电动力学第三版答案 郭硕鸿著

第0章数学预备知识—矢量、场论本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即Gausstheorem和Stokestheorem，以及二阶微分运算和算符运算的重要公式。精选ppt本章主要内容●矢量运算●标量场的梯度算符●矢量场的散度高斯定理●矢量场的旋度斯托克斯定理●在正交曲线坐标系中算符的表达式●二阶微分算符格林定理精选ppt§0-1矢量运算1、两矢量标量积与矢量积精选ppt2、混合积3、三重矢积满足旋转定律abc不满足交换定律精选ppt4、矢量求导法那么假设那么有精选ppt§0-2场论分析一、标量场的梯度，算符1、场的概念场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，那么称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和方向，那么称此空间为矢量场。如电场、速度场等。假设场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否那么，称为不稳定场。精选ppt2、方向导数方向导数是标量函数在一点P处沿任意方向对距离的变化率，它的数值与所取的方向有关，一般来说，在不同的方向上的值是不同的，但它并不是矢量。如下图，为场中的任意方向，P1是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一点。P1P2精选ppt为p2和p1之间的距离，从p1沿到p2标量函数的增量为假设以下极限存在，那么该极限值记作，称之为标量场在p1处沿的方向导数。3、梯度由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场在一点处的方向导数有无穷多个，其中，假设过该点沿某一确定方向取得在该点的最大方向导数，精选ppt那么可引进梯度概念。记作称之为在该点的梯度〔grad是gradient缩写〕，它是一个矢量，其大小，其方向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即方向。

4.方向导数与梯度的关系：p1p0p2等值面等值面θ是等值面上p1点法线方向单位矢量。它指向增加的方向。表示过p1点的任一方向。精选ppt显见，所以即p1p0p2等值面等值面θ精选ppt该式说明：即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。5、算符〔哈密顿算符〕算符既具有微分性质又具有矢量性质。在任意方向上移动线元距离dl，的增量称为方向微分，即精选ppt读作“del〞，或“nabla〞在直角坐标系中的表示二矢量场的散度高斯定理1、通量一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场方向通过的流量是dN，而dN是以ds为底，以vcosθ为高的斜柱体的体积，即精选ppt称为矢量通过面元的通量。对于有向曲面s，总可以将s分成许多足够小的面元，于是通过曲面s的通量N为θds每一面元通量之和对于闭合曲面s，通量N为2、散度设封闭曲面s所包围的体积为，那么就是矢量场在中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积向其内某点收缩时，假设平均发散量的极限值存在，便记作精选ppt称为矢量场在该点的散度(div是divergence的缩写)。散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div，表示该点有散发通量的正源；当div，表示该点有吸收通量的负源；当div，表示该点为无源场。3、高斯定理它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。精选ppt4、散度的运算法那么：例1：求。其中，为常矢量解：精选ppt例2：证明其中精选ppt三、矢量场的旋度斯托克斯定理1、矢量场的环流在数学上，将矢量场沿一条有向闭合曲线L〔即取定了正方向的闭合曲线〕的线积分称为沿该曲线L的循环量或环流。2、旋度

设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作精选ppt即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向，且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法那么，为此定义称为矢量场的旋度〔rot是rotation缩写〕。旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot称为无旋场。在直角坐标系中表示为：精选ppt3、斯托克斯定理〔Stoke’sTheorem〕它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为对该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。4、旋度的运算法那么物理意义：所有面积元边线上的环流之和等于整个曲面的边线L上的环流。精选ppt例1：为常矢量。解：精选ppt§0-3正交曲线坐标系及运算的表达式一、柱坐标()根本单位矢量为只有不随位置变化，随位置都要发生变化

1.梯度

在方向上的方向导数为;在方向上的方向导数为;在方向上的方向导数为而精选ppt即柱坐标系中算符的表达式为：2.散度：3.单位矢量的微商

zxyz为常数平面r为常数平面为常数平面r精选ppt4.旋度：

5.二阶微分

在4，5中都应用到了单位矢量的微商结果二、球坐标

1.梯度

精选ppt2.单位矢量的微商

精选ppt4.二阶微分运算

3.散度

5.旋度

精选ppt§0-4二阶微分算符格林定理1、一阶微分运算将算符直接作用于标量场和矢量场，那么分别得到梯度、散度和旋度，即这些都叫一阶微分运算。举例：a)设为源点与场点之间的距离，r

的方向规定为由源点指向场点，试分别对场点和源点求r的梯度。第一步：源点固定，r是场点的函数，对场点求梯度用r表示，那么有精选ppt场点（观察点）源点坐标原点o而同理可得：故得到：精选ppt第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度用表示。而同理可得：所以得到：精选ppt

b)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：这是求复合函数的导数〔梯度〕，按复合函数微分法那么，有精选pptc)设求解：而同理可得精选ppt那么这里同理可得故有精选ppt由此可见：d)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：精选ppt

e)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：精选ppt2、二阶微分运算将算符作用于梯度、散度和旋度，那么称为二阶微分运算，设为标量场，为矢量场。精选ppt并假设的分量具有所需要阶的连续微商，那么不难得到：〔1〕标量场的梯度必为无旋场〔2〕矢量场的旋度必为无散场〔3〕无旋场可表示成一个标量场的梯度〔4〕无散场可表示成一个矢量场的旋度精选ppt〔5〕标量场的梯度的散度为〔6〕矢量场的旋度的旋度为3、运算乘积〔1〕精选ppt精选ppt〔2〕精选ppt〔3〕精选ppt〔4〕〔5〕精选ppt(6)根据常矢运算法那么那么有：精选ppt故有：(7)根据常矢运算法那么：那么有精选ppt〔8〕因为故有从而得到：精选ppt4、格林定理(Green’stheorem)由Gauss’stheorem得到:将上式交换位置，得到以上两式相减，得到精选ppt第一章电磁现象的普遍规律§1.1电荷和电场

§1.2电流和磁场

§1.3麦克斯韦方程组

§1.4介质的电磁性质

§1.5电磁场边值关系

§1.6电磁场的能量和能流精选ppt二、场论知识数学准备知识复习一、矢量分析精选ppt精选ppt恒等式精选ppt1.1电荷和电场

一、库仑定律设真空中有二静止点电荷Q、Q’，库仑由实验发现Q对于Q’有一作用力F为:(1.1-1)其中是真空介电常数；r为由Q到Q’的矢量。(1.1-2)它是一实验定律，但可以有两种截然不同的物理解释。一种认为Q超越空间距离作用于Q’，这种观点称为超距作用或远距作用观点。另一观点认为Q在其周围空间产生或激发电场:而Q’在电场E中所受的力F为:后一观点称为近距作用观点，认为静止电荷在其周围空间激发一电场E，另一静止电荷Q’受到该电场E的作用，因此，电荷与(1.1-3)精选ppt电荷之间是通过电场作用的。实践证明通过场来传递相互作用的观点是正确的。由实验知道，电场具有迭加性，(1.1-4)

设第i个电荷Qi到P点的距离为ri，那么P点上的总电场强度E为假设电荷连续分布于区域V内，如图1－1所示，那么P点上的电场强度E为其中是dV所在点的电荷密度，r是由源点dV到场点P的矢量。

(1.1-5)(1.1-6)精选ppt二、高斯(Gauss)定理和电场散度设S表示包围着电荷Q的一个闭合曲面，dS为S上的定向面元，以外法线方向为正向，如图1-2所示。通过闭合曲面S的电场E的通量定义为面积分A高斯定理高斯定理：电场E通过任一闭合曲面S的总通量等于S内的总电荷量除以，而与S外的电荷无关。用公式表示为式中，Q为闭合曲面内的总电荷。(1.1-7)精选ppt(1)假设闭合曲面内有多个电荷Qi，那么E对闭合曲面S的通量为〔Qi在S内〕(2)如果电荷连续分布于空间中，那么E对闭合曲面S的通量为式中V为S所包围的体积。上式右边是V内的总电荷量，与V外的电荷分布无关。根据矢量场的积分变换公式(高斯公式)不难得到，(1-8)式可以表示为微分形式上式说明:(1)电荷是电场的源，电力线从正电荷发出而终止于负电荷。假设在某处，那么在该点处,表示在该处既没有电力线发出，也没有电力线终止，但是可以有电力线连续通过该处。(1.1-8)(1.1-9)精选ppt(2)(1-9)式称为高斯定理的微分形式。仅适用于电荷连续分布情况。(3)空间某点处电场的散度只和该点上的电荷密度有关，而与其他点的电荷分布无关。(4)在个别教材中〔如北大教材〕，此定理又称为奥斯特洛拉德斯基—高斯定理，简称奥—高定理。

B高斯定理(1-8)式的证明*试作E对任意闭合曲面的积分，即求电通量由(1-6)式可知因只与源点的位置有关，dS只与场点的位置有关，而r那么和源点、场点的位置都有关系，上式可交换积分次序如下：

是dS在矢径r方向的投影，刚好是dS对点所张的立体角如图1-2所示。精选ppt精选ppt假设dV在闭曲面内，那么积分因此所以假设dV在闭曲面外，那么积分C静电场的旋度根据电场强度的表示式〔1-6〕，静电场的旋度交换积分运算和微分运算的次序，并利用求得此式说明静电场是无旋的。但在一般情况下变化电场是有旋的。根据斯托克斯〔Stokes〕，可得电场E对任一闭合回路L的环量即，静电场E对任一回路的环量恒为零。(1.1-10)精选ppt解：与带电球同心，作半径为r的球面，由电荷分布的球对称性，球面上各点电场强度有相同的值，并且都沿径向。当时，球面所围的总电荷为Q.而时，球内电荷总量是由高斯定理得因此得例一:电荷Q均匀分布在半径为a的球内，求空间各点的电场强度，并由此得到的电场强度计算电场的散度和旋度。精选ppt现在计算电场的散度和旋度精选ppt1.2电流和磁场

一、电荷守恒定律

A、电流密度电流是由电荷的定向运动形成的。当电荷在细导线中运动时，电流的方向即是导线的取向。电流的大小用电流强度I描述，它等于单位时间内通过导线横截面的电量：

如图1－4，设dS为某曲面上的一个面元，它与该点上的电流方向有夹角θ。定义电流密度J，它的方向沿着该点上的电流方向，它的数值等于单位时间垂直通过单位面积的电量，即

(1.2-1)图1－4或

通过任一曲面S的总电流强度I为(1.2-2)精选ppt如果电流由一种运动带电粒子构成，设带电粒子的电荷密度为ρ，平均速度为v，那么电流密度为如果有几种带电粒子，其电荷密度分别为ρi，平均速度为vi，有电荷流动形成电流，但电荷有正、负两种，正、负电荷的速度可以不同，因此电荷密度和电流密度可表为可见，有,而的情况。导线中的电流就是这样。宏观地说，导线内部原子核的正电荷与电子的负电荷处处抵消，但自由电子的集体运动可形成电流。(1.2-3)(1.2-4)B、电流密度与电荷密度的关系精选ppt电荷守恒定律是自然界的一条根本定律，是从大量实践中总结出来的。它可以表述为：电荷既不能创生，也不能消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从这一局部空间转移到另一局部空间。也可以表述为：在孤立系统内发生的任何过程中，正负电荷的代数和保持恒定。考虑空间中一确定区域V，其边界为闭合曲面S。当物质运动时，可能有电荷进入或流出该区域。但是由于电荷不可能产生或消灭，如果有电荷从该区域流出的话，区域V内的电荷必然减小。因此，通过界面流出的总电流应该等于V内的电荷减小率这是电荷守恒定律的积分形式。应用高斯定理把面积分变为体积分即得微分形式上式称为电流连续性方程，它是电荷守恒定律的微分形式。(1.2-5)(1.2-6)C、电荷守恒定律精选ppt以上公式是对任意变化电流成立的。在恒定电流情况下，一切物理量不随时间而变，因而,因此由(1.2-6)式得上式说明，稳恒电流分布是无源的，其流线必为闭合曲线，没有发源点和终止点。导电物质中欧姆定律可以表示为式中为电导率。二、毕奥－萨伐尔〔Biot-Savart〕定律A、电流间相互作用的安培定律实验证明两个电流之间存在着作用力。安培〔Ampere〕分析了大量的实验资料以后，总结出了真空中两个稳恒电流元之间作用力的公式。设真空中有二回路，其中各有稳定电流I1，I2流过。安培等人由大量实验分析证明：回路1中的线元dl1对回路2中的线元dl2有作用力式中，r是由线电流元I1dl1到I2dl2的矢量。(1.2-8)精选pptB、毕奥－萨伐尔定律线电流元I1dl1激发一磁场，这磁场在I2dl2点的值为而线电流元I2dl2受该点磁场的作用力为上式表示磁场对电流元的作用力，也可以看作磁场的定义。B为磁感应强度。如果考虑整个回路1所激发的磁场，那么磁感应强度表示为式中，r是由dl所在点(源点)到观察点(场点)的矢量。一般来说，电流可在空间作图1-5连续分布，存在电流密度J。在电流场中沿电流线作一小柱形，如图1-5，这一小柱形可看为一个线电流元。设柱形的长为dl，截面积为dS,那么(1.2-9)(1.2-10)(1.2-11)图1－5精选ppt其中，dV为小柱形的体积。于是，(1.2-11)式可以推广成式中，J(x’)为x’点上的电流密度，r为由源点x’到观察点x的距离。毕奥－萨伐尔定律给出的是稳恒电流激发磁场的规律。三、磁场的散度因由毕奥－萨伐尔定律(1.2-12)式得注意：算符▽是对x的微分算符，与x’无关。并注意到只依赖于源点坐标(x’)，于是(1.2-12)(1.2-13)精选ppt式中令A称为磁场的矢势。由(1.2-3)式以及矢量分析二阶微分得根据矢量积分公式可得此式是稳恒磁场B无源性的积分形式，它说明B对任何闭合曲面的总通量为零。四、磁场的环量和旋度在电磁学中我们知道，磁场沿闭合曲线的环量与通过闭合曲线所围曲面的电流I成正比式中L为任一闭合曲线，I为通过L所围曲面的总电流，不通过L所围曲面的电流对环量没有奉献。此式又称为安培环路定律。(1.2-14)(1.2-15)(1.2-16)精选ppt对于连续电流分布J，在计算磁场沿回路L的环量时，只需考虑通过以L为边界的曲面S的电流，在S以外流过的电流没有奉献。因此，安培环路定律又可表示为根据斯脱克斯公式可知由于dS的任意性得上式是稳恒磁场的一个根本微分方程。利用毕奥－萨伐尔定律也可以推导出此式。由关系式，以及先计算这里算符▽是对x的微分算符，不作用于上。(1.2-17)(1.2-18)(1.2-19)精选ppt由于对r的函数而言，有因此上式可写为应用公式可得由于积分区域V’含有的全部区域，在V’的边界面S’上因此再计算利用关系式可得

(1.2-20)(1.2-21)精选ppt将(1.2-20)式和(1.2-21)式代入恒等式得

注1.实践证明在一般变化磁场下也是成立的，而只在稳恒情况下成立，在一般情况下需要推广。注2.注意旋度概念的局域性，即某点上的磁感应强度的旋度只和同一点上的电流密度有关。注3.虽然对任何包围着导线的回路都有磁场环量，但是磁场的旋度只存在于有电流分布的导线内部，而在周围空间中的磁场是无旋的。(1.2-22)精选ppt作业P466、7、8Thankyou精选ppt复习上次课内容1电场的散度2电场的旋度结论：静电场是有散无旋场3电荷守恒定律4毕奥－萨伐尔定律5磁场的散度6磁场的旋度结论静磁场是无散有旋场7稳恒条件8重要公式r

表示源点到场点的矢量

精选ppt1.3麦克斯韦方程组

实验发现，不但电荷激发电场，电流激发磁场，而且变化着的电场和磁场可以互相激发，电场和磁场成为统一的整体——电磁场。和恒定场相比，变化电磁场的新规律主要是：(1)变化磁场激发电场(法拉第电磁感应定律)；(2)变化电场激发磁场(麦克斯韦位移电流假设)。一、电磁感应定律关于电磁感应现象，1831年Faraday从实验中总结出以下规律：闭合导体回路中的感生电动势与通过以该回路为边界的任一曲面磁通量的减少率成正比。Faraday电磁感应定律可表示为式中S为闭合线圈L所围的一个曲面，dS为S上的一个面元。规定L的围绕方向与dS的法线方向成右手螺旋关系。(1.3-1)精选ppt麦克斯韦对法拉第电磁感应定律进行了仔细的分析，在1861年提出了涡旋电场的假设。他认为，感应电动势的出现是由于回路中存在非静电性质的电场，称为感应电场。导体的存在与否是非本质的，即使导体不存在，空间也应当存在感应电场，它和回路中电动势的关系是感应电场与静电场存在着明显的差异，它沿闭合回路的积分一般不为零，也就是说，它的电力线具有涡旋状结构，因此也称为涡旋电场。有了涡旋电场的概念后，法拉第电磁感应定律可进一步写成应用斯托克斯(Stokes)将上式化为微分形式后得这个方程就是电磁感应定律的微分形式。(1.3-2)(1.3-3)精选ppt上式说明，在空间任一点，磁场随时间的变化都要激发电场，这种电场不同于静电场，它的旋度不为零，因而是涡旋电场。对于静电场满足所以当空间既有静电场，又有涡旋电场时，总电场为那么有关系式为精选ppt二、位移电流A、问题的提出我们已经知道变化的磁场激发电场，那么变换电场是否激发磁场？在答复这个问题之前，我们先考察一下稳恒电流磁场的旋度在变化电磁场情况下它是否还正确呢?假设上式可以推广到变化电磁场情况，那么此式说明，变化电磁场情况下仍有即电流仍然是稳恒的。由电荷守恒定律还可进一步推出空间各点的电荷密度都满足，不随时间变化。而在非恒定情形下，一般有由此可见，把适用于稳恒电流情况的(1.2-22)式推广到非稳情况时，它与电荷守恒定律发生严重矛盾。所以式(1.2-22)不能推广到变化电磁场情况，必须修改。(1.2-22)精选pptB、位移电流为了解决上述矛盾，麦克斯韦(Maxwell)提出一个假设：在非稳恒情况下，产生磁场的原因不仅是传导电流J，应该还有新的来源，即存在一个称为位移电流的物理量JD，它与电流J合起来构成闭合的量位移电流JD与电流J一样产生磁效应此式两边的散度都等于零，同时满足电荷守恒定律，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律可知，电荷密度与电场散度有关系式(1.3-4)(1.3-5)(1.3-6)(1.3-7)精选ppt将(1.3-6)式和(1.3-7)式合并可得与(1.3-4)式比较即得JD的一个可能表示式于是有注1.位移电流实质上是电场的变化率(?)，它说明变化的电场能够激发磁场。注2.位移电流假设是麦克斯韦首先引入的，它的正确性由以后关于电磁波的广泛实践所证明。(1.3-8)(1.3-9)精选ppt三、真空中的麦克斯韦方程组真空中变化电磁场由两个矢量E、B描写，满足这组方程称为麦克斯韦方程组。注1.麦克斯韦的两个根本假设：涡旋电场假设，位移电流假设。注2.麦克斯韦根据他所作的两个假设，预言了电磁波的存在，赫兹用实验证明了电磁波确实存在，有力地证明了麦克斯韦的理论。注3.麦克斯韦方程组最重要的特点是：它揭示了电磁场的内部作用和运动规律，揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在。电磁场互相激发，在空间中运动传播，形成电磁波。(1.3-10)精选ppt四、洛伦兹(Lorentz)力公式关于电磁场对电荷、电流作用力，以前道有两个公式，一个是由库仑定律导出的静止电荷Q受到电场力F的公式，另一个是稳恒电流元JdV受到磁场作用力公式，假设电荷为连续分布，其密度为，那么电荷系统单位体积所受的力密度f为洛伦兹把这结果推广为普遍情况下场对电荷系统的作用力，因此上式称为洛伦兹力密度公式。把电磁作用力公式应用到一个粒子上，得到一个带电粒子受电磁场的作用力这公式称为洛伦兹力公式。洛伦兹假设这公式适用于任意运动的带电粒子。近代物理学实践证实了洛伦兹公式对任意运动速度的带电粒子都是适用的。由上看到，洛伦兹力公式的建立也通过从特殊到一般推广这一步骤，这种推广最初仅是一种假设，只是后来大量的实验事实证明了它的正确性以后，它才成为电动力学的理论根底之一。精选ppt1.4介质的电磁性质

介质(指电磁介质)由分子组成，分子内部有带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子。由于分子是电中性的，因此，当没有外场时介质内部一般不出现宏观的电荷电流分布，其内部的宏观电磁场亦为零。有外场时，介质中的带电粒子受场的作用，正负电荷发生相对位移，有极分子(原来正负电荷中心不重合的分子)的取向以及分子电流的取向亦呈现一定的规那么性，这就是介质的极化和磁化现象。一、电介质的极化与极化强度电介质就是绝缘介质。它是由大量的原子、分子组成的。这些微观粒子都是带有同样多的正电荷与负电荷的中性粒子。从宏观上看，在通常情况下，电介质是不带电的。组成电介质的分子有两类：(1)无极分子这类分子的正负电荷中心在无外电场时是重叠在一起的，其电偶极矩为零。精选ppt(2)有极分子这类分子的正负电荷分布可以等效地看成相距一定距离的正电中心与负电中心，存在固有的分子电偶极矩(或电矩)。在没有外加电场时，由于分子的热运动，它们原有的电偶极矩排列方向是杂乱无章的，因此在宏观上并不产生平均效果，即没有宏观电偶极矩分布。所以，不管是由哪一种分子组成的电介质，在无外场时都保持电中性。当参加外电场时，每个分于中正负电荷受到不同方向力的作用，无极分子的正负电荷中心发生定向移动，于是产生了沿外电场方向的电偶极矩。有极分子除了有上述的效应外，主要是由于原来无规那么排列的固有电偶极矩在外电场的力矩作用下，顺着电场方向排列的数目增多，这样在宏观上电偶极矩总和不为零。因此，在外加电场的作用下，电介质总的效果可以看作是正电荷相对于负电荷沿电场方向移动了一定距离，在宏观上产生了电偶极矩，从而在一个宏观体积元内或面积元上出现一定的体电荷或面电荷分布，如图1－6所示。这种现象称电介质的极化。由极化产生的体电荷或面电荷，称为束缚电荷。图1-6

精选ppt束缚电荷与自由电荷的来源是不同的。自由电荷是由外界运来的，它是产生外加电场的原因，而束缚电荷是在外电场作用下电极化过程中产生的。它一方面影响整个电场分布，反过来电场分布又影响束缚电荷的大小及分布。但必须指出，从激发电场这一特性上讲，束缚电荷和自由电荷是完全没有区别的。为描述电介质的极化现象，我们引入一个矢量，叫极化强度或极化矢量，用P表示，它定义为式中pi为第I个分子的电偶极矩，求和符号表示对物理小体积△V内所有分子求和。因此极化强度P就是每单位体积内分子电偶极矩的矢量和。介质极化产生了束缚电荷，现在来研究束缚电荷密度与极化矢量的关系。设每个分子由相距为l的一对正负电荷±q构成，分子电偶极矩为p=ql.(1.4-1)精选ppt图l－7所示为介质内某曲面S上的一个面元dS.介质极化后，有一些分子电偶极子跨过dS.由图可见，当偶极子的负电荷处于体积内时，同一偶极子的正电荷就穿出界面dS外边．设单位体积分子数为n，那么穿出dS外面的正电荷为通过界面S穿出去的总正电荷为以p表示V内束缚电荷密度，那么有利用高斯公式(1.4-2)可得即束缚电荷体密度等于极化强度的负散度。(1.4-3)精选ppt对于不同介质分界面，由于极化，分界面上存在束缚电荷。图1－8表示介质1和介质2分界面上的一个面元dS.介质1和介质2的电极化强度分别为P1、P2。在分界面两侧取一定厚度的薄层，使分界面包含在薄层内。在薄层内出现的束缚电荷与dS之比称为分界面上的束缚电荷面密度，用来表示。那么在薄层内出现的净余束缚电荷为或者由此可得式中，n12为分界面上由介质1指向介质2的法线。

(1.4-4)P1P2P2P1n12精选ppt5.麦克斯韦方程组复习上节内容1磁场的散度2磁场的旋度结论静磁场是无散有旋场3稳恒条件4重要公式6.介质的极化密度与强度的关系精选ppt二、电介质中的电场与电位移矢量束缚电荷与自由电荷其来源是不同的，但从激发电场这一特性来讲，它们是没有区别的。因此，只要把在介质中由极化产生的束缚电荷的奉献考虑进去，就可以把真空中的电场的结果推广应用到介质中去。电介质中的电场强度E应遵守如下的规律由于于是上式可写成引入电位移矢量D,定义为(1.4-6)式可写为(1.4-5)(1.4-6)(1.4-7)(1.4-8)精选ppt注1.(1.4-7)式中E、P分别代表介质中的总宏观电场强度和电极化强度，具有明确的物理意义，而电位移矢量D那么是为了从理论上考察问题方便而引入的一个辅助量，它本身无明确的物理含义。注2.电介质中，D的散度仅由自由电荷密度决定，而E的散度那么由自由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。实验指出，对于一般各向同性线性介质，极化强度P和E之间有简单的线性关系

称为电介质的极化率，它是一个物质常数，一般它与E无关。式中称为介质的介电常数，r为相对介电常数。对于给定的物质，在一定的物理条件(如温度、密度)下，这些物质常数、是定值。(1.4-9)(1.4-10)(1.4-11)精选pptdl精选ppt三、介质的磁化与磁化强度介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时—般不出现宏观电流分布。在外磁场作用下，分子电流出现有规那么取向，形成宏观磁化电流密度JM,分子电流也可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流i的小线圈，线圈面积为a，那么与分子电流相应的磁矩为磁化强度M定义：物理小体积△V内的总磁偶极矩与△V之比，即现在我们求磁化电流密度JM与磁化强度M的关系.图1－9，设S为介质内部的一个曲面，其边界线为L。由图可见，假设分子电流被边界线L链环着，这分子电流就对总磁化电流IM有奉献。在其他情形下，对IM都没有奉献。因此，通过S的总磁化电流IM等于边界线L所链环着的分子数目乘上每个分子的电流i．(1.4-12)(1.4-13)精选ppt图1－10所示为边界线上的一个线元dl.由图可见，假设分子中心位于体积为a•dl的柱体内，那么该分子电流就被dl所穿过。因此，假设单位体积分子数为n，那么被边界线L链环着的分子电流数目为总磁化电流为而故根据斯托克斯公式可得除了磁化电流之外，当电场变化时，介质的极化强度P发生变化，这种变化产生另一种电流，称为极化电流。极化电流密度JP可以表示为磁化电流JM和极化电流Jp之和是介质内的总诱导电流密度.在有介质时，总诱导电流〔JM+Jp〕和传导电流Jf一起激发磁场，因此麦克斯韦方程(1.3-10)式中的J应该有三局部组成，即(1.4-14)(1.4-15)精选ppt于是由于故(1.4-16)式可改写为引入磁场强度H,定义为那么(1.4-17)式为实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化强度M和H之间有简单的线性关系:称为磁化率。把(1.4-20)式代入(1.4-18)式得(1.4-16)(1.4-17)(1.4-18)(1.4-19)(1.4-20)(1.4-21)精选ppt从物理本质上看，E和B是场的根本物理量，而D和H是辅助物理量．四、介质中的麦克斯韦方程组

公式中出现的ρ和J分别代表自由电荷和自由电流分布,解实际问题时，除了这组根本方程外，还必须引入一些关于介质电磁性质的实验关系，(1.4-22)精选ppt(1.4-23)(1.4-24)在导电物质中还有欧姆〔Ohm〕定律σ为电导率。这些关系称为介质的电磁性质方程，它们反映介质的宏观电磁性质。必须指出，由于物质电磁性质的多种多样，对于各向异性介质，在某些方向上容易极化或磁化，而在另外一些方向上那么难于极化或磁化，使P与E的方向不相同，M方向与B方向不相同，这时D和E、B和H的关系不再是线性的，而是较复杂的张量式。这些介质中D和E的一般线性关系是式中指标1，2，3代表x,y,z分量。上式可简写为(1.4-25)(1.4-26)精选ppt(1.4-27)在强场〔如激光〕作用下，许多介质呈现非线性现象，这情形下D不仅与E的一次式有关，而且与E的二次式、三次式等都有关系。此时，D和E的一般关系式是除第一项外，其它各项都是非线性项。此式在非线性光学中有重要的应用。(1.4-28)精选ppt1.5电磁场边值关系

麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内部．在两介质分界面上，由于一般出现面电荷或面电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦氏方程组不再适用．因此，在介质分界面上，我们要用另一种形式描述界面两侧的场强以及界面上电荷电流的关系．下面我们分别求出场量的法向分量和切向分量的跃变。A、法向分量的跃变研究边值关系的根底是积分形式的麦氏方程组式中If为通过曲面S的总传导电流，Qf为闭合曲面内的总自由电荷．(1.5-1)精选ppt如图1－12所示，在分界面两侧取一个底面积为△S的扁平状柱体。Qf和Qp分别为柱体内的总自由电荷和总束缚电荷，它们等于相应的电荷面密度

f和

p乘以底面积△S.把麦氏方程应用到扁平状区域上，当柱体的厚度趋于零时，对侧面的积分趋于零，得于是有利用以及得(1.5-2)(1.5-3)图1－12规定n的方向由介质1指向介质2的法向〔本教材〕精选ppt由此可见，电极化强度Pn的跃变与束缚电荷面密度相关；Dn的跃变与自由电荷面密度相关；En的跃变与总电荷面密度。图1－12(1.5-4)对于磁场B，把麦氏方程仍然应用到该扁平状区域上，当柱体的厚度趋于零时，对侧面的积分趋于零，得精选pptB、切向分量的跃变界面上的面电流将引起界面两侧磁场切向分量发生跃变。为求出两者的关系，在界面上取一线元△l，并以它为中线垂直于界面作一小矩形。矩形上下两边分别深入到界面两侧介质足够多的分子层中，但两短边仍可看成是宏观小量(图1－13)。把麦氏方程应用到这个矩形回路上，其中t表示沿△l的切向分量。(1.5-5)图1－13t△l.精选ppt通过回路内的总传导电流为式中为传导电流线密度。当回路短边的长度趋于零时，回路所围面积趋于零，而为有限值，因而由此可得(1.5-6)(1.5-7)(1.5-8)将代入有这就是磁场切向分量的边值关系．精选ppt同理，由麦氏方程第一式可得电场切向分量的边值关系：此式表示界面两侧量的电场切向分量连续.精选ppt法向分量跃变法向分量不跃变切向分量跃变切向分量不跃变上节课关于电磁场边值关系精选ppt综上所述，电磁场的边值关系为这组方程和麦氏方程式(1.5-1)一一对应。它们实质上是边界上的场方程，是Maxwell方程组在介质交界面上的具体化。由于实际问题往往含有几种介质以及导体在内，因此，边值关系的具体应用对于解决实际问题是十分重要的。(1.5-11)精选ppt总结：

21精选ppt上面公式中的电荷、电流都是指自由电荷和传导电流精选ppt例1：证明在导体界面上电流法向分量满足边值关系

是导体面上自由电荷面密度。证明：将积分形式的电荷守恒定律，应用到图1－12中的扁平小柱体上，注意对于实际导体电流都是体分布的，在柱体侧面上的积分是零。在导体面薄层中的电荷可以看作是面电荷分布，体分布的电荷由于柱体积趋于零，实际上就是分界面上的电荷，于是得出电流法向分量的边值关系：图1－12精选ppt例2：面磁化电流密度其中精选ppt体磁化电流密度精选ppt1.6电磁场的能量和能流

电磁场是一种物质，它具有内部运动。实验说明，电磁场确实携带能量，而且能以电磁波的形式传递能量。一、场和电荷系统的能量守恒定律场和电荷相互作用时，能量就在场和电荷之间转移。在转移过程中总能量是守恒的。考虑空间某区域V，其界面为Σ。电磁场具有能量，其能量密度为ω，那么是V内电磁场的能量增加率。变化电磁场的能量可能在流动，我们引入能流密度S来描写它，那么单位时间从V的外表流入的电磁场能量是.设V内有电荷电流分布ρ和J，以f表示场对电荷作用力密度，精选pptv表示电荷运动速度，那么场对电荷系统所作的功率为从一般考虑，假设能量守恒在电磁作用下仍然成立，它应有形式相应的微分形式为(1.6-1)(1.6-2)精选ppt二、电磁场能量，能量密度和能流密度历史上对一种新能量形式的认识，总是通过它和的能量形式的相互转换实现。当电磁场和电荷相互作用时，场对电荷做功，带电体能量会发生变化。根据能量守恒，带电体能量的增加就等于电磁场能量的减少。考虑一个空间区域V，其中存在电磁场E和B，电荷密度为,电荷运动速度为ν，电磁场对电荷作用力力密度由Lorentz力公式给出电磁场对电荷做功的功率密度为由麦克斯韦方程(1.6-3)精选ppt可得于是有，用矢量分析公式及麦氏方程得那么，即，与式比较可得能流密度S和能量密度变化率的表示式，(1.6-4)(1.6-5)(1.6-6)(1.6-7)精选ppt能流密度S又称为坡印亭(Poynting)矢量，是电磁波传播问题的一个重要物理量．由能量密度S可以得到通过区域V外表面积为Σ的传输功率为A、真空情况或将真空中的电磁场能量密度表示为(1.6-9)(1.6-8)精选pptB、介质内的电磁能量和能流(1)一般介质中

(2)在线性介质情形，，，可以得到电磁场能量密度表示式精选ppt两导线间的电压为

P43.精选ppt把S对两导线间圆环状截面积分得传输功率UI即为通常在电路问题中的传输功率表示式，这功率是在场中传输的。精选ppt附：作业P4614精选ppt第一章总结电磁现象的根本规律，从库仑定律及电荷守恒定律，毕奥—沙伐尔定律出发，研究了静电场、静磁场的根本规律以及电磁场所满足的根本方程—Maxwellequations.并研究了非连续介质分界面处所满足的边值关系。库仑定律：，的方向由源点到场点场强：

连续分布

高斯定理

连续分布精选ppt当为有位场时

电荷守恒定律

毕奥—萨伐尔定律：

线分布安培环路定理

〔稳恒条件〕GaussTheorem

Maxwellequations(真空中)精选pptLorentzformular:

材料性质

1、电性质

各向同性介质

2、磁性质

精选ppt(磁化电流体密度)(极化电流体密度)各向同性介质

Maxwellequations

(介质中)精选ppt分界面处的边界条件取

能流密度

能量密度

能量变化率

精选ppt电磁场能量守恒与转换定律表达式

〔微分形式〕〔积分形式〕例：稳恒电流I在半径为a的无限长圆柱形导体中沿Z轴方向流动，设导体的电导率为，导体外表带有均匀分布的面电荷，单位长度上的电荷为，导体外是真空，求：(1)导体内、外的磁场强度？(2)导体内、外的电场强度？导体内部和导体外贴近外表处的能流密度矢量解：

yxzIa精选ppt当r<a时

当r>a时

电场分布：导体内

对导体外，由于电荷只分布在圆柱外表上：(r>a)

精选ppt导体内部的能流导体外外表处外表处满足边值关系精选ppt电磁场能量进入导体内部〔长为〕的功率为

即导体的热功率是由外部能量进入而得到的，还有一个能量沿导体方向传播给其他设备。损精选ppt第二章静电场Electrostaticfield本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如何求解电场。②电场不随时间变化，即:注意两点：①电荷静止，即：本章求解静电场的方法有：①别离变量法;②镜像法；③格林函数法。求解的依据是：唯一性定理。精选ppt本章主要内容§2.1静电场的标势及其微分方程§2.2唯一性定理§2.3拉普拉斯方程，别离变量法§2.4镜象法§2.5格林函数法§2.6电多极矩精选ppt1.静电场的标势和微分方程

静电现象满足以下两个条件：即①电荷静止不动；②场量不随时间变化。故把静电条件代入Maxwell'sequations中去，即得电场满足的方程§2.1静电场的标势及其微分方程精选ppt这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的根底。根据电场方程〔即的无旋性〕，可引入一个标势。在电磁学中，因为相距为两点的电势差为由于所以精选ppt又因为在均匀各向同性的介质中，那么有这里(均匀介质)，故有即此方程称为泊松方程〔Poissonequation).假设在无源区域内〔〕，上式化为0精选ppt此方程称为拉普拉斯方程〔Laplaceequation)在各种不同条件下求解Poissonequation或Laplaceequation是处理静电问题的根本途径。2、静电场的根本问题如果电荷是连续分布的，那么观察点处的标势为这个式子只反映了电荷激发电场这一方面，而没有反映电场对电荷的作用另一方面。如果空间还有导体存在的话，那么物理机制要精选ppt

考虑到感应情况，实际问题的模型是：现在，要找出一个电荷对它邻近的电场是怎样作用的，某一点上的电场和它邻近的电场又是怎样导体++++++++++++----------给定电荷分布求空间一点电场分布而场引起导体上感应电荷分布而感应电荷分布反过来引起精选ppt联系，即要找出电荷和电场相互作用规律的微分形式，而在导体外表或其他边界上场和电荷的相互作用关系那么由边值关系和边界条件反映出来，称之为边值问题。〔1〕在介质的分界面上，电场满足的边值关系为且为电势所满足的边值关系：精选ppt在介质分界面附近取两点1和2，而所以由于，故，且介质2介质12'1'21精选ppt注意：可代替，即可代替证：∵可见而故有即得p2p1P'1P'2精选ppt另外，由方程可得到：即也就是说，在两种不同介质的分界面上，场所满足的边值关系变为电势所满足的边值关系精选ppt〔2〕在介质与导体的分界面上的情况由于静电平衡条件，我们知道：导体内部；导体外表上的场强与外表⊥,导体是等势体；导体内无电荷分布〔〕，电荷只分布在导体的外表上〔〕。因此，在导体与介质的分界面上；导体1自由电荷σε介质2精选ppt即有归纳起来，静电场的根本问题是：求出在每个区域(均匀)内满足泊松方程，在所有分界面上满足边值关系和在所研究的整个区域边界上满足边界条件的电势的解。精选ppt3、利用静电标势来描述静电场的能量在线性介质中静电场的总能量为在静电情形下，能量W可以用电势和电荷表出。由得因此精选ppt即假设我们考虑的是整个电荷体系的总能量，那么上式的体积分是对全空间进行的。因此上式右边第二项的面积分是对无穷大的面进行的。有限的电荷体系在无穷远处的电势，电场，而面积~r2,故在r→∞时，面积分项的值=0，故有精选ppt讨论：对的使用注意几点：〔1〕适用于静电场，线性介质；〔2〕适用于求总能量〔如果求某一局部能量时，面积分项〕；〔3〕不能把看成是电场能量密度，它只能表示能量与电荷分布存在的空间有关。真实的静电能量是以密度的形式在空间连续分布，场强大的地方能量也大；精选ppt〔4〕中的是由电荷分布激发的电势；〔5〕在静电场中，电场是由电荷分布决定。在场内没有电荷的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。〔6〕假设全空间充满了介电常数为ε的介质，那么可以得到电荷分布ρ所激发的电场总能量式中r为与点的距离。精选ppt4、举例讨论[例1]求均匀电场的电势。解：因为均匀电场中每一点强度相同，其电力线为平行直线，选空间任一点为坐标原点，并设原点的电势为。yoxpθ精选ppt根据，得到故得到这里有个参考点选择问题(具有任意性)[例2]均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的λ，求空间的电势分布。空间任一点P的电势为精选ppt选取柱坐标：源点的坐标为〔0,z'〕，场点的坐标为〔R,0〕，考虑到导线是无限长，电场强度显然与z无关。这里，先求场强，后求电势。场点pRozz'电荷源精选ppt

由于电荷元为，因此令精选ppt且而故精选ppt假设选p0为参考点〔即〕，那么设p0点与导线的垂直距离为R0，那么p点到p0点的电势差为精选ppt§2.2唯一性定理本节内容将答复两个问题：〔1〕要具备什么条件才能求解静电问题？〔2〕所求的解是否唯一？精选ppt1、静电问题的唯一性定理〔1〕有介质存在的情况把一个区域V划分为许多小区域Vi，每一个小区域内介电常数为，它是各向同性的。每一个区域给定电荷分布：①在每个均匀区域中满足，即有几个区域就有几个泊松方程。 ②在各个均匀区域的交界面Sij上，满足：SV精选ppt至此，不知道边界条件，即不知道区域的边界S上的一些条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的，下面讨论之。

唯一性定理：设区域V内给定自由电荷分布在V的边界S上给定(i)电势或(ii)电势的法向导数，那么V内的电场唯一地被确定。精选ppt下面采用反证法来证明：证明：设有两组不同的解和满足唯一性定理的条件，只要证得即可。令那么在均匀区域Vi内有在两均匀介质的分界面Sij上有精选ppt在整个区域V的边界S上有或者为了处理边界问题，考虑第i个区域Vi的界面Si上的积分问题，根据格林定理,对的任意两个连续函数：①②〔高斯公式〕精选ppt令且

对所有区域求和得到注意这里的为常数精选ppt进一步分析：在两个均匀区域Vi和Vj的界面上,由于和的法向分量相等，又有，因此内局部界面的积分为(这里〕Sij精选ppt因此故而在S面上，从而有由于,而,只有，要使成立，唯一地是在V内各点上都要有即在V内任一点上，。精选ppt由可见，和至多只能相差一个常数，但电势的附加常数对电场没有影响，这就是说静电场是唯一的。精选ppt讨论区域是导体外空间V，即V是由导体外外表S1，S2及S界面所围成的空间，当S在无穷远处时，所讨论的区域就是导体外的全空间V。约定：在无穷远处，电场为零，即在S面上或者表示成在此根底上，把问题分为两类：A类问题：区域V中电荷分布，及所有SVερS1S2〔2〕有导体存在的情况精选ppt导体的形状和排列；每个导体的电势都给定。B类问题：区域V中电荷分布，及所有导体的形状和排列；每个导体的总电荷都给定。因为导体面就是边界面，因此上述导体的电势或者总电荷就是边界条件。先用反证法证A类问题。证明：设存在着两个解和,这意味着在区域V内，和都满足泊松方程：精选ppt第i个导体的外表为Si面上，该导体的电势为。那么，在Si面上，和都必须等于。即在S∞面上，令那么有应用格林定理：精选ppt令，有式中被积函数，要使上式成立，必然在V中每一点上有于是，V中每一点上，。精选ppt但在导体外表上也满足，的条件，即得到常数=0，即，使得这就说明了对A类问题有唯一解。再用反证法证B类问题也设存在两个解和，那么有令代入格林公式中，得精选ppt因为在导体外表Si处，电势并没有给定，但根据电磁学中的知识，导体在静电平衡时为一等势体。虽然与不一定相等，但对同一导体而言，故可从积分号内提出来，于是精选ppt现在分析：因为中，Si表示电场中第i个导体的外表，导体在静电平衡时，在导体外，紧靠导体外表处的场强方向与导体外表垂直，场强的大小与导体外表对应点的面电荷密度成正比，即从而得到精选ppt这样就有式中和都表示第i个导体所带的总电荷，又因为它是给定的，即故对每一个导体外表都有此结论。因此得到精选ppt同理，，要使上式成立，必然是即由于，此常数对电场无影响，所以此时仍说是唯一的。作业P931Thankyou精选ppt上次课内容复习1.静电场的标势和微分方程无源2.边值关系导体常数精选ppt区域V内给定自由电荷分布在V的边界S上给定(i)电势

或(ii)电势的法向导数，

那么V内的电场唯一地被确定。4、唯一性定理条件假设导体为分界面(i)导体的电势(ii)导体上的总电量3.静电场的能量精选ppt[例1]有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上，介质的介质常数分别是与。假设导体球总电荷为Q，求导体球外表处自由电荷分布。Qa解：设导体球上下两半球各自带电量为q1和q2，Q=q1+q2那么又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即令试探解为：精选ppt另外，总电荷Q一定，无限远处电势为0，故满足唯一性定理条件。根据唯一性定理，得到那么得精选ppt故即得到：电荷面密度为：精选ppt[例2]两同心导体球壳之间充以两种介质，左半球介电常数为，右半球介电常数为。设内球壳半径为a，带电荷为Q，外球壳接地，半径为b，求电场和球壳上的电荷分布。baS1S2精选ppt解:以唯一性定理为依据来解此题。a)写出此题中电势应满足的方程和边值关系以及边界条件此区域V为导体球与球壳之间的空间，边界面有两个，即S1和S2，S1是导体球外表，S2是导体球壳内外表,边界条件为：在S1上总电量是Q，在S2上。在两种介质中，电势都满足Laplace方程，在介质交界面上，电势连续，电位移矢量的法向分量连续〔因为交界面上〕。baS1S2精选ppt应满足的定解条件为：现在不管用什么方法，只要求出的点函数能满足上述条件，那么就是此题的唯一解。b)根据的定解条件，找出电势的解由于对称性,选取球坐标,原点在球心,直接积分baS1S2精选ppt可求得解，因为不难看出：在r=b处：baS1S2精选ppt从而得到同理，在r=b处：即得在两介质的交界面上：baS1S2精选ppt由此得到A=C又因为在两介质的交界面上，与，但都只与r有关，所以这样，也满足了Dn连续的条件。到此为止，在条件中，除了在S1面上总电量为Q外，也满足了其它全部条件，而也只剩下一个待定常数A。现在用必须满足在S1面上总电量等于Q这个条件来确定A，即精选ppt精选ppt故从而得到：c)电场和电荷分布情况根据电势所得到的结果，有精选ppt相应地，有精选ppt由此可见▲在导体球〔r=a〕外表上：可见▲在导体球壳内〔r=b〕处：精选ppt也可看出：▲还可进一步求出束缚电荷〔极化电荷〕分布：

所以精选ppt而极化电荷体密度：即在两种介质中，极化电荷体密度都为零。▲在导体球外表上极化电荷面密度分布：精选ppt▲故得到导体球外表上的总电荷分布：可见▲在两种介质交界面处：因为。因而，所以注意：在前面计算过程中，难得出导体球面上精选ppt是常数，但是或在每个半球面上虽然都是常数，但，，即在球面上不是均匀分布的。现在来说明不能均匀分布的原因。假定是均匀分布的，那么由可见，在两个半球面上，因值不同而不同。导体球内的静电场由和共同激发，由于均匀分布，所以在球内的电场为零。但由于非精选ppt均匀分布必将导致它在球内的场不为零，这样导体球就不能到达静电平衡。由此可见，要使导体球到达静电平衡，的分布必须是非均匀的。精选ppt§2.3拉普拉斯方程，别离变量法Laplace'sequation,methodofseparatevariation

精选ppt本节内容主要是研讨Poisson方程的求解方法。

众所周知，许多实际问题都是由带电导体系构成，其电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布在导体的外表上。因此，在没有电荷分布的区域V里,Poisson'sequation就转化为Laplace'sequation，即产生这个电场的电荷都是分布于区域V边界的导体面上，