适用于新教材2023版高中数学第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用探究导学课件新人教A版选择性必修第三册

8.2一元线性回归模型及其应用第八章新课程标准素养风向标了解一元线性回归模型及其简单应用.1.了解一元线性回归模型.(数学抽象)2.能利用最小二乘估计求出线性回归直线方程,并能利用回归直线方程解决有关问题.(数学运算)3.了解非线性回归模型转化为线性回归模型的方法.(数学建模)基础预习初探主题1

一元线性回归模型某商场近5个月的销售额和利润额如表所示:销售额x/千万元35679利润额Y/百万元13345(1)两变量x与Y是否具有函数关系?提示:销售额x与利润额Y之间不是函数关系.(2)两变量x与Y是否具有相关关系?提示:作出散点图如图所示:由图可知两个变量具有线性相关关系.

【对点练】1.在线性回归模型Y=bx+a+e中,下列说法正确的是 (

)A.Y=bx+a+e是一次函数B.因变量Y是由自变量x唯一确定的C.因变量Y除了受自变量x的影响外,可能还受到其他因素的影响,这些因素会导致随机误差e的产生D.随机误差e是由于计算不准确造成的,可通过精确计算避免随机误差e的产生【解析】选C.线性回归模型Y=bx+a+e中,方程表示的不是确定性关系,因此不是一次函数,A错误.选项B中,因变量Y不是由自变量x唯一确定的,B错.选项D中,随机误差是不能避免的,只能将误差缩小,但是不能没有误差,因此D错.2.具有线性相关的两个随机变量x,Y可用线性回归模型Y=bx+a+e表示,通常e是随机变量,称为随机误差,它的均值E(e)=

.

【解析】由题意e为随机变量,e称为随机误差.根据随机误差的意义,可得E(e)=0.答案:0主题2

经验回归方程的求解

如何对具有线性相关关系的两个变量进行分析?提示:对具有线性相关关系的变量,利用回归分析的方法进行研究.其步骤为画散点图,求经验回归直线方程,并利用经验回归方程对模型刻画数据的效果进行分析,借助残差分析对模型进行改进,使我们能够根据改进模型作出符合实际的预测和决策.核心互动探究探究点一

求经验回归方程【典例1】一台还可以用的机器由于使用的时间较长,它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷,每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速度而变化,如表为抽样试验结果:转速x/(转/秒)1614128每小时生产有缺陷的零件数Y/件11985(1)画出散点图;(2)如果Y与x有线性相关的关系,求经验回归方程.【延伸探究】

本题条件不变,求:若实际生产中,允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?【解析】要使Y≤10,则0.7286x-0.8575≤10,x≤14.9019.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下.【类题通法】求回归直线方程的步骤(1)画散点图:由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系.(2)求回归系数:若存在线性相关关系,则求回归系数.(3)写方程:写出回归直线方程,并利用回归直线方程进行预测.【定向训练】

击鼓传花,也称传彩球,是中国民间游戏.某单位组织团建活动,9人一组,共10组,玩击鼓传花,前5组组号x与组内女性人数Y统计结果如表:x12345Y22334

使用年限x23456维修费用Y2.23.85.56.57.0【思维导引】(1)利用回归系数计算公式求解;(2)先求残差,再求平方和;(3)代入公式求解;(4)将x=10代入经验回归方程求

的值.【类题通法】建立线性回归模型的基本步骤(1)确定研究对象,明确解释变量和响应变量;(2)画出解释变量和响应变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等);(3)由经验确定回归方程的类型;(4)按一定的规则估计回归方程的参数;(5)对所建立的模型进行残差分析,判断拟合效果.【定向训练】1.已知一系列样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)的经验回归方程为

=2x+a,若样本点(r,1)与(1,s)的残差相同,则有 (

)A.r=s

B.s=2rC.s=-2r+3 D.s=2r+1【解析】选C.样本点(r,1)的残差为1-2r-a,样本点(1,s)的残差为s-a-2,依题意得1-2r-a=s-a-2,故s=-2r+3.

【跟踪训练】

某山区为研究居民家庭月人均生活费支出和月人均收入的相关关系,随机抽取10户进行调查,其结果如表:试预测月人均收入为1100元和月人均收入为1200元的两个家庭的月人均生活费,并进行残差分析.编号月人均收入x/元月人均生活费Y/元130025523903243420335452036055704506700520776058088006009850630101080750探究点三

非线性回归模型的问题【典例3】某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量Y(单位:吨)和年利润(单位:万元)的影响.对近6年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,3,4,5,6)的数据作了初步统计,得到如表数据:年份201620172018201920202021年宣传费x/万元384858687888年销售量Y/吨16.818.820.722.424.025.5经电脑模拟,发现年宣传费x(万元)与年销售量Y(吨)之间近似满足关系式y=a·xb(a>0,b>0),即lny=blnx+lna,对上述数据作了初步处理,得到相关的值如表:75.324.618.3101.4(1)从表中所给出的6年年销售量数据中任选两年作年销售量的调研,求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率.(2)根据所给数据,求Y关于x的经验回归方程.

【类题通法】非线性回归的模型(1)当两个变量已明显呈线性相关关系时,则无需作散点图,就可直接求回归直线方程,否则要先判定相关性再求回归方程.(2)非线性回归方程的求法.①根据原始数据(x,y)画出散点图;②根据散点图,选择恰当的拟合函数;③作恰当变换,将其转化成线性函数;④求线性回归方程;⑤在④的基础上通过相应的变换,即可得非线性回归方程.

【解析】选C.由题中散点图可以看出红铃虫产卵数y随着温度x的增长增速越来越快,所以y=a+bex最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型.2.爱心蔬菜超市为确定某种蔬菜的日进货量,需了解日销量Y(单位:kg)随上市天数x的变化规律.工作人员记录了该蔬菜上市10天来的日销量yi与上市天数xi(i=1,2,…,10)的对应数据,并对数据做了初步处理,得到如图的散点图及一些统计量的值:表中ti=lnxi(i=1,2,…,10).55155.515.182.54.8494.924.2课堂素养达标1.两个变量的散点图如图,Y关于x的经验回归方程可能是(

)A.y=1.22+1.32lnx