《函数极值的概念》课件

《函数极值的概念》ppt课件目录引言函数极值的基本概念极值的第一充分条件极值的二阶充分条件极值的应用总结与展望01引言

课程背景极值是函数在某点附近取得的最大或最小值，是函数的重要特性之一。在实际生活中，极值的应用非常广泛，如经济学、物理学、工程学等。掌握函数极值的概念和计算方法，对于理解函数性质和应用具有重要意义。理解函数极值的概念和分类。掌握求函数极值的方法和步骤。通过实例分析，了解极值在实际问题中的应用。课程目标02函数极值的基本概念函数在某点的值大于或小于其邻近点的值，则称该点为函数的极值点，函数在该点的值为极值。极值单调性唯一性在极值点之前，函数单调递增或递减；在极值点之后，函数单调递减或递增。极值点在函数图像上是唯一的，但在定义域内可能有多个极值点。030201极值的定义极值只对其定义域内的某一部分有意义，即极值是局部最优解。局部性可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点。可导性在极值点处，函数的值是连续的，但单调性可能发生改变。连续性极值的性质通过求导数并令其为零，找到可能的极值点，然后根据二阶导数正负判断是否为极值点。导数法通过比较函数在某区间端点和可疑极值点的函数值，确定是否为极值点。表格法通过观察函数图像，直观地判断某点是否为极值点。图像法极值的判定03极值的第一充分条件简洁明了地表述了极值的第一充分条件的定理内容。函数在某点的导数等于零，意味着函数在这一点可能存在极值。然而，这个条件并不充分，还需要满足其他条件才能确定函数在这一点存在极值。定理表述详细描述总结词总结词详细介绍了极值的第一充分条件的证明过程。详细描述通过函数在某点的导数等于零，推导出函数在这一点的一阶泰勒展开式，并进一步分析函数的单调性，证明了只有当函数在这一点的一阶导数等于零，二阶导数大于零时，函数在这一点才存在极小值。定理证明总结词列举了极值的第一充分条件在实际问题中的应用场景。详细描述在解决实际问题时，如优化问题、控制工程等，常常需要寻找函数的极值点。通过应用极值的第一充分条件，可以确定函数的极值点，从而为实际问题的解决提供重要的理论依据。定理应用04极值的二阶充分条件定理2如果函数$f(x)$在点$x_0$处的二阶导数$f''(x_0)<0$，那么函数$f(x)$在点$x_0$处取得极大值。定理1如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且在$x_0$处的导数$f'(x_0)=0$，那么$f(x)$在$x_0$处取得极值的必要条件是$f''(x_0)neq0$。定理3如果函数$f(x)$在点$x_0$处的二阶导数$f''(x_0)>0$，那么函数$f(x)$在点$x_0$处取得极小值。定理表述定理证明首先，我们知道函数在极值点处的一阶导数为零，即$f'(x_0)=0$。然后，我们通过泰勒展开式，将函数在极值点处的二阶导数与一阶导数的平方联系起来，即$f''(x_0)=frac{d^2}{dx^2}(f'(x))|_{x=x_0}$。由于一阶导数在极值点处为零，所以二阶导数的符号决定了函数的增减性，从而决定了函数的极值类型。证明1这两个定理的证明过程与证明1类似，都是通过泰勒展开式将二阶导数与一阶导数的平方联系起来，然后根据一阶导数的符号确定函数的增减性，从而确定函数的极值类型。证明2和证明3利用二阶充分条件判断函数的极值点。首先，我们需要找到一阶导数为零的点，然后检查这些点的二阶导数符号，根据二阶导数的符号判断这些点是否为极值点，并确定是极大值还是极小值。应用1利用二阶充分条件解决最优化问题。最优化问题通常涉及到寻找函数的最大值或最小值，而这些值往往在极值点处取得。因此，利用二阶充分条件可以帮助我们找到这些极值点，从而解决最优化问题。应用2定理应用05极值的应用123首先需要确定函数在极值点的一阶导数等于0，同时满足二阶导数不为0的条件。确定函数极值的必要条件通过判断一阶导数的正负性，确定函数在极值点左侧和右侧的单调性，从而确定极值点的位置。判断极值点在确定了极值点后，将极值点代入原函数，即可求得函数的最大值或最小值。求解极值最大值和最小值的求解生产成本最小化01在生产过程中，企业需要寻找最优的生产方案，使得生产成本最小化。通过建立生产成本函数，并求取极值，可以找到最优的生产方案。资源配置优化02企业需要合理分配有限的资源，使得各个部门或产品的效益最大化。通过建立效益函数，并求取极值，可以实现资源的优化配置。价格策略制定03商家需要根据市场需求和竞争情况制定合理的价格策略，以最大化利润。通过建立利润函数，并求取极值，可以找到最优的价格策略。经济问题的优化弹性力学问题在弹性力学中，物体在外力作用下会发生形变，形变的大小与外力的大小有关。通过建立弹性形变函数，并求取极值，可以找到物体在外力作用下的最优形变状态。流体动力学问题在流体动力学中，流体在流场中的速度、压强等参数会受到流场的影响而发生变化。通过建立流场函数，并求取极值，可以找到最优的流场分布。电磁学问题在电磁学中，电场、磁场等参数会受到电荷、电流等的影响而发生变化。通过建立电磁场函数，并求取极值，可以找到最优的电磁场分布。物理问题的建模06总结与展望介绍了函数极值的定义、分类和计算方法，以及极值在数学和实际应用中的重要性。函数极值的概念讲解了判断函数极值点的常用方法，如导数法、二阶导数法、泰勒展开法等，并给出了相应的例题和解析。极值的判定方法通过实例展示了极值在解决实际问题中的应用，如优化问题、经济问题、物理问题等。极值在实际中的应用强调了函数极值概念中的重点和难点，如可导性和极值的关系、极值的第一和第二充分条件等。本章重点与难点本章总结重点讲解如何利用