中考数学全面突破：题型3　实际应用与方案设计型问题

题型3实际应用与方案设计型问题eq\x(题型解读)实际应用与方案设计型总结以下常考类型：1.购买分配类问题；2.工程、生产、行程问题；3.增长率(面积)问题；4.一次函数的实际应用；5.二次函数的实际应用．购买问题常考模型有：①A、B总数量已知，单价和总花费已知，求A、B数量(列方程组求解，如第4题)；②已知A、B的单价与总花费及A、B价格变化后的总花费或已知A、B的进价、售价、总进价与总获利，求A、B数量(列方程组求解，如第2题)；③已知A、B单价和，A与B单价之间的关系，求A、B单价(如第3题)．工程、生产、行程问题常考模型有设单位1，求解和通过公式求解(常列分式方程，所用公式有v＝eq\f(s,t)，数量＝eq\f(总价,单价)，工作效率＝eq\f(工作总量,工作时间))．增长率(面积)问题，常列一元二次方程求解，这里一般是由矩形面积求边长．一次函数的实际应用常考形式有图象型、表格型、阶梯费用(分段函数)、最值问题．二次函数的实际应用常考形式有抛物线型、涉及几何图形面积(矩形)、最值问题．类型一购买、分配类问题1.解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48；如果乙得到甲所有钱的eq\f(2,3)，那么乙也共有钱48.问甲、乙两人各带了多少钱？2.某商场销售A、B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：AB进价(万元/套)1.51.2售价(万元/套)1.651.4该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．(毛利润＝(售价－进价)×销售量)(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？3.为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．(1)求足球和篮球的单价各是多少元？(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？4.为提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．(1)求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元(注：毛利润＝售价－进价)．类型二工程、生产、行程问题5.“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该工程的eq\f(1,3)，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？6.甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶．甲车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60km/h.(1)求甲车的速度；(2)当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a(km/h)，并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值．7.某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶纯电费用26元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．(1)求每行驶1千米纯用电的费用；(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？8.某工厂通过科技创新，生产效率不断提高，已知去年月平均生产量为120台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量增长了m%，二月份的生产量又比一月份生产量多50台机器，而且二月份生产60台机器所需时间与一月份生产45台机器所需时间相同，三月份的生产量恰好是去年月平均生产量的2倍．问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m的值是多少？类型三增长率(面积)问题9.青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车.(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？(2)请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率.10.在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA、OB长度不限)中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2.(1)求这个地面矩形的长；(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？类型四一次函数的实际应用11.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发．甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地．设甲、乙两车距A地的路程为y(千米)，甲车行驶的时间为x(时)，y与x之间的函数图象如图所示．(1)求甲车从A地到达B地的行驶时间；(2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)求乙车到达A地时甲车距A地的路程．12.由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少．已知原有蓄水量y1(万m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示．针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其他因素)．(1)求原有蓄水量y1(万m3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x＝20时的水库总蓄水量；(2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围)，若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．13.“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份A型车销售总额增加25%.(1)求今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：A型车B型车进货价格(元/辆)11001400销售价格(元/辆)今年的销售价格240014.某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？15.A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台．从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠，其他费用不变．如何调运，使总费用最少？类型五二次函数的实际应用16.课本中有一个例题：有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径为0.35m时，透光面积的最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6m．利用图③，解答下列问题：(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积；(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．17.为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式；(不要求写自变量x的取值范围)(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明；(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)18.襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋140（40≤x＜60）,－x＋80（60≤x≤70）)).(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式；(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围类型一购买、分配类问题1.解：设甲带的钱为x，乙带的钱为y，由题意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝48,\f(2,3)x＋y＝48))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝36,y＝24)).答：甲、乙两人各带钱为36、24.2.解：(1)设该商场计划购进A种设备x套，B种设备y套，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.5x＋1.2y＝66,0.15x＋0.2y＝9))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20,y＝30)).答：该商场计划购进A种设备20套，B种设备30套．(2)设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，由已知得1．5(20－a)＋1.2(30＋1.5a)≤69，解得a≤10.答：A种设备购进数量至多减少10套．3.解：(1)设购买足球与篮球的单价分别为x元、y元，依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝159,x＝2y－9))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝103,y＝56)).答：足球的单价是103元，篮球的单价是56元．(2)设学校购买足球z个，则购买篮球(20－z)个，于是有：103z＋56(20－z)≤1550，解得z≤9eq\f(7,47).答：学校最多可以购买9个足球．4.解：(1)设A型号家用净水器购进了x台，B型号家用净水器购进了y台，由题意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝160,150x＋350y＝36000))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100,y＝60)).所以A型号家用净水器购进了100台，B型号家用净水器购进了60台．(2)设每台A型号家用净水器的毛利润为z元，则每台B型号家用净水器的毛利润为2z元．由题意得：100z＋60×2z≥11000.解得z≥50，又∵售价＝毛利润＋进价，∴A型号家用净水器的售价≥150＋50＝200元，∴每台A型号家用净水器的售价至少为200元．类型二工程、生产、行程问题5.解：(1)由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为30÷eq\f(1,3)＝90(天)．设乙队单独施工需要x天完成该项工程，则eq\f(30＋15,90)＋eq\f(15,x)＝1.去分母，得x＋30＝2x，解得x＝30.经检验x＝30是原方程的解．答：乙队单独施工需要30天才能完成该项工程．(2)设乙队施工y天完成该项工程，则1－eq\f(y,30)≤eq\f(36,90).解得y≥18.答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．6.解：(1)v甲＝eq\f(280－120,2)＝80(km/h)．∴甲车的速度为80km/h.(2)相遇时间为eq\f(280,80＋60)＝2(h)．依题意得eq\f(60×2,80)＋eq\f(38,60)＝eq\f(80×2,a).解得a＝75.经检验，a＝75是原分式方程的解．∴a的值为75.7.解：(1)设每行驶1千米纯用电的费用为x元，则每行驶1千米纯燃油的费用为(x＋0.5)元．根据题意得：eq\f(76,x＋0.5)＝eq\f(26,x)，解得x＝0.26(元)，经检验x＝0.26是原方程的根．答：纯用电每行驶1千米所需要的费用为0.26元．(2)由(1)得纯燃油每行驶1千米所需的费用为0.5＋0.26＝0.76(元)，从A到B的距离为26÷0.26＝100(千米)．设用电行驶y千米，则用燃油行驶(100－y)千米．根据题意得0.26y＋0.76(100－y)≤39，解得y≥74.答：至少用电行驶74千米．8.解：设去年月平均生产效率为1，则今年一月份的生产效率为(1＋m%)，二月份的生产效率为(1＋m%＋eq\f(5,12))，根据题意得：eq\f(60,1＋m%＋\f(5,12))＝eq\f(45,1＋m%)，解得m%＝eq\f(1,4)，经检验可知m%＝eq\f(1,4)是原方程的解，∴m＝25.∴第一季度生产总量为120×1.25＋120×1.25＋50＋120×2＝590(台)．答：今年第一季度生产总量是590台机器，m的值是25.类型三增长率(面积)问题9.解：(1)设每个站点的造价为x万元，公共自行车的单价为y万元．根据题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40x＋720y＝112,120x＋2205y＝340.5))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝0.1)).答：每个站点的造价为1万元，公共自行车的单价为0.1万元．(2)设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a.根据题意可得：720eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋a))2＝2205，解得a1＝eq\f(3,4)＝75%，a2＝－eq\f(11,4)(不符合题意，舍去)．答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%.10.解：(1)设矩形的长为xm，则宽为(20－x)m.根据题意得：x(20－x)＝96，即x2－20x＋96＝0.解得x1＝8，x2＝12，当x＝8时，20－8＝12，∵8＜12，不合题意，舍去，∴这个地面矩形的长为12m．(2)用第一种规格的地板砖所需费用为：96÷(0.80×0.80)×55＝8250(元)；用第二种规格的地板砖所需费用为：96÷(1×1)×80＝7680(元)．∵8250＞7680，∴用第二种规格(即1.00×1.00)的地板砖费用较少．(类型四一次函数的实际应用11.解：(1)如解图，设直线OA的解析式为y＝k1x(k1≠0)．第11题解图把点(1.5，180)代入，得：1．5k1＝180，∴k1＝120，∴直线OA的解析式为y＝120x.当y＝300时，则120x＝300，解得x＝2.5.∴甲车从A地到达B地的行驶时间为2.5小时．(2)设直线AB的解析式为y＝k2x＋b1(k2≠0)．把点(2.5，300)，(5.5，0)分别代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2.5k2＋b1＝300,5.5k2＋b1＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝－100,b1＝550))，∴甲车返回时y与x之间的函数关系式为y＝－100x＋550(2.5≤x≤5.5)．(3)设直线CD的解析式为y＝k3x＋b2(k3≠0)．把点(0，300)，(1.5，180)分别代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝300,1.5k3＋b2＝180))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k3＝－80,b2＝300))，∴直线CD的解析式为y＝－80x＋300.令y＝0，则－80x＋300＝0，x＝3.75.把x＝3.75代入y＝－100x＋550得y＝－375＋550＝175(千米)，∴乙车到达A地时甲车距A地的路程为175千米．12.解：(1)设y1与x的函数关系式为y1＝kx＋b(k≠0)，∵函数y1＝kx＋b的图象经过点(0，1200)和(60，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1200,60k＋b＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－20,b＝1200))，∴y1与x的函数关系式为：y1＝－20x＋1200，当x＝20时，y1＝－400＋1200＝800(万m3)．(2)设y2与x的函数关系式为y2＝mx＋n(m≠0)．∵函数y2＝mx＋n的图象经过点(20，0)，(60，1000)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20m＋n＝0,60m＋n＝1000))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝25,n＝－500))，∴y2与x的函数关系式为y2＝25x－500，∴总蓄水量y与x的函数关系为：①当0≤x≤20时，y＝y1＝－20x＋1200;②当20<x≤60时，y＝y1＋y2＝－20x＋1200＋25x－500＝5x＋700.综上，y与x的函数关系式为：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋1200（0≤x≤20）,5x＋700（20＜x≤60）)).发生严重干旱时x的取值范围是15≤x≤40.【解法提示】当y≤900时，由y＝－20x＋1200≤900(0≤x≤20)，得15≤x≤20；由y＝5x＋700≤900(20<x≤60)，得20<x≤40.故发生严重干旱时，x的取值范围是：15≤x≤40.13.解：(1)设去年A型车每辆x元，则今年A型车每辆(x＋400)元，根据题意得，eq\f(32000,x)＝eq\f(32000×（1＋25%）,x＋400)，解得x＝1600，经检验，x＝1600是方程的根，且符合题意．1600＋400＝2000(元)．答：今年A型车每辆售价为2000元．(2)设今年7月份进A型车m辆，那么进B型车(50－m)辆，获得的总利润为y元，根据题意，得50－m≤2m，解得m≥16eq\f(2,3)，y＝(2000－1100)m＋(2400－1400)(50－m)，即y＝－100m＋50000，∵k＝－100<0，∴y随m的增大而减少，但m只能取正整数，∴当m取17时，可以获得最大利润．答：进A型车17辆，B型车33辆时能使这批车获利最多．14.解：(1)由每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场价为n元．根据题意列方程组得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(14m＋（20－14）n＝49,14m＋（18－14）n＝42))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2,n＝3.5)).答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元．(2)当0≤x≤14时，y＝2x；当x＞14时，y＝14×2＋(x－14)×3.5＝3.5x－21.故所求函数关系式为：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x（0≤x≤14）,3.5x－21（x＞14）)).(3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70(元)．答：小明家5月份应交水费70元．15.解：(1)依题意知，从A城至D乡运(30－x)台，从B城至C乡运(34－x)台，从B城至D乡运(x＋6)台，∴W＝250x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(x＋6)＝140x＋12540(0≤x≤30)．(2)∵W≥16460，∴140x＋12540≥16460，解得x≥28，∴28≤x≤30，∴x可取28，29，30，∴有三种不同的调运方案：当x＝28时，从A城至C乡运28台，从A城至D乡运2台，从B城至C乡运6台，从B城至D乡运34台；当x＝29时，从A城至C乡运29台，从A城至D乡运1台，从B城至C乡运5台，从B城至D乡运35台；当x＝30时，从A城至C乡运30台，从A城至D乡运0台，从B城至C乡运4台，从B城至D乡运36台．(3)依题意得W＝140x＋12540－ax＝(140－a)x＋12540，当0<a<140时，140－a>0，x取0时，W最小，此时，从A城至C乡运0台，从A城至D乡运30台，从B城至C乡运34台，从B城至D乡运6台；当a＝140时，W＝12540.各种方案费用一样多；当140<a≤200时，140－a<0，x取30时，W最小．此时，从A城至C乡运30台，从A城至D乡运0台，从B城至C乡运4台，从B城至D乡运36台．类型五二次函数的实际应用16.解：(1)由已知条件得，AD＝eq\f(6－3－\f(1,2),2)＝eq\f(5,4)(m)，此时窗户的透光面积S＝AB·AD＝1×eq\f(5,4)＝eq\f(5,4)(m2)．(2)设AB＝xm，则AD＝(3－eq\f(7,4)x)m，∵x＞0，3－eq\f(7,4)x＞0，∴0＜x＜eq\f(12,7).设窗户透光面积为S，由已知得，S＝AB·AD＝x(3－eq\f(7,4)x)＝－eq\f(7,4)x2＋3x＝－eq\f(7,4)(x－eq\f(6,7))2＋eq\f(9,7)，当x＝eq\f(6,7)时，且x＝eq\f(6,7)在0＜x＜eq\f(12,7)的范围内，S最大值＝eq\f(9,7).∵eq\f(9,7)m2＞1.05m2，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．17.解：(1)依题可知，顶点坐标为(7，3.2)且过点(0，1.8)，设y＝a(x－7)2＋3.2，将点(0，1.8)代入得1．8＝49a＋3.2，∴a＝－eq\f(1,35)，∴y＝－eq\f(1,35)(x－7)2＋3.2＝－eq\f(1,35)x2＋eq\f(2,5)x＋eq\f(9,5).(2)把x＝9.5代入y＝－eq\f(1,35)x2＋eq\f(2,