又因为，解得，所以或.65．（2023春·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期中）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；(1)求双曲线的方程；(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据通径，直接求得，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；（2）通过对转化为，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.【详解】（1）依题意，，当l垂直于x轴时，，即，即，解得，，因此；（2）设，联立双曲线方程，得：，当时，，，当时，设，因为直线与双曲线右支相交，因此，即，同理可得，依题意，同理可得，，而，代入，，，分离参数得，，因为，当时，由，，所以，综上可知，的取值范围为.考点十一双曲线中的综合问题66．【多选】（2023春·江苏·高二江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知双曲线C：，两个焦点记为，下列说法正确的是（

）A．B．渐近线方程为：C．离心率为D．点在双曲线上且线段的中点为，若，则【答案】AC【分析】根据双曲线的性质判断ABC，再由中位线定理结合定义判断D.【详解】由题意可知，，即渐近线方程为：，，离心率为，故AC正确，B错误；对于D，当位于轴上方时，由中位线定理可得，，则，故D错误；故选：AC67．【多选】（2023春·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率【答案】BCD【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出的坐标，即可得，由的取值范围即可得，从而可判断A，由中点坐标公式可判断是的中点，由此可判断BC，由余弦定理结合可判断D.【详解】先求双曲线上一点的切线方程：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.由，得，所以，则在的切线斜率，所以在点处的切线方程为：又有，化简即可得切线方程为：.不失一般性，设是双曲线在第一象限的一点，是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点,双曲线的渐近线方程是，联立：，解得：，联立：，解得：，则，又因为，所以，即，A错误；由，可知是的中点，所以，B正确；易知点的坐标为，则，当点在顶点时，仍然满足，C正确；因为，所以，，因为，则，解得，即，代入，得，所以，，所以，所以，，所以离心率，D正确.故选：BCD68．（2023春·四川成都·高二树德中学校考期中）设，是双曲线的左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（

）A．到直线l的距离为a B．双曲线的离心率为C．的外接圆半径为 D．的面积为9【答案】B【分析】根据题意可知，是的中点，因此可得，为△的中位线，可求到直线的距离判断A选项；利用双曲线的定义，即可求得，和的值，求得双曲线的离心率，可判断B选项；求得，利用正弦定理即可求得△的外接圆半径，可判断C选项；利用三角形的面积公式，即可求得△的面积，可判断D选项．【详解】由题意，到准线的距离，又，∴，如图过向作垂线，垂足为，由，为中点，则为△的中位线，所以，即是的中点，因为，，，，，因此到直线的距离为，故A错误；在中，，又，得到，解得，，，所以双曲线的离心率，故B正确；，设△的外接圆半径，因此，所以，故C错误；△的面积．故D错误.故选：B．69．【多选】（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（

）A．双曲线的方程为B．直线与双曲线C有两个交点C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．焦点到渐近线的距离为1【答案】ACD【分析】根据待定系数法求得双曲线方程，进而逐项求解判断即可．【详解】解：由题意设双曲线方程为，∵双曲线过，，∴双曲线方程为，故A对；联立消得，故直线与双曲线只有一个交点，故B错；由得焦点坐标为，将代入得，故C对；由双曲线的性质知交点到渐进线的距离为，或者到渐进线的距离，故D对．故选：ACD．70．【多选】（2023·全国·高二假期作业）已知双曲线的焦点为，且到直线的距离为4，则以下说法正确的是（

）A．双曲线的离心率为B．若在双曲线上，且，则或1C．若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为D．若在双曲线上，且，则的面积为【答案】AC【分析】由焦点到渐进线的距离为4可得，，可得离心率；即A正确；根据双曲线定义即可求得判断B；根据焦点弦公式可知的最小值为双曲线的通径可判断C；根据双曲线定义即勾股定理分别计算出的长，即可的面积从而判断D.【详解】由已知可得，到直线的距离为，所以，即离心率为，所以A正确；若在双曲线右支，由焦半径公式可知，所以只能在双曲线左支，故，所以B错误；若过的直线交双曲线右支于，则的最小值为双曲线的通径，即，故C选项正确；若在双曲线上，且，设，不妨设，由双曲线定理和勾股定理得：，所以，则的面积为；即D错误.故选：AC.【【过关检测】一、单选题1．（2023春·江苏连云港·高二期末）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】等轴双曲线的方程可设为，将代入解出即可.【详解】设等轴双曲线的方程为，将代入得：，即，所以等轴双曲线的标准方程为．故选：A．2．（2023秋·广东广州·高二校联考期末）已知方程，则E表示的曲线形状是（

）A．若，则E表示椭圆B．若E表示双曲线，则或C．若E表示双曲线，则焦距是定值D．若E的离心率为，则【答案】B【分析】根据曲线表示椭圆，求得m的范围，判断A;根据曲线表示双曲线，求得m的范围，判断B；由B的分析求双曲线的焦距，可判断C;根据E的离心率为，分类讨论求得m的值，判断D.【详解】由题意得，当时，，即，要表示椭圆，需满足，解得且，故A错误；若E表示双曲线，则不能为0，故化为，则，即或，故B正确；由B的分析知，时，，此时c不确定，故焦距不是定值，C错误；若E的离心率为，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，且，当时，，此时，则，解得，当时，，此时，则，解得，故D错误，故选：B3．（2023春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知是双曲线的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由得到，，结合，求出，，利用双曲线定义得到方程，求出离心率.【详解】不妨设点M在第一象限，由题意得：，即，故，故，因为O为的中点，所以，因为，故为等边三角形，故，，由双曲线定义可知：，即，解得：.故选：C.4．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考期末）已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据双曲线的对称性可得为的中点，即可得到，再根据双曲线的性质计算可得；【详解】解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以．故选：C5．（2023春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知双曲线：的渐近线方程为，则（

）A．2 B．－2 C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的方程可得渐近线方程为：，结合题意然后根据双曲线标准方程可得，进而求解.【详解】因为双曲线的方程为，所以，令可得：，所以渐近线方程为：，由题意知：双曲线：的渐近线方程为，所以，故选：B.6．（2023春·安徽合肥·高二校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（

）A．或 B．C． D．【答案】D【分析】已知直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，将直线与双曲线两个方程联立，得到的一元二次方程有一正一负根，即可得出结论．【详解】联立，消y得，.因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，所以方程有一正一负根，所以，整理得，解得.所以的取值范围为.故选：D．二、多选题7．（2023春·江苏无锡·高二统考期末）已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（

）A．点到轴的距离为B．C．为钝角三角形D．【答案】BC【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定