北京科技大学自动控制理论复习

2024/1/231自动控制理论自动化学院控制系董洁工作地点：信息楼1026pdongjie@126.com2024/1/232经典控制理论

研究对象：SISO系统

2024/1/233适用范围：输入量已知、控制精度要求不高、扰动作用不大。控制系统的基本概念和原理（1）开环控制：只有输入量对输出量产生控制作用，输出量不参与对系统的控制。（2）开环控制特点结构简单、维护容易、成本低、不存在稳定性问题输入控制输出输出不参与控制系统没有抗干扰能力2024/1/234控制系统的基本概念和原理闭环控制结构图

1—控制器

2—执行机构

3—控制对象

4—检测装置

反馈工作原理：发现偏差→消除偏差。2024/1/235控制系统的基本概念和原理①反馈控制把输出量的一部分检测出来,反馈到输入端,与给定信号进行比较，产生偏差,此偏差经过控制器产生控制作用,使输出量按照要求的规律变化；反馈信号与给定信号极性相反为负反馈,反之为正反馈。②反馈控制特点输入控制输出，输出参与控制检测偏差、纠正偏差具有抗干扰能力结构复杂2024/1/236控制系统的组成和基本环节

1—给定环节；2—比较环节；3—校正环节；4—放大环节；5—执行机构；6—被控对象；7—检测装置1.闭环控制系统的结构及基本环节2024/1/237控制系统的组成和基本环节1.闭环控制系统的结构及基本环节1.设定被控制量的给定值的装置2.将所检测的被控制量与给定量进行比较，确定两者之间的偏差量，多用差动放大器实现负反馈5.一般由传动装置和调节机构组成。执行机构直接作用于控制对象，使被控制量达到所要求的数值6.要进行控制的设备或过程控制系统所控制的物理量（被控量）

7.检测被控制量，并将其转换为与给定量相同的物理量3、4.用来实现调节作用，如放大、整流，也称为调节器或调节环节2024/1/238自动控制系统基本要求1.对自动控制系统基本要求稳定性（稳）、快速性（快）、准确性（准）“稳”是指系统的稳定性。稳定性是保证控制系统正常工作的先决条件。线性控制系统的稳定性由系统本身的结构与参数所决定的，与外部条件和初始状态无关。“快”是说明系统动态（过渡过程）品质。系统的过渡过程产生的原因：系统中储能元件的能量不可能突变。“准”是说明系统的静态品质。表明了系统的精确性和准确性。2024/1/239自动控制系统基本要求有差系统（图a）：若稳态误差不为零，则系统称为有差系统。无差系统（图b）：若稳态误差为零，则系统称为无差系统。2024/1/2310数学模型—描述系统内部物理量（或变量）之间的数学表达式，是分析和设计自动控制系统的基础。静态模型：在静态条件下（即变量不随时间变化），描述变量之间关系的代数方程(组)。动态模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程(组)。数学模型的形式时域模型—微分方程、差分方程和状态方程；复频域模型—传递函数、结构图、频率特性。2024/1/2311拉氏变换表f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1Sinωt1(t)1/sCosωtt1/(s+a)2024/1/2312系统的传递函数定义：单输入单输出线性定常动态对象的传递函数G(s)是零初值下该对象的输出量的拉普拉斯变换Y(s)数与输入量的拉普拉斯变换R(s)之比。同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可能会有不同的传递函数。不同的物理系统可以有相同的传递函数。传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外部作用等条件无关。传递函数的性质G(s)与系统的微分方程有直接联系。G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏变换。2024/1/2313系统开环传递函数定义：闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统的开环传递函数，用表示。2024/1/2314梅逊增益公式：

式中：P——系统的总传输增益；pk

——第k条前向通道的传输增益；n——从输入节点到输出节点的前向通路数；——信号流图的特征式。Δk——与第k条前向通道不接触的那部分信号流图的Δ；2024/1/2315特征式的意义为：——信号流图中所有不同回环的传输之和；——信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和；…………——m个互不接触回环的传输乘积之和；——称为第k条通路特征式的余因子，是在Δ中除去第k条前向通路相接触的各回环传输（即将其置零）。2024/1/2316动态性能上升时间tr延迟时间td峰值时间tp调节时间ts超调量σ%振荡次数N2024/1/2317一阶系统的单位阶跃响应T2T3T4T5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632一阶系统的单位阶跃响应曲线斜率＝1/Tts=3T(5%)ts=4T(2%)对脉冲和单位阶跃输入时的稳态误差为0，对单位斜坡输入的稳态误差为T。2024/1/23183.3

二阶系统的时域分析1）典型的二阶系统动态结构图系统的闭环传递函数为：特征方程：特征根：系统的开环传递函数为：ωn:无阻尼自然振荡角频率ξ:阻尼系数或阻尼比2024/1/2319当0<ξ<1时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根。系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。当ξ=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。当ξ>1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。当ξ=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼状态。当-1<ξ<0时，此时系统特征方程具有一对正实部的共轭复根。系统动态过程振荡发散，称为负欠阻尼状态。当ξ<-1时，特征方程具有两个不相等的正实根，系统动态过程单调发散，称为负过阻尼状态。2024/1/2320发散不稳定收敛稳定等幅振荡临界稳定对于有：振荡收敛单调收敛虽是单调的但介于振荡与不振荡之间无阻尼

有阻尼负阻尼欠阻尼临界阻尼过阻尼对于有：振荡发散单调发散2024/1/2321二阶系统的阶跃响应总结j0j0j0j0T11T21ξ＞1:ξ＝1:0＜ξ＜1:ξ＝0:过阻尼临界阻尼欠阻尼零阻尼2024/1/2322j0-ξωnωd=ωn√1-ξ2s1,2=-ξωn±j√1-ξ2ωnβωn二阶系统（欠阻尼）动态性能分析。阻尼振荡频率自然振荡频率阻尼角2024/1/2323阻尼比小：峰值时间短，调整时间长，超调量大。阻尼比大：峰值时间长。希望：上升时间短、调整时间短、超调量小，工程上阻尼比一般取0.4－0.8。阻尼比为0.707称为最佳阻尼比.2024/1/2324高阶系统的时域分析主导极点

在高阶系统中某一极点或一对共轭复数极点距虚轴的距离是其它极点距虚轴距离的1/5或更小，并且附近没有闭环零点，称该极点（对）为该高阶系统的主导极点。偶极子(dipole)

指相距很近的一对零、极点。可以用主导极点来估计高阶系统的性能指标。2024/1/2325线性系统稳定性分析的理论框架

稳定性分析1892年俄国数学家李雅普诺夫SISO的代数分析方法解析方法Routh判据Houwitz判据根据SISO闭环特征方程的系数判定系统的稳定性2024/1/2326由稳定性定义可知：1）线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。2）若处于平衡状态的线性定常系统在脉冲信号的作用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则该线性定常系统稳定。2024/1/2327推论1：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲响应函数趋于零，则该线性定常系统稳定。推论2：若系统闭环传递函数的所有极点全部位于S左半平面，则系统稳定。推论3：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的阶跃响应函数趋于某一个常数，则该线性定常系统稳定。

系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数均大于零。

如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。③如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则符号的变化次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。劳斯稳定判据2024/1/2328

若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。

如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临界稳定。结论

关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。

若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。③如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有共轭纯虚根存在，相应的系统为临界稳定。结论2024/1/2329稳态误差

误差信号的稳态分量。根据拉氏变换终值定理，稳定系统的稳态误差为由上式可知，控制系统的稳态误差与输入信号的形式和开环传递函数的结构有关。定义为系统的位置误差系数，2024/1/2330下表列出了不同类型的系统在不同参考输入下的稳态误差。2024/1/2331减小稳态误差的方法（1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2）对输入信号而言，增大开环放大系数，以提高系统对给定输入的跟踪能力；（3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数，有利于减小稳态误差；（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。2024/1/2332设系统的开环传递函数为:

为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数)根轨迹的概念其中:

可得到系统的闭环特征方程式为:即：开环的零点开环的极点2024/1/2333

根轨迹图是闭环系统特征方程的根（闭环极点）随开环系统某一参数由0变化到∞时在S平面上留下的轨迹。由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为：幅值条件:

相角条件:

2024/1/2334绘制根轨迹图的法则序号内容规则1起点终点起始于开环极点（含无限极点），终止于开环零点（含无限零点）。2分支数、对称性、连续性分支数等于开环传递函数的极点数n（n

m），或开环传递函数的零点数m（m>n）。对称于实轴且具有连续性。3渐近线n–

m条渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为：倾角为：4实轴上的分布实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数2024/1/2335序号内容规则

5分离（会回合）点实轴上的分离（会合）点——（必要条件）6出射角入射角复极点处的出射角：复零点处的入射角：7虚轴交点（1）满足特征方程的值；（2）由劳斯阵列求得（及kg相应的值）；8走向当时，一些轨迹向右，则另一些将向左。9kg计算根轨迹上任一点处的kg：2024/1/2336广义根轨迹前面介绍的根轨迹绘制法则,只适用于以放大系数为参量的情况,如果变化参数为其它参数情况将如何处理？是一样的,我们将具有相同闭环特征方程的开环传递函数称为相互等效的开环传递函数（简称为等效传递函数）。具有相同的闭环特征方程,则随T从变化,其根轨迹总有一种等效开环传递函数,可将变化参数位于放大系数的位置.这时就可利用前面的规则了。2024/1/2337零度根轨迹如果系统的开环传递函数的放大系数为负,的相角条件,此根轨迹称为根轨迹。前面讨论的根轨迹均是满足设开环传递函数为：其闭环特征方程为:对应的即是零度根轨迹。相角条件为:

2024/1/2338根轨迹的应用判定稳定性；确定系统稳定的参数取值范围；确定系统振荡稳定、非振荡稳定的参数取值范围；附加零极点对系统的影响。2024/1/2339反映系统对正弦输入信号的稳态响应的性能。讨论线性定常系统（包括开环、闭环系统）在正弦输入信号作用下的稳态输出。系统或对象

为系统的幅频特性,它反映系统在不同频率正弦信号作用下,输出稳态幅值与输入稳态幅值的比值。称频率特性的定义

为系统的相频特性,它反映系统在不同频率正弦信号作用下，输出信号相对输入信号的相移。称2024/1/2340（１）幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减（或放大）特性。（２）相频特性表示系统在不同频率正弦信号下输出的相位移。（３）已知系统的传递函数，令，可得系统的频率特性。（４）频率特性包含了系统的全部动态结构参数，反映了系统的内在性质，因此也是一种数学模型描述。几点说明：2024/1/2341频率特性的表示方法:（一）解析表示（二）图示（几何）表示1、极坐标图——Nyquist图（又叫幅相频率特性、或奈奎斯特图，简称奈氏图）2、对数坐标图——Bode图（伯德图）3、复合坐标图——Nichocls图（尼柯尔斯图，或尼氏图），一般用于闭环系统频率特性分析。2024/1/2342极坐标图的一般绘制方法(最小相位系统)2、与(负)实轴的交点3、变化过程和范围1、起点和终点γ＝0，起自于实轴G(0)；γ

>0，起自于无穷远，相角＝－90γ。起点终点n=m，终止于实轴G(∞)；n>m，终止于原点，相角＝－90(n-m)。令：得可求得。注意从小到大变化的过程中，各环节在幅相特性变化中的作用。注意分子环节和分母环节的作用是不同的。2024/1/2343（1）将幅频特性和相频特性分别作图，使系统或环节的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；（2）幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相加运算，简化计算；（3）用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便；（4）横轴（ω轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。Bode图法的特点（5）在控制系统的设计和调试中,开环放大系数K是最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状，只会使幅频特性曲线作上下平移。2024/1/2344谐振频率谐振峰值

当时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振

谐振频率谐振峰值

二阶振荡环节的2024/1/2345绘制系统开环频率特性（伯德图）的步骤1、将开环传递函数写成典型环节乘积形式；2、如存在交接频率，在ω轴上标出交接频率的坐标位置；3、各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线；4、修正误差，画出比较精确的对数幅频特性；5、画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性。2024/1/2346最小相位系统与非最小相位系统定义：在S右半平面上，若没有系统开环传递函数的极点和零点，则称此系统为最小相位系统。相反，若在S右半平面有开环传递函数的零极点，则称之为非最小相位系统。注：（1）在稳定系统中，若幅频特性相同，对于任意给定频率，最小相位系统的相位滞后最小；（2）延迟环节的系统也属于非最小相位系统；（3）最小相位系统的对数幅频特性与对数相频特性具有一一对应的关系，即对于给定的对数幅频特性只有唯一的对数相频特性与之对应。2024/1/2347奈氏判据的主要特点：1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。3.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。4.当系统的开环传递函数无法写出时，不能用劳斯判据或根轨迹法分析系统的稳定性。应用Nyquist稳定判据却很方便。6.可以研究包含延迟环节的系统稳定性。2024/1/23483、如果G(s)H(s)在右半s平面内无任何极点，即P=0，对于稳定的系统这意味着G(s)H(s)必须不包围-1+j0点。2、如果G(s)H(s)在右半s平面内有极点，即P≠0，对于稳定的控制系统，必须R=P，这意味着G(s)H(s)必须逆时针方向包围-1+j0点P次。奈奎斯特稳定判据对-1+j0点逆时针包围的次数(注意ω的变化范围是(-∞→0→∞))，是在S右半平面的极点数。式中为在右半s平面内的零点数，是这一判据可表示为：1、如果z=0，则系统稳定，Z>0则系统不稳定，且S右半平面上有z个不稳定极点。2024/1/2349如果开环系统含有积分环节，则幅相曲线不能构成闭合轨迹。这时无法确定幅相曲线包围(-1,j0)点的圈数R，要应用奈氏判据首先把开环幅相曲线补为封闭曲线。『补圆』在原幅相曲线的基础上补一段半径无穷大、圆心角为v×90度的圆弧（v是积分环节的个数）后利用奈氏稳定判据。『补圆方法』开环增益大于0时,从正实轴的无穷远处开始，顺时针补v×90度的圆弧。开环增益小于0时,从负实轴的无穷远处开始，顺时针补v×90度的圆弧。要求正好使幅相曲线成为封闭曲线。2024/1/2350稳定裕量是表征系统稳定程度的量，是描述系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指标有密切的关系。这里讨论由Bode图求系统稳定裕量，并判断稳定性的方法。系统的稳定裕量用相角裕量和增益裕度来表示．增益裕度

—在相角特性等于的频率处的一个数值，剪切频率

—对应于的频率，记为相角裕量

—在剪切频率处，使系统达到临界稳定状态所要附加的相角迟后量。为使系统稳定，相角裕量必须为正值．如果，则系统稳定。2024/1/2351由Bode图求GK(S)要求对最小相位系统会从Bode图求得GK(S)。1、根据最低频段的斜率确定系统的类型ν。2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。Ⅰ型系统：最低频段的幅频特性过，最低频段的幅频特性在通过横轴。0型系统：最低频段的幅频特性与纵轴的交点是20lgK。Ⅱ型系统：最低频段的幅频特性过，最低频段的幅频特性在通过横轴。3、根据交接频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。4、根据二阶环节的修正情况确定ξ。2024/1/2352

对于二阶系统来说，越小，越大；反之亦然。为使二阶系统不至于振荡得太厉害以及调节时间太长，一般取：与、之间的关系

因为将代入上式得到：可以看出：ξ确定以后，剪切频率ωc大的系统，过渡过程时间短，而且正好是反比关系。2024/1/2353系统开环频率特性中频段的两个重要参数

、ωc，反映了闭环系统的时域响应特性。所以可以这样说：

闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的中频段。1.系统开环波德图的中频段应该以-20dB/dec穿越0分贝线，并有一定的宽度，以保证足够的相位裕量，平稳性好；

2.中频段的穿越频率

c的选择,决定于系统瞬态响应速度与抗干扰能力的要求，

c较大可保证足够的快速性。

系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。

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中频段三频段理论高频段低频段对应性能希望形状L(w)系统抗高频干扰的能力开环增益K系统型别v稳态误差

ess截止频率wc相角裕度g动态性能陡，高缓，宽低，陡频段不能用是否以-20dB/dec过0dB线作为判定闭环系统是否稳定的标准；只适用于单位反馈的最小相位系统。2024/1/2355校正类型比较：串联校正:

分析简单，应用范围广，易于理解和接受.反馈校正:最常见的就是比例反馈和微分反馈，微分反馈又叫速度反馈。顺馈校正：以消除或减小系统误差为目的。前馈校正：以消除或减小干扰对系统影响。2024/1/2356二阶系统频域指标与时域指标的关系谐振频率带宽频率截止频率相位裕度谐振峰值超调量调节时间2024/1/2357

当具有相位超前特性的环节作为对系统特性进行校正的一种装置时，称其为超前校正。其传递函数：滞后校正环节：2024/1/2358用伯德图法设计超前校正装置的步骤归纳如下：１．根据给定的系统稳态指标，如稳态误差系数，确定开环增益Ｋ２．绘制未校正系统的伯德图，并计算相角裕量３．根据要求的相角裕量，计算所需的相角超前量４．令，并确定考虑到校正后剪切频率改变所留的裕量，常取若，可用两级超前校正装置串联2024/1/2359５．确定新的剪切频率．使未校正系统的对数幅值为处的频率为新的剪切频率６．求超前校正装置的转折频率７．做校正后系统的伯德图，校验相角裕量．如果不满足，则增大值，从第３步起重新计算．８．校验其他性能指标，如等，必要时重新校正，直到满足全部指标为止．

2024/1/2360按性能指标要求的开环放大系数绘制未校正的开环对数频率特性曲线；如果发现未校正系统的相角裕度即在剪切频率附近相角变化明显，则不适于超前校正，应采用滞后校正（或超前滞后校正）；如果系统不能满足相角裕度及幅值裕度指标的要求，在相频特性曲线上找等于所对应的频率，即校正后系统的剪切频率，一般低于未校正系统的幅穿频率。是考虑滞后校正的相角滞后附加的量．在未校正对数幅频特性上求取的值,再令，求出的值。滞后校正的设计步骤2024/1/2361为使串联滞后校正对系统的相角裕度影响很少，取，求取τ。由求出的α和τ

，确定校正装置频率特性对校正后的系统。7．画出校正后系统的伯德图，校验其相角裕量。8．必要时校验其它性能指标。若不能满足，可视情况重选τ或，再进行设计。如仍不能满足，可改用滞后-超前校正等。2024/1/2362如果未校正系统具有比较满意的稳态性能，而相角裕量和响应速度不够时，采用超前校正，但应注意，只有在未校正系统中频段的相频特性随着增加而缓慢减小，且高频噪音对系统影响不大时，采用超前校正才是有效的。滞后校正装置具有相位滞后特性。利用滞后装置的积分特性，可以提高系统的开环增益．因此滞后校正常用来改善系统的稳态性能，同时基本保持原来的暂态指标。

校正方法小结2024/1/2363§６－４校正方法小结对同一系统超前校正系统的频带宽度一般总大于滞后校正系统，因此，如果要求校正后的系统具有宽的频带和良好的瞬态响应，则采用超前校正。当噪声电平较高时，显然频带越宽的系统抗噪声干扰的能力也越差。对于这种情况，宜对系统采用滞后校正。

超前校正需要增加一个附加的放大器，以补偿超前校正网络对系统增益的衰减。如果原系统在稳态性能和暂态性能两方面有待改善时，可利用滞后—超前校正装置．利用校正装置的滞后部分改善系统的稳态精度，利用超前部分提高系统的相角裕度和带宽。2024/1/2364PID控制器模型2024/1/2365PID调节器在工业控制中得到广泛地应用,有如下特点：①对系统的模型要求低实际系统要建立精确的模型往往很困难。而PID调节器对模型要求不高，甚至在模型未知的情况下，也能调节。②调节方便调节作用相互独立，最后以求和的形式出现。可独立改变其中的某一种调节规律，大大地增加了使用的灵活性。③物理意义明确一般校正装置，调节参数的物理意义常不明确，而PID调节器参数的物理意义明确。④适应能力强对象模型在一定的变化区间内变化时，仍能得到较好的调节效果。PID控制器的特点2024/1/2366几种改良的PID控制器1、积分分离PID控制算法及仿真2、抗积分饱和PID控制算法及仿真3、不完全微分PID控制算法及仿真4、微分先行PID控制算法及仿真5、带死区的PID控制算法及仿真2024/1/2367一个典型的采样控制系统如图：图8-1采样控制系统单位脉冲序列采样信号为采样信号的拉氏变换采样过程的数学表达式2024/1/2368

经采样得到的离散信号有可能无失真地恢复到原来的连续信号的条件是采样定理其中零阶保持器的传递函数为：

2024/1/2369常用函数z变换表：2024/1/2370定义：线性离散系统中，在零初始条件下，系统输出采样信号的z变换与输入采样信号z变换之比，称为系统的脉冲传递函数。G(s)r*(t)

r(t)c*(t)

c(t)

图8-10开环离散控制系统脉冲传递函数是在两个采样开关之间定义的。2024/1/2371脉冲传递函数的求解连续系统或元件的可由求得已知系统传函，经拉氏反变换求出对采样，得对进行变换，得实际求时可直接由G(s)求G(z).2024/1/23722024/1/2373带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数G1(s)r*(t)r(t)y*(t)y(t)由脉冲传递函数的定义有：即2024/1/2374求解离散控制系统闭环脉冲传递函数的步骤：（1）确定系统的输入、输出变量；（2）根据结构图，将通道在各采样开关处断开，写出采样之前系统各连续信号的拉氏变换表达式；（3）对各表达式采样后进行变换；（4）消去中间变量，按定义写出闭环脉冲传递函数。2024/1/2375线性采样系统Z平面稳定的充要条件设采样系统的闭环脉冲传递函数为系统特征方程为线性采样系统Z平面稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足2024/1/2376在离散系统中，引进双线性映射。

令

线性离散控制系统稳定的充分必要条件是：线性离散闭环控制系统特征方程的根的模小于1；或者其W变换的特征根全部位于W平面的左半平面。因此可以应用劳斯判据判断稳定性。2024/1/2377开环脉冲传递函数G(z)含有的z=1极点数v

Ⅱ型系统

Ⅰ型系统

0型系统根据终值定理，给定稳态误差终值为：系统的稳态误差取决于G(z)和输入信号R(z)。2024/1/2378单位反馈系统采样系统的稳态误差与:单位反馈离散系统的稳态误差系统类型r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=1/2t20型

1/Kp∞∞Ⅰ型0T/Kv∞Ⅱ型00T2/Ka2024/1/2379图8-25闭环实极点分布与瞬态响应2024/1/23801）若闭环实数极点位于右半Z平面，则输出动态响应形式为单向正脉冲序列。实极点位于单位圆内，脉冲序列收敛，且实极点越接近原点，收敛越快；实极点位于单位圆上，脉冲序列等幅变化；实极点位于单位圆外，脉冲序列发散。2）若闭环实数极点位于Z左半平面，则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列。实极点位于单位圆内，双向脉冲序列收敛；实极点位于单位圆上，双向脉冲序列等幅变化；实极点位于单位圆外，双向脉冲序列发散。2024/1/2381当闭环极点为共轭复数时

（1）当|Pj|>=1振荡发散

（2）当|Pj|<1振荡衰减。振荡角频率为，极点越靠近原点，衰减越快。当闭环极点位于Z平面上左半圆内，由于输出衰减交替变号，动态过程性能欠佳。因此在离散系统设计时，应把闭环极点安置在Z平面的右半单位圆内，且尽量靠近原点。复极点位于左半圆内所对应的振荡频率，要高于右半单位圆内的情况。复数极点位置越靠左，振荡频率越高。2024/1/2382闭环复极点分布与瞬态响应2024/1/2383非线性系统的特征1.非线性系统输出响应曲线的形状与输入信号的大小和系统的初始状态有关。2.非线性系统的稳定性也与输入信号的大小和系统的初始状态有关。3.非线性系统常产生自激振荡——在没有外界周期变化信号的作用下，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。4.非线性系统有畸变现象。5.非线性系统可能会产生跳跃谐振。6.非线性系统不适合叠加原理——本质区别。2024/1/2384非线性系统的分析方法(1)描述函数法：基于频域的等效线性化的图解分析方法，是线性理论中频率法的一种推广。它通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，利用线性系统频率法中的稳定判据，分析非线性系统的稳定性和自激振荡。它适用于任何阶次、非线性程度较低的非线性系统，所得结果比较符合实际，故得到了广泛的应用。(2)相平面法：基于时域的一种图解分析方法。它利用二阶系统的状态方程，绘制由状态变量所构成的相平面中的相轨迹，由此对系统的时间响应进行判别。所得结果比较精确和全面。但它只适用于一、二阶的系统。2024/1/2385描述函数=非线性环节输出的一次谐波分量/输入的正弦函数描述函数的应用条件①非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N和一个线性环节串联的闭环结构。②非线性特性的静态输入输出关系是奇对称的，即，以保证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含直流分量。③系统的线性部分具有良好的低通滤波特性，以保证非线性环节在正弦输入作用下的输出中的高频分量被大大削弱。描述函数是输入正弦振幅A的函数，可在复平面上表现出N（A）随A由小到大的变化情况。重点掌握实数型描述函数的图形表达方法。2024/1/2386描述函数求解的一般步骤：①首先由非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形；②写出输出波形的数学表达式；③利用傅氏级数求出的基波分量。

④将基