考点14 轴对称变换的运用-最小值（解析版）

轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合．由此演变出来的一系列的最小值或最大值的问题是学生的一个难点．★★★○○○○1.轴对称的性质：①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③对应点的连线互相平行或在同一条直线上．2.利用轴对称的性质“化曲为直”，即将不在同一条直线上的线段转化到同一条直线上，结合“垂线段最短”或“三角形的两边之和大于第三边”，确定线段和的最小值．1.如图，点A，B是直线l异侧的两个点，在直线l找一点P，使PA＋PB最小．思路：连接AB交直线l于点P，PA＋PB的最小值是线段AB的长．2.如图，点A，B是直线l同旁的两个点，在直线l找一点P，使|PA－PB|最小．思路：连接AB交延长交直线l于点P，|PA－PB|的最大值是线段PB的长．3.如图，点A，B是直线l同旁的两个点，在直线l找一点P，使PA＋PB最小．思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，PA＋PB的最小值是线段A′B的长．4.如图，在∠MAN中，点P是∠MAN内的一个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当△PCD的周长最小时，点C，D的位置．思路：将△PCD有三边集中到一条直线上．分别作点P关于AM，AN和对称点P′，P′′，连接P′P′′交AM，AN于点C，D，△PCD的周长的最小值是线段P′P′′的长．学科@网5.如图，在∠MAN中，点P，Q是∠MAN内的两个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当四边形CDPQ的周长最小时，点C，D的位置．思路：确定四边形CDPQ的周长的最小值，因为PQ的长不变，即是要确定QC＋CD＋DP的最小值．分别作点Q，P关于AM，AN的对称点Q′，P′，连接P′Q′，分别交AM，AN于点C，D，四边形CDPQ周长的最小值是PQ＋P′Q′的长．学科@网6.如图，在∠MAN中，点B是AM上的一个定点，点C，D分别是边AM，AN上的两个动点，试确定当CB＋CD最小时，点C，D的位置．思路：作点B关于AM的对称点B′，过B′作BD⊥AN于点D，交AM于点C，CB＋CD的最小值是垂线段B′D的长．例1.如图，E为等腰直角△ABC的边AB上的一点，要使AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，则PB＋PE的最小值为____________．【答案】5∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，AD＝DC，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵∠ADF＝∠CDB，∴△ADF≌△CDB，∴AF＝BC，∠FAD＝∠C＝45°，∵AE＝3，BE＝1，∴AB＝BC＝4，∴AF＝4，∵∠BAF＝∠BAC＋∠FAD＝45°＋45°＝90°，∴由勾股定理得：EF＝＝＝5，∵AC是BF的垂直平分线，∴BP＝PF，∴PB＋PE＝PF＋PE＝EF＝5．故答案为5.例2.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF＋ED的最小值是_______．【答案】3例3.如图，抛物线的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，线段OD＝OC.（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点M，使得⊿CDM是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，连接QE．若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；(2)符合题意的Ｍ有三点，分别是(2，3)，(，)，(，)；(3)存在，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为2．（3）存在.作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C′′，连接C′C′′，交QE于点P，则△PCE即为符合题意的周长最小的三角形，由对称轴的性质可知，△PCE的周长等于线段C′C′′的长度，然后过点C′作C′N⊥y轴，然后依据勾股定理求得C′C′′的长即可.解：（1）设抛物线的解析式为，将C（0，1）代入得：，解得:∴(2)①C为直角顶点时，如图①，CM⊥CD．设直线CD为，∵OD＝OC，∴OD＝1，∴D(1，0)把D(1，0)代入得，，∴∵CM⊥CD，∴易得直线CM为:则，解得，M(2，3)，恰好与Q点重合．②D为直角顶点时，如图②，易得，直线ＤＭ为．则，则Ｍ为(，)或(，)．综上所述，符合题意的Ｍ有三点，分别是(2，3)，(，)，(，)．证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长＝F′C″＋F′P′＋P′C′；而F′C″＋F′P′＋P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″＋F′P′＋P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．如答图④所示，连接C′E，1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，则PB＋PE的最小值是（ ）A.1 B. C.2 D.【答案】B2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB是，则BE＋EF的最小值是（ ）A.4 B.4.8 C.5 D.5.4【答案】B【解析】作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，已知AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，根据等腰三角形的三线合一的性质可得BD＝CD＝3，AD平分∠BAC，即可得点M在AC上，在Rt△ABD中，由勾股定理求得AD＝4，所以，由此求得BN＝4.8，再由点F关于AD的对称点M可得EF＝EM，所以BE＋EF＝BE＋EM＝BM，根据垂线段最短得出，BM≥BN，即BE＋EF≥4.8，即BE＋EF的最小值是4.8，故选B.学科@网3.如图，点A（a，2），B（﹣2，b）都在双曲线y＝上，点P、Q分别是x轴，y轴上的动点．当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是y＝x＋，则k＝______．【答案】－7故答案是−7．学科@网（每道试题10分，总计100分）1.如图，正方形ABCD的面积为36，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B2.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，分别以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是⊙A，⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE＋PF的最小值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B．【解析】作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于点P，则AD＋PD最小，且最小值是线段A′D的长，所以PE＋PF的最小值为A′D－AE－AF．∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，圆A的半径为1，∴AD＝BC＝3，AA′＝2AB＝4，AE＝DF＝1，在Rt△AA′D中，由勾股定理得，A′D＝5，∴PE＋PF的最小值为A′D－AE－AF＝5－1－1＝3故选B．3.Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝10，D、E分别为边AB、CA上两动点，则CD＋DE的最小值为（ ）A. B.16 C. D.20【答案】C4.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∠C＝90°．AD＝AC，AB＝8，E是AB上任意一点，F是AC上任意一点，则折线DEFB的最短长度为_____．【答案】5.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_____．（结果保留根号）【答案】15cm【解析】如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2＝A′D2＋CD2＝92＋122＝225，∴CA′＝15cm，答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是15cm．故答案为15cm．6.如图，直线y＝x＋6与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点C（﹣4，0），点P为直线一动点，当PC＋PO值最小时点P的坐标为_______．【答案】故答案为.7.如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），点P（0，m），将线段PA绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO＋BA的最小值为_____________．【答案】88.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为_____．【答案】89.如图，抛物线y＝x2＋bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．【答案】（1），D(，)；（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）M（，0）.【解析】（1）∵点A（－1，0）在抛物线y＝x2＋bx－2上，∴×(－1)2＋b×(－1)–2＝0，解得b＝，∴抛物线的解析式为y＝x2x－2.y＝(x2－3x－4)＝(x－)2－，∴顶点D的坐标为(，－).（2）当x＝0时y＝－2，∴C（0，－2），OC＝2．当y＝0时，x2x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，∴B(4，0)，∴OA＝1，OB＝4，AB＝5.∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.10.为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，，连结AC、EC．已知AB＝1，DE＝5，BD＝8，设BC＝x．则，则问题即转化成求AC＋CE的最小值．（1）我们知道当A，C，E在同一直线上时，AC＋CE的值最小，于是可求得的最小值等于；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．【答案】（1）10；(2)13.（2）由（1）的结果可作BD＝12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，利用勾股定理即可求得AE的值就是代数式的最小值．则在Rt△AEF中，AF＝BD＝12，EF＝DE＋DF＝DE＋AB＝3＋2＝5，根据勾股定理得AE＝，所以的最小值是13．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________