第2讲 代数式、整式的运算

第2讲代数式、整式的运算课前必读课标要求1.在实际情境中进一步理解用字母表示数的意义.2.能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.3.能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义.4.会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需

要的公式，并会代入具体的值进行计算.5.了解整数指数幂的意义和基本性质.6.了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行

简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅指一次式相乘).7.会推导乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2

＝

a2

＋

2ab

＋

b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算.网络构建考点梳理

代数式、整式1．代数式： (1)定义：用____________________________________ _______把数和表示数的字母连接而成的式子称代数式．注意单独一个数或一个字母也是代数式． (2)列代数式：用含有___________________的式子把问题中的_____关系表示出来． (3)求代数式的值：用具体____代替代数式中的____，按照代数式中指明的运算关系，计算得出结果，叫求代数式的值．基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)数、字母和运算符号数量数值字母名师助学列代数式要注意：(1)数与字母，字母与字母相乘时，可省略×或用·.(2)数字通常写在字母前面．(3)带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数．(4)除法运算一般用分数形式表示．2．整式：_______和______统称整式．3．单项式： (1)定义：_____与_____的积的代数式叫单项式．单独一个数或一个字母也是单项式． (2)系数：单项式中的_____因数叫单项式的系数． (3)次数：单项式中所有字母的_________叫单项式的次数．4．多项式： (1)定义：几个_______的和就是多项式． (2)多项式的项：多项式中__________就是多项式的项． (3)次数：多项式中___________________是多项式的次数．单项式多项式数字字母数字指数之和单项式每个单项式次数最高的项的次数5．同类项： (1)定义：所含_____相同，且_________的指数也相同的项叫做同类项． (2)合并同类项法则：同类项的_________，所得结果作为系数，_____和_________不变．字母相同字母字母系数相加字母指数

整式的运算1．去括号法则： (1)若括号外是正因数，则去括号后括号里的各项都____ __； (2)若括号外是负因数，则去括号后括号里的各项都__ __．2．整式的加减运算：先去括号，再合并_______．3．整式的乘除运算： (1)单项式×单项式

①________；②____________；③_________________．不变号变号同类项系数相乘同底数幂相乘单独一个字母照抄(2)单项式×多项式①_______________________；②积相加．(3)多项式×多项式①_____________________________________________；②积相加．(4)单项式÷单项式①_________；②____________；③___________________________．(5)多项式÷单项式①_________________________；②商相加．单项式乘多项式的每一项一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项系数相除同底数幂相除只在被除式里出现的字母照抄多项式的每一项除以单项式(6)乘法公式①平方差公式：__________________；②完全平方公式：___________________．(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a±b)2＝a2±2ab＋b2

名师助学完全平方有三项，首尾符号是同乡；首平方、尾平方，首尾二倍放中央．

幂的运算法则幂的运算法则(m、n是整数，p是正整数)：1．am·an＝____；2．(am)n＝___；3．(ab)n＝___；4．am÷an＝_____(a≠0)；5．a0＝__(a≠0)；am＋namnanbnam－n1名师助学1．推广：(1)am·an·ap＝am＋n＋p； (2)(abc)n＝an·bn·cn.2．变形逆向应用：(a)mn＝(am)n＝(an)m.对接中考

常考角度1．以社会、生活、实践等为实际背景命制题目．2．规律题、与几何图形和数字有关的题目．对接点一：列代数式问题【例题】(2013·滨州)观察下列各式的计算过程： 5×5＝0×1×100＋25， 15×15＝1×2×100＋25， 25×25＝2×3×100＋25， 35×35＝3×4×100＋25， …

请猜测，第n个算式(n为正整数)应表示为________．

解析

∵5×5＝0×1×100＋25， 15×15＝1×2×100＋25， 25×25＝2×3×100＋25， 35×35＝3×4×100＋25， …

∴第n个算式(n为正整数)应表示为：100n(n－1)＋25.

答案

[10(n－1)＋5]×[10(n－1)＋5]

＝100n(n－1)＋251．抓住数量关系的关键词挖掘相应的运算关系，如：大、小、多、少、和、差、倍、分、增加、增加到等．2．掌握常用的数学用语，如平方和、平方差等．3．通过观察、猜想、归纳或者借助函数工具分析题目中的数、式、图形所表示的规律．【预测1】如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是 (

) A．5n B．5n－1 C．6n－1 D．2n2＋1

解析第1个图形中有5个棋子，第2个图形中有11个棋子，第3个图形中有17个棋子，故第n个图形需要围棋子的枚数是6n－1.也可用代入验证法．

答案

C【预测2】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片如图(1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为mcm，宽为 ncm)的盒子底部，如图(2)盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图(2)中两块阴影部分的周长和是 (

) A．4mcm B．4ncm C．2(m＋n)cm D．4(m－n)cm

解析设小长方形的长为a，宽为b，

上面的长方形周长：2(m－a＋n－a)，

下面的长方形周长：2(m－2b＋n－2b)，

两式相加得，总周长：4m＋4n－4(a＋2b)．

∵a＋2b＝m(由图可得)，

∴总周长＝4m＋4n－4(a＋2b)＝4n.

答案

B【预测3】体育委员带了500元钱去买体育用品，已知一个足球a元，一个篮球b元．则代数式500－3a－2b表示的意义为________________________________________．

解析

∵买一个足球a元，一个篮球b元，

∴3a表示体育委员买了3个足球，2b表示买了2个篮球．

∴代数式500－3a－2b表示体育委员买了3个足球、2个篮球后剩余的费用．

答案体育委员买了3个足球、2个篮球后剩余的费用．【预测4】通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准是每分钟________元．

解析要求原收费标准每分钟为多少元，要从后面的条件着手分析，明确现在的收费标准相当于降价a元后的(1－20%)，在这里的单位“1”是降价a元后的收费标准，进而逐步完成．【预测5】某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是 (

) A．(a－10%)(a＋15%)万元 B．(1－10%)(1＋15%)a万元 C．(a－10%＋15%)万元 D．(1－10%＋15%)a万元

解析因为3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，所以4月份的产量为(1－10%)a万元，又5月份比4月份增加了15%，所以5月份的产量为(1－10%)(1＋15%)a万元．故选B.

答案

B

常考角度1．直接求值型.2.程序型.3.化简求值型．4．整体代入型.5.定义新运算型．对接点二：求代数式的值问题

答案

D

答案

2

答案

8【预测2】当a＝1，b＝2时，代数式a2－ab

的值是________．

解析直接代入求值即可．

答案－1【预测3】如果a－3b＝－3，那么代数式

5－a＋3b的值是________．

解析用整体代入法即可，5－a＋3b＝5－(a－3b)＝5－(－3)＝8.

答案

8【预测4】先化简，再求值：

解原式＝a2－2ab＋2(a2－b2)＋(a2＋2ab＋b2)

＝a2－2ab＋2a2－2b2＋a2＋2ab＋b2

＝4a2－b2，

解析由同类项的定义可知x＝2且x－y＝3，即x＝2，y＝－1.∴yx＝(－1)2＝1.

答案

1【预测6】先化简，再求值： (x＋3)(x－3)－x(x－2)，其中x＝4.

解

(x＋3)(x－3)－x(x－2)

＝x2－9－x2＋2x

＝2x－9.

当x＝4时，原式＝2x－9＝2×4－9＝－1.

常考角度1．整式的加、减、乘、除运算．2．乘法公式．对接点三：整式运算问题【例题1】(2013·湖南湘西)下列运算正确的是 (

) A．a2·a4＝a8

B．(x－2)(x＋3)＝x2－6 C．(x－2)2＝x2－4

D．2a＋3a＝5a

解析

A中，a2·a4＝a6，∴A错误；B中，(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，∴B错误；C中，(x－2)2＝x2－4x＋4，∴C错误；D中，2a＋3a＝(2＋3)a＝5a，∴D正确．

答案

D

分析原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用平方差公式展开，去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．1．在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．2．在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．【预测1】计算(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2的值．

解原式＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab.【预测2】计算下列各题： (1)(－x)5·(－x)2； (2)(－2ab2)3÷(－b2)2－2a(a2b2－1)； (3)(3a6x3－9ax5)÷(－3ax3)； (4)4(x＋y)(x－y)－(2x＋y)2； (5)(2x－5)(x＋5)－(3x－4)(4－3x)．

解

(1)原式＝(－x)7＝(－1)7x7＝－x7.(4)原式＝4(x2－y2)－(4x2＋4xy＋y2)

＝4x2－4y2－4x2－4xy－y2

＝－4xy－5y2.(5)原式＝(2x－5)(x＋5)＋(3x－4)2

＝2x2＋10x－5x－25＋9x2－24x＋16

＝11x2－19x－9.

常考角度1．直接用运算法则．2．逆向、变形用运算法则．对接点四：幂的运算问题【例题1】(2013·佛山)下列计算正确的是 (

) A．a3·a4＝a12 B．(a3)4＝a7 C．(a2b)3＝a6b3 D．a3÷a4＝a(a≠0)

解析

A．应为a3·a4＝a7，故本选项错误； B．应为(a3)4＝a12，故本选项错误； C．每个因式都分别乘方，正确；

答案

C【例题2】(2013·凉山州)你认为下列各式正确的是(

) A．a2＝(－a)2 B．a3＝(－a)3 C．－a2＝|－a2| D．a3＝|a3|

解析

A．a2＝(－a)2，本选项正确； B．a3＝－(－a)3，本选项错误； C．－a2＝－|－a2|，本选项错误； D．当a＝－2时，a3＝－8，|a3|＝8，本选项错误．

答案

A【预测1】下列运算正确的是 (

)

A．a3·a2＝a6

B．(x3)3＝x6 C．x5＋x5＝x10

D．(－ab)5÷(－ab)2＝－a3b3

解析因a3·a2＝a5，所以A错；(x3)3＝x9，所以B错；x5＋x5＝2x5，所以C错，故选D.

答案

D【预测2】下列计算正确的是 (

) A．2a2·a3＝2a6 B．(3a2)3＝9a6 C．a6÷a2＝a3 D．(a－2)3＝a－6

解析因2a2·a3＝2a5，A错；(3a2)3＝27a6，B错；a6÷a2＝a4，C错；(a－2)3＝a－6

对，故选D.

答案

D【预测3】在①a·a5；②(－a2)3；③a12÷a2；④a2·a3中，计算结果为a6的个数是 (

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解析因a·a5＝a6； (－a2)3＝－a6；a12÷a2＝a10； a2·