2023年浙江省职教研究联合体高考数学第三次联考试卷

第1页（共1页）2023年浙江省职教研究联合体高考数学第三次联考试卷一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题2分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．错涂、多涂或未涂均无分．1．（2分）设集合A＝{1，2，a}，集合B＝{3，4}，且A∩B＝{3}，则A∪B等于（）A．{1，2} B．{3，4} C．{1，2，4} D．{1，2，3，4}2．（2分）不等式（﹣x+1）（2x+1）≥0的解集为（）A． B．或x≥1} C． D．3．（2分）如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，那么下列不等式中一定正确的是（）A． B．ab＞bc C．ab＞ac D．ac＞bc4．（2分）已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为（）A． B．π C． D．5．（2分）已知圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且经过点（3，﹣2），则圆C的标准方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝4 B．（x+2）2+（y﹣1）2＝4 C．（x﹣2）2+（y+1）2＝2 D．（x+2）2+（y﹣1）2＝26．（2分）函数的定义域为（）A．[0，2）∪（2，3] B．[0，3] C．（﹣∞，0）∪[3，+∞） D．（0，2）∪（2，3]7．（2分）设a∈R，则“|a|＜1”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2分）函数f（x）＝﹣3的图像不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2分）已知双曲线上一点P到焦点F1的距离为9，则它到另一个焦点F2的距离为（）A．15 B．5 C．3或5 D．3或1510．（2分）北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．王老师为了让学生深入地了解二十四节气，将每个节气的名称分别写在形状和大小都相同的卡片上．若某同学从中任意抽取一张卡片，则上面写着的恰好是“立春”的概率为（）A． B． C． D．11．（3分）已知，，且，则x和y的值分别为（）A．x＝5，y＝3 B．x＝﹣5， C．x＝5， D．x＝﹣5，y＝﹣312．（3分）若tanθ＝2，则＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．313．（3分）已知点A（1，﹣1）关于直线l的对称点为B（3，7），则直线l的一般式方程为（）A．4x﹣y﹣5＝0 B．x+4y﹣14＝0 C．4x+y﹣11＝0 D．x﹣4y+10＝014．（3分）如图所示，已知一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论错误的是（）A．这个球的体积为 B．这个圆柱的侧面积为4πR2 C．这个圆柱的侧面积与这个圆锥的表面积相等 D．这个圆锥的表面积为15．（3分）已知函数（其中ω＞0）的最小正周期为π，则＝（）A．﹣1 B． C． D．116．（3分）已知f（x﹣2）＝4x﹣1，且f（a）＝6，则a等于（）A． B． C． D．17．（3分）周末，小王、小美、小郑等七位同学相约去电影院看《建国大业》，恰好买到了七张同一排连号的电影票。若小王与小美两人必须相邻，且小郑坐在七人的正中间，则不同的坐法种数为（）A．240 B．192 C．96 D．4818．（3分）已知方程x2+my2＝1（m∈R），则下列说法正确的是（）A．当m＜0时，方程表示双曲线 B．当m＞0时，方程表示椭圆 C．方程不可能表示直线 D．方程可能表示抛物线19．（3分）已知公差为1的等差数列{an}中，a2、a4、a5成等比数列，若该数列的前n项和Sn＝0，则n＝（）A．10 B．11 C．12 D．1320．（3分）我们把离心率e为黄金分割比的椭圆称为“完美椭圆”．已知椭圆（e为椭圆的离心率）为“完美椭圆”，点F和A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴上一个端点，则∠ABF等于（）A．60° B．75° C．90° D．120°二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）21．（4分）若sinθ⋅cosθ＜0，且tanθ⋅sinθ＜0，则角θ是第象限角。22．（4分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，其图像的顶点坐标是（1，﹣3），且经过坐标原点，则f（x）＝。23．（4分）已知点P（m，n）为抛物线C：y2＝4x上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则m＝．24．（4分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为．25．（4分）若实数x、y，满足2x﹣y﹣2＝0，则的最小值为．26．（4分）已知（a为常数）的展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和相等，则该展开式中的第3项为。27．（4分）已知数列{an}为1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，，…，则数列{an}的第2023项为。三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤．28．（7分）计算：。29．（8分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），，记∠AOB＝θ．求：（1）和的值；（2）sin2θ的值。30．（9分）已知等差数列{an}满足：a1+a2＝10，a5﹣a3＝4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足：b2＝a3，b3＝a7，问b4是数列{an}的第多少项？31．（9分）如图所示，已知AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，直线PC⊥平面ABC，且点E，F分别是PA，PC的中点。（1）若三棱锥B﹣PEF的体积为VB﹣PEF，四棱锥B﹣AEFC的体积为VB﹣AEFC，求VB﹣PEF：VB﹣AEFC的值；（2）若，求二面角P﹣AB﹣C的大小。32．（9分）已知圆C与x轴相切，圆C的圆心在直线y＝3x上，且圆C的圆心到直线y＝2x的距离为．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆C的圆心在第一象限，斜率为1的直线l与圆C相交于A，B两点，且，求直线l的方程。33．（10分）在△ABC中，已知A，B，C三个内角的对边分别为a，b，c，且。（1）求内角A的大小；（2）若b+c＝5，且△ABC的面积为，求△ABC的周长。34．（10分）已知椭圆经过两点（0，1），．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣1＝0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB的面积S．35．（10分）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，红旗村委决定把一块长为80m，宽为60m的矩形空地改建成健身广场．设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为健身活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m且不大于44m．预计健身活动区造价为60元/m2，绿化区造价为50元/m2，设绿化区较长的直角边长为x（单位：m）。（1）求工程总造价y（单元：元）关于x的函数解析式，并写出其定义域；（2）当工程总造价最低时，求绿化区的面积。

2023年浙江省职教研究联合体高考数学第三次联考试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题2分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．错涂、多涂或未涂均无分．1．（2分）设集合A＝{1，2，a}，集合B＝{3，4}，且A∩B＝{3}，则A∪B等于（）A．{1，2} B．{3，4} C．{1，2，4} D．{1，2，3，4}【分析】根据集合A＝{1，2，a}，集合B＝{3，4}，且A∩B＝{3}可求出a，再根据集合并集的定义即可求解．【解答】解：∵集合A＝{1，2，a}，集合B＝{3，4}，且A∩B＝{3}，∴a＝3，∴A∪B＝{1，2，3}∪{3，4}＝{1，2，3，4}．故选：D．【点评】本题考查集合的运算，难度不大．2．（2分）不等式（﹣x+1）（2x+1）≥0的解集为（）A． B．或x≥1} C． D．【分析】根据不等式（﹣x+1）（2x+1）≥0的解法即可求解．【解答】解：∵不等式（﹣x+1）（2x+1）≥0，∴（x﹣1）（2x+1）≤0，∴﹣≤x≤1，∴不等式的解集为{x|﹣≤x≤1}．故选：D．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，难度不大．3．（2分）如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，那么下列不等式中一定正确的是（）A． B．ab＞bc C．ab＞ac D．ac＞bc【分析】由已知可得a＞0，c＜0一定成立，b的符号不确定，然后根据不等式性质对各个选项逐个判断即可求解．【解答】解：因为a＞b＞c，且a+b+c＝0，则a＞0，c＜0一定成立，b的符号不确定，A：当a＝1，b＝﹣1时，A错误，B：a＝1，b＝0，c＝﹣1时，ab＝bc，故B错误，C：因为a＞0，所以ab＞ac，故C正确，D：因为c＜0，所以ac＜bc，故D错误，故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．4．（2分）已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为（）A． B．π C． D．【分析】利用扇形的面积公式直接求解即可【解答】解：因为扇形的圆心角为，半径为，所以扇形的面积为S＝＝．故选：B．【点评】本题考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．5．（2分）已知圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且经过点（3，﹣2），则圆C的标准方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝4 B．（x+2）2+（y﹣1）2＝4 C．（x﹣2）2+（y+1）2＝2 D．（x+2）2+（y﹣1）2＝2【分析】根据圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且经过点（3，﹣2）求得圆C的半径即可。【解答】解：∵圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且经过点（3，﹣2），∴圆C的半径．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝2，故选：C。【点评】本题主要考查圆的标准方程，解题的关键在于求解圆的半径和数值运算，为基础题。6．（2分）函数的定义域为（）A．[0，2）∪（2，3] B．[0，3] C．（﹣∞，0）∪[3，+∞） D．（0，2）∪（2，3]【分析】根据函数有意义得到并求解。【解答】解：∵函数有意义，∴，∴0＜x＜2或2＜x≤3，故选：D。【点评】本题主要考查函数定义域的求解，解题的关键在于掌握函数的基本性质和数值运算，为基础题。7．（2分）设a∈R，则“|a|＜1”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据|a|＜1可知﹣1＜a＜1，再根据充分必要条件即可求解．【解答】解：∵|a|＜1，∴﹣1＜a＜1，∴“|a|＜1”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件，难度不大．8．（2分）函数f（x）＝﹣3的图像不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据函数的平移，指数函数的性质即可求解．【解答】解：∵y＝为减函数，且过第一、二象限，而f（x）＝﹣3可看成由y＝向下平移3个单位长度得到，∴y＝f（x）的图象不过第一象限．故选：A．【点评】本题考查函数的平移变换，指数函数的性质，属基础题．9．（2分）已知双曲线上一点P到焦点F1的距离为9，则它到另一个焦点F2的距离为（）A．15 B．5 C．3或5 D．3或15【分析】先由双曲线的方程求出a，b，c，由双曲线的定义求出|PF2|的值．【解答】解：由双曲线可得a＝3，b＝4，c＝5，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝6，因为|PF1|＝9，所以|9﹣|PF2||＝6，解得|PF2|＝3或15，即P到另一个焦点F2的距离为3或15，故选：D．【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题．10．（2分）北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．王老师为了让学生深入地了解二十四节气，将每个节气的名称分别写在形状和大小都相同的卡片上．若某同学从中任意抽取一张卡片，则上面写着的恰好是“立春”的概率为（）A． B． C． D．【分析】根据题干信息以及古典概型的概率计算公式得到从二十四张形状和大小都相同的卡片中任意抽取一张卡片，上面写着的恰好是“立春”的概率为即可。【解答】解：从二十四张形状和大小都相同的卡片中任意抽取一张卡片，上面写着的恰好是“立春”的概率为，故选：D。【点评】本题主要考查古典概型，解题的关键在于数值运算，为基础题。11．（3分）已知，，且，则x和y的值分别为（）A．x＝5，y＝3 B．x＝﹣5， C．x＝5， D．x＝﹣5，y＝﹣3【分析】先根据，求得2﹣3＝（2x﹣6，6﹣3y），再根据求解即可。【解答】解：∵，，∴2﹣3＝（2x﹣6，6﹣3y），∵，∴，∴，故选：C。【点评】本题主要考查平面向量的运算法则，解题的关键在于掌握向量的运算法则和数值运算，为基础题。12．（3分）若tanθ＝2，则＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】利用诱导公式，将所求关系式中的“弦”化“切”，可得答案．【解答】解：∵tanθ＝2，∴f（θ）＝＝＝＝3，故选：D．【点评】本题考查利用诱导公式化简求值，属于基础题．13．（3分）已知点A（1，﹣1）关于直线l的对称点为B（3，7），则直线l的一般式方程为（）A．4x﹣y﹣5＝0 B．x+4y﹣14＝0 C．4x+y﹣11＝0 D．x﹣4y+10＝0【分析】先根据点A（1，﹣1）关于直线l的对称点为B（3，7）求得线段AB的中点坐标为（2，3），，再根据直线l与直线AB互相垂直求解即可。【解答】解：∵点A（1，﹣1）关于直线l的对称点为B（3，7），∴线段AB的中点坐标为（2，3），，∵直线l与直线AB互相垂直，∴直线l的斜率为﹣，且直线过点（2，3），∴直线l的方程为，即x+4y﹣14＝0，故选：B。【点评】本题主要考查直线的方程，解题的关键在于数值运算，为基础题。14．（3分）如图所示，已知一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论错误的是（）A．这个球的体积为 B．这个圆柱的侧面积为4πR2 C．这个圆柱的侧面积与这个圆锥的表面积相等 D．这个圆锥的表面积为【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积、体积公式一一计算，即可得出答案.【解答】解：对于A：由于球的直径为2R，半径为R，则可得球的体积为R3，故A正确；对于B：圆柱底面圆的半径为R，高为2R，则圆柱侧面积为2πR×2R＝4πR2，故B正确；对于C：圆锥的底面半径为R，高为2R，母线长为＝R，则圆锥的表面积为πR2+πR×R＝（+1）πR2，故C错误，D正确，故选：C。【点评】本题考查几何体的表面积和体积，属于基础题.15．（3分）已知函数（其中ω＞0）的最小正周期为π，则＝（）A．﹣1 B． C． D．1【分析】利用函数的周期求出函数的解析式，进一步求出函数的值．【解答】解：函数（其中ω＞0）的最小正周期为π，故ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x+），所以f（）＝2sin＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16．（3分）已知f（x﹣2）＝4x﹣1，且f（a）＝6，则a等于（）A． B． C． D．【分析】将x＝a+2代入f（x﹣2）＝4x﹣1即可求解．【解答】解：∵f（x﹣2）＝4x﹣1，且f（a）＝6，∴4（a+2）﹣1＝6，∴．故选：D．【点评】本题考查函数的解析式以及函数的值，难度不大．17．（3分）周末，小王、小美、小郑等七位同学相约去电影院看《建国大业》，恰好买到了七张同一排连号的电影票。若小王与小美两人必须相邻，且小郑坐在七人的正中间，则不同的坐法种数为（）A．240 B．192 C．96 D．48【分析】先根据题意锁定小郑的位置，再将小王与小美看作一个整体进行排列，再排列余下4人即可。【解答】解：∵小王与小美两人必须相邻，且小郑坐在七人的正中间，∴把小王与小美看作一个整体进行排列，∴不同的坐法种数为2×××＝24×4×2＝192，故选：B。【点评】本题主要考查排列组合，解题的关键在于数值运算，为基础题。18．（3分）已知方程x2+my2＝1（m∈R），则下列说法正确的是（）A．当m＜0时，方程表示双曲线 B．当m＞0时，方程表示椭圆 C．方程不可能表示直线 D．方程可能表示抛物线【分析】利用双曲线的标准方程判断选项A，利用m＝1判断选项B，利用m＝0判断选项C，利用抛物线的标准方程的结构特征判断选项D．【解答】解：方程x2+my2＝1（m∈R），当m＜0时，根据双曲线的标准方程可知，方程表示双曲线，故选项A正确；当m＞0时，若m＝1，则方程表示圆，故选项B错误；当m＝0时，方程表示x＝﹣1和x＝1两条直线，故选项C错误；因为方程中没有x或y的一次项，故方程不可能表示抛物线，故选项D错误．故选：A．【点评】本题考查了曲线与方程的应用，涉及了椭圆的标准方程、双曲线的标准方程以及抛物线的标准方程的理解和应用，解题的关键是熟练掌握圆锥曲线的标准方程的结构特征，属于基础题．19．（3分）已知公差为1的等差数列{an}中，a2、a4、a5成等比数列，若该数列的前n项和Sn＝0，则n＝（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】根据已知条件求出a1的值，再由Sn＝0可求得正整数n的值．【解答】解：∵，d＝1，∴，解得a1＝﹣5，∴，又n∈N*，解得n＝11．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和的最值求解，方程思想，属基础题．20．（3分）我们把离心率e为黄金分割比的椭圆称为“完美椭圆”．已知椭圆（e为椭圆的离心率）为“完美椭圆”，点F和A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴上一个端点，则∠ABF等于（）A．60° B．75° C．90° D．120°【分析】方法一：|BF|＝a＝2，，，在△ABF中，由余弦定理得，即可得出答案.方法二：，A（2，0），，计算kFBkBA，即可得出答案.【解答】解：方法一：因为e＝＝，a＝2，所以c＝﹣1，根据题意可得|BF|＝a＝2，所以，，在△ABF中，由余弦定理得，所以∠ABF＝90°．方法二：，A（2，0），，所以，，所以，所以FB⊥BA，所以∠ABF＝90°．故选：C。【点评】本题考查椭圆性质，属于基础题.二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）21．（4分）若sinθ⋅cosθ＜0，且tanθ⋅sinθ＜0，则角θ是第二象限角。【分析】sinθ⋅cosθ＜0，且tanθ⋅sinθ＜0可知cosθ＜0，sinθ＞0，从而求出角θ的象限．【解答】解：∵tanθ⋅sinθ＝＜0，∴cosθ＜0，∵sinθ⋅cosθ＜0，∴sinθ＞0，∴角θ是第二象限角．故答案为：二．【点评】本题考查各象限角的三角函数的正负号，难度不大．22．（4分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，其图像的顶点坐标是（1，﹣3），且经过坐标原点，则f（x）＝3x2﹣6x。【分析】根据二次函数的顶点坐标是（1，﹣3）可把二次函数表示为f（x）＝a（x﹣1）2﹣3，再根据函数经过坐标原点即可求解．【解答】解：∵二次函数f（x）＝ax2+bx+c，其图像的顶点坐标是（1，﹣3），∴f（x）＝a（x﹣1）2﹣3，∵函数经过坐标原点，∴a（0﹣1）2﹣3＝0，∴a＝3，∴f（x）＝3x2﹣6x．故答案为：3x2﹣6x．【点评】本题考查二次函数模型，难度不大．23．（4分）已知点P（m，n）为抛物线C：y2＝4x上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则m＝2．【分析】由抛物线的方程求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为（1，0），准线为x＝﹣1，因为点P（m，n）为抛物线C：y2＝4x上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，所以m+1＝3，得m＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查抛物线的定义，考查运算求解能力，属于基础题．24．（4分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为．【分析】在Rt△BEF中计算tan∠FEB即可得出答案．【解答】解：连接BE，∵BB1⊥平面ABCD，∴∠FEB为直线EF与平面ABCD所成的角，∵AE＝1，AB＝2，∴BE＝，∴tan∠FEB＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了直线与平面所成角的计算，属于基础题．25．（4分）若实数x、y，满足2x﹣y﹣2＝0，则的最小值为4．【分析】由题意可知＝22x+2﹣y，再结合基本不等式即可求解．【解答】解：∵2x﹣y﹣2＝0，∴2x﹣y＝2，∴＝22x+2﹣y，又22x＞0，2﹣y＞0，∴22x+2﹣y＝2＝2＝4，当且仅当22x＝2﹣y，即x＝，y＝﹣1时，等号成立，即的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．26．（4分）已知（a为常数）的展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和相等，则该展开式中的第3项为270x2。【分析】先根据（a为常数）的展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和相等求得a＝3，再根据二项式的展开式求解即可。【解答】解：∵（a为常数）的展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和相等，∴（a﹣1）5＝25，∴a＝3，∴该展开式中的第3项为，故答案为：270x2。【点评】本题主要考查二项式定理，解题的关键在于掌握二项式的展开式和数值运算，为基础题。27．（4分）已知数列{an}为1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，，…，则数列{an}的第2023项为64。【分析】先根据数列变化规律得知当数列中数值出现n+1时，前面已经有了个数，再根据当n＝63时，＜2023，当n＝64时，＝2080＞2023即可求解。【解答】解：根据数列变化规律可知当数列中数值出现n+1时，前面已经有了个数，当n＝63时，＜2023，当n＝64时，＝2080＞2023，∴第2023项为64，故答案为：64。【点评】本题主要考查数列，解题的关键在于找出数列的变化规律以及数值运算，为基础题。三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤．28．（7分）计算：。【分析】根据指数的运算、对数的运算以及特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：＝＝＝．【点评】本题考查指数的运算、对数的运算以及特殊角的三角函数值，难度不大．29．（8分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），，记∠AOB＝θ．求：（1）和的值；（2）sin2θ的值。【分析】（1）先求出，再根据，即可求解；（2）先求出，再根据诱导公式即可求解．【解答】解：（1）∵半径，∴，；（2）∵，∴，∴．【点评】本题考查倍角公式、任意角的三角函数以及诱导公式，难度中等．30．（9分）已知等差数列{an}满足：a1+a2＝10，a5﹣a3＝4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足：b2＝a3，b3＝a7，问b4是数列{an}的第多少项？【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1+a2＝10，a5﹣a3＝4．可得2a1+d＝10，2d＝4，联立解得a1，d，即可得出．（2）设等比数列{bn}的公比为q，由b2＝a3＝8，b3＝a7＝16＝qb2，解得q＝2．由2b1＝8，解得b1，利用通项公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a2＝10，a5﹣a3＝4．∴2a1+d＝10，2d＝4，联立解得a1＝4，d＝2，an＝4+2（n﹣1）＝2n+2．（2）设等比数列{bn}的公比为q，由b2＝a3＝8，b3＝a7＝16＝qb2，解得q＝2．∴2b1＝8，解得b1＝4，∴b4＝4×23＝32＝2n+2，解得n＝15．∴b4是数列{an}的第15项．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．31．（9分）如图所示，已知AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，直线PC⊥平面ABC，且点E，F分别是PA，PC的中点。（1）若三棱锥B﹣PEF的体积为VB﹣PEF，四棱锥B﹣AEFC的体积为VB﹣AEFC，求VB﹣PEF：VB﹣AEFC的值；（2）若，求二面角P﹣AB﹣C的大小。【分析】（1）根据三棱锥B﹣PEF与四棱锥B﹣AEFC的高相等求解即可；（2）先连接OC，OP，再根据，AC＝BC求得∠POC是二面角P﹣AB﹣C的平面角即可。【解答】解：（1）∵三棱锥B﹣PEF与四棱锥B﹣AEFC的高相等，∴VB﹣PEF：VB﹣AEFC＝S△PEF：S梯形AEFC＝1：3；（2）如图所示，连接OC，OP．∵AC＝BC，∴OC⊥AB．∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．∵PC与OC相交于点C，∴AB⊥平面POC，∴OP⊥AB，∴∠POC是二面角P﹣AB﹣C的平面角，∵，∴，∴，∴二面角P﹣AB﹣C的大小为。【点评】本题主要考查二面角的求解，解题的关键在于找到二面角的平面角和数值运算，为基础题。32．（9分）已知圆C与x轴相切，圆C的圆心在直线y＝3x上，且圆C的圆心到直线y＝2x的距离为．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆C的圆心在第一象限，斜率为1的直线l与圆C相交于A，B两点，且，求直线l的方程。【分析】（1）先设圆C的圆心坐标为（a，3a），再根据圆C与x轴相切和圆C的圆心到直线y＝2x的距离为求解即可；（2）先根据圆C的圆心在第一象限得到圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9．再根据斜率为1的直线l与圆C相交于A，B两点，且求解即可。【解答】解：（1）设圆C的圆心坐标为（a，3a），∵圆C与x轴相切，∴圆C的半径为3|a|，∵圆C的圆心到直线y＝2x的距离为，∴，∴a＝±1，∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9或（x+1）2+（y+3）2＝9；（2）∵圆C的圆心在第一象限，∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9．∵直线l斜率为1，∴设直线l的方程为y＝x+b，即x﹣y+b＝0，∴圆C的圆心到直线l的距离，∵，∴，∴b＝5或b＝﹣1，∴直线l的方程为x﹣y+5＝0或x﹣y﹣1＝0。【点评】本题主要考查直线与圆相交的性质