湖南省邵阳市黄亭市镇中学2023年中考数学模试卷含解析

2023年中考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，一次函数yl=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1,3）,则关于x的不等式x+b>kx+4的解集

是（）

A.x>-2B.x>0C.x>lD.x<l

2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点（0,m）、（4、m）、（1,n）,若n〈m,则（）

A.a>0且4a+b=0B.a<0且4a+b=0

C.a>0且2a+b=0D.a<0且2a+b=0

3.下列说法中，正确的是（）

A.不可能事件发生的概率为0

B.随机事件发生的概率为2

C.概率很小的事件不可能发生

D.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次

x/ex?-6^4-Q—0k

4.若关于的一元二次方程。有两个不相等的实数根，则的取值范围（）

Ak<\BkwO©k<l且/CH（）Dk〉0

5.计算tan30。的值等于（）

色色

由3#32

A.D.C.U.

6.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）

4面

A.B.C.

D.7.下列各式中计算正确的是（）

A.x3・x3=2x6B.（xy2）3=xy6C.（a3）2=a5D.tl0+t9=t

4

y=——

8.关于反比例函数》,下列说法正确的是（）

A.函数图像经过点（2,2）；B.函数图像位于第一、三象限；

C.当%>°时，函数值）'随着x的增大而增大；D.当》>1时，、<一4.

BF、DF分别为NABE、ZCDE的角平分线，则NBFD=（）

135°

x<3

1一九中两个不等式的解集，在数轴上表示正确的是（

10.不等式组

A.

C.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.分解因式：孙2-4%=

12.如图，AB是。O的直径，点C在。O上AE是。O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点NAOC=80°,

D.必则ADB的度数为（）

A.40°/B.50°C.60°D.20°

b（.a\

——甲一——I

13.计算I“+0J的结果是

k

y=-

14.如图，直线）'="+4与双曲线X（"0）相交于A（-1,"）、B两点，在y轴上找一点P,当PA+PB的值

最小时，点P的坐标为.

16.已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)如图，己知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD=PG,DF_LPG于

点H,交AB于点F,将线段PG绕点P逆时针旋转90。得到线段PE,连接EF.

(1)求证：DF=PG；

(2)若PC=1,求四边形PEFD的面积.

18.(8分)甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原

来的2倍.两组各自加工零件的数量也牛)与时间舟)的函数图象如图所示.

(1)求甲组加工零件的数量y与时间2间的函数关系式.

(2)求乙组加工零件总量。的值.

(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装

满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？

k

y=

19.(8分)如图，一次函数丫=2*+1＞的图象与反比例函数X的图象交于A,B两点，与X轴交于点C,与Y轴交

于点D,已知。4=1,A(n,1),点B的坐标为(-2,m)

(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式;

（2）连结BO,求AAOB的面积;

（3）观察图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是

20.（8分）如图，在AABC中，NAC8=90°,点尸在AC上运动，点。在上，PO始终保持与PA相等，BD

的垂直平分线交BC于点£,交8。于F,

判断OE与OP的位置关系，并说明理由；若AC=6,8C=8,PA=2,

求线段DE的长.

21.（8分）观察下列等式:

①1x5+4=32；

②2x6+4=42；

③3x7+4=52；

（1）按照上面的规律，写出第⑥个等式：；

（2）模仿上面的方法，写出下面等式的左边：=502；

（3）按照上面的规律，写出第n个等式，并证明其成立.

22.（10分）如图，某校准备给长12米，宽8米的矩形A8C。室内场地进行地面装饰，现将其划分为区域I（菱形

PQFG）,区域11（4个全等的直角三角形），剩余空白部分记为区域III；点。为矩形和菱形的对称中心，0P11AB,

AE=-PM1

°Q=2OP,2，为了美观，要求区域n的面积不超过矩形ABCO面积的8,若设°P=x米.

甲乙丙

单价（元/米2）2m5〃2m

8

x=—

（1）当3时，求区域II的面积.计划在区域i,II分别铺设甲，乙两款不同的深色瓷砖，区域HI铺设丙款白色瓷砖，

①在相同光照条件下，当场地内白色区域的面积越大，室内光线亮度越好.当x为多少时，室内光线亮度最好，并求此

时白色区域的面积.

mn一。

②三种瓷砖的单价列表如下，'均为正整数，若当九一2米时，购买三款瓷砖的总费用最少，且最少费用为7200元，

此时机=-----------〃=------------.

23.（12分）如图，已知抛物线y=ax2+2x+8与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且B（4,

0）.（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

⑵如果点P（p,0）是x轴上的一个动点，则当|PC-PD|取得最大值时，求p的值；

⑶能否在抛物线第一象限的图象上找到一点Q，使AQBC的面积最大，若能，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.

X

24.先化简，再求值：I+-；+（1-),其中x=2cos300+tan45°.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

试题分析：当x>l时，x+b>kx+4,

即不等式x+b>kx+4的解集为x>

1.故选C.

考点：一次函数与一元一次不等式.

2、A

【解析】

由图像经过点（0,m）、（4、m）可知对称轴为x=2,由nVm知x=l时，y的值小于x=0时y的值，根据抛物线的对称

性可知开口方向，即可知道a的取值.

【详解】

•.,图像经过点（0,m）、（4、m）

.•.对称轴为x=2,

则2a,

.\4a+b=0

...图像经过点(1,n),且n<m

抛物线的开口方向向上，

.*.a>0,

故选A.

【点睛】

此题主要考查抛物线的图像，解题的关键是熟知抛物线的对称性.3、

A

【解析】

试题分析：不可能事件发生的概率为0,故A正确；

随机事件发生的概率为在0到1之间，故B错误；

概率很小的事件也可能发生，故C错误；

投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，D错误；

故选A.

考点：随机事件.

4,C

【解析】

根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论.

【详解】

解：.••关于x的一元二次方程依2-6x+9=0有两个不相等的实数根，

勺0

|=(-6)2-4x9A:>0

••，

解得：k<l且

k#l故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列

出关于a的一元一次不等式组是解题的关键.

5、C

【解析】

tan30°=5.故选

C.6、C

【解析】

从上面看共有2行，上面一行有3个正方形，第二行中间有一个正方形，

故选C.

7、D

【解析】

试题解析：A、用原式计算错误，故本选项错误:

B、'原式计算错误，故本选项错误;

。6,

C、原式计算错误，故本选项错误;

D、力o+/9=3原式计算正确，故本选项正确；

故选D.

点睛：同底数辕相除，底数不变，指数相减.

8、C

【解析】

直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案.

【详解】

4

A、关于反比例函数丫=-%，函数图象经过点(2,-2),故此选项错误；

4

B、关于反比例函数丫=-%，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；

4

C、关于反比例函数丫=-%，当x>0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确;

4

D、关于反比例函数丫=-%,当x>l时，y>-4,故此选项错误；

故选C.

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键.

9、D

【解析】

如图所示，过E作EG〃AB.VAB//CD,，EG〃CD,

NABE+NBEG=180。，NCDE+NDEG=180。，

，ZABE+ZBED+ZCDE=360°.

XVDE1BE,BF,DF分别为/ABE,/CDE的角平分线，

：.ZFBE+ZFDE=2(ZABE+ZCDE)=2(360°-90°)=135°,

ZBFD=360°-ZFBE-ZFDE-ZBED=360°-135°-90°=135°.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补.解决问题的关

键是作平行线.

10、B

【解析】

由①得，x<3,由②得，xNl,所以不等式组的解集为：Yx<3,在数轴上表示为：'-101234，故选

B.二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、x(y+2)(y-2)

【解析】

原式提取x,再利用平方差公式分解即可.

【详解】

原式=x(y2-4)=x(y+2)(y-2),

故答案为x(y+2)(y-2).

【点睛】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

12、B.

【解析】

试题分析：根据AE是。O的切线，A为切点，AB是。。的直径，可以先得出NBAD为直角.再由同弧所对的圆周角

2

等于它所对的圆心角的一半，求出/B,从而得到NADB的度数.由题意得：ZBAD=90°,VZB=二NAOC=40。,

.\ZADB=90o-ZB=50°.故选

B.考点：圆的基本性质、切线的性

质.

1

13、a-b

【解析」

ba+b1

E3a+jb)(a-b)a+b(a+b)(a-jb)ba-b

原式二

1

故答案为a~b.

5

14、(0,2).

【解析】

试题分析：把点人坐(麻汹=x+4得吁如即由1(把点A坐标代入双曲线的解析式得3=-k,即k=-3,联

[尸-日&产3[y2=i

立两函数解析式得：，解得：，，即点B坐标为：(-3,1),作出点A关于y轴的对称

点C,连接BC,与y轴的交点即为点P,使得PA+PB的值最小，则点C坐标为：(1,3),设直线BC的解析式为：y=ax+b,

1

a=7

(-3a+b=l，5]55

把B、C的坐标代入得：1a+b=3,解得：ll^2,所以函数解析式为：丫=大+',则与y轴的交点为：(0,亍).

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题.

叵

15、4

【解析】

直接利用二次根式的性质化简求出答案.

【详解】

E=®=J_=更x/2

低木2g4，故答案为4.

【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键.

16、16或1

【解析】

题目给出等腰三角形有两条边长为5和6,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系

验证能否组成三角形.

【详解】

(1)当三角形的三边是5,5,6时，则周长是16；

(2)当三角形的三边是5,6,6时，则三角形的周长是1；

故它的周长是16或1.

故答案为：16或1.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；己知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨

论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

作PM_LAD,在四边形ABCD和四边形ABPM证AD=PM；DF_LPG,得出NGDH+NDGH=90。，推出/ADF=/MPG；

还有两个直角即可证明4ADF^AMPG,从而得出对应边相等

(2)由已知得，DG=2PC=2；△ADF也ZkMPG得出DF=PD；根据旋转，得出NEPG=90。，PE=PG从而得出四边形

PEFD为平行四边形：根据勾股定理和等量代换求出边长DF的值：根据相似三角形得出对应边成比例求出GH的值，从而

求出高PH的值；最后根据面积公式得出

【详解】

解(1)证明：•..四边形ABCD为正方形，

AD=AB,

・・•四边形ABPM为矩形，

・・・AB=PM,

・・・AD=PM,

VDF±PG,

.\ZDHG=90°,

.".ZGDH+ZDGH=90°,

VZMGP+ZMPG=90°,

AZGDH=ZMPG,

rZA=ZGMP

■AD=PK

在小ADF^OAMPG中[NADF=NMPG,

AAADF^AMPG(ASA),

；.DF=PG；

(2)作PM_LDG于M,如图,

VPD=PG,

MG=MD,

:四边形ABCD为矩形,

APCDM为矩形，

；.PC=MD,

；.DG=2PC=2；

VAADF^AMPG(ASA),

・・・DF=PG,

而PD=PG,

；.DF=PD,

•.•线段PG绕点P逆时针旋转90。得到线段PE,

.•.ZEPG=90°,PE=PG,

；.PE=PD=DF,

而DF_LPG,

；.DF〃PE,

即DF〃PE,且DF=PE,

...四边形PEFD为平行四边形，

在RtAPCD中，PC=1,CD=3,

22

・・・PD=Vs+i_<io

；.DF=PG=PD=S^

•.•四边形CDMP是矩形，

.♦.PM=CD=3,MD=PC=1,

VPD=PG,PM1AD,

，MG=MD=1,DG=2,

VZGDH=ZMPG,ZDHG=ZPMG=90°,

.•.△DHG^APMG,

DGGH

PG-MG

,,2£1VIb

7105

；.GH=

\[lQ4V10

VIO55

APH=PG-GH=

V105

/.四边形PEFD的面积=DFPHX=1.

【点睛】

本题考查了平行四边形的面积、勾股定理、相似三角形判定、全等三角形性质，本题的关键是求边长和高的值

18、(1)见解析(2)300(3)2小时

【解析】

解(1)设甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为丫=

”根据题意，得6%=360,解得％=60

所以，甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为:>=60”.

(2)当*=2时，y=100.

因为更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍，

a-100100\

------------x2

所以，4.8-2.82.解得"=3()0.

(3)乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为

y=10()+100(x-2.8)=l()()x-180

30

X=--

当gxW2时，60X+50X=300.解得11.舍去.

10

X——

当2<xW2.8时，l0°+6°x=300.解得3舍去.

当2.8<xW4.8时，60x+100%-18()=300解得x=

3所以，经过3小时恰好装满第1箱.

x=39-

当3Vxs4.8时，60x+100x-l80=300x2解得8舍去.

当4.8<x<6时60x+300=300x2.解得x=

5因为5—3=2,

所以，再经过2小时恰好装满第2箱.

3++与

4

19、(1)y=x；y=2x-2；(2)；(1)-2<x<0或x>l；

【解析】

(1)过A作AM，x轴于M,根据勾股定理求出0M,得出A的坐标，把A得知坐标代入反比例函数的解析式求出解

析式，吧B的坐标代入求出B的坐标，吧A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出解析式.

(2)求出直线AB交y轴的交点坐标，即可求出0D,根据三角形面积公式求出即可.

(1)根据A、B的横坐标结合图象即可得出答案.

【详解】

解：

(1)过A作AM±x轴于M,

则AM=1,OA=WW,由勾股定理得：OM=1,

即A的坐标是(1,1),

k

把A的坐标代入y=x得：k=l,

3.

即反比例函数的解析式是y=x.

2

把B(-2,n)代入反比例函数的解析式得：n=-?

2

即B的坐标是(-2,-2),

l=3k+b

--z-=-2k+b

把A、B的坐标代入y=ax+b得：

1_1

解得：k=2.b=-2,

..22

.y=x-,

1

2

当x=Q时，y=-,

-2

即OD=,

11_1_1_二

22224

.♦.△AOB的面积是SABOD+S/kAOD=xx2+xxl=

(1)一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是-2<xV0或x>l,

故答案为-2Vx<0或x>l.

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及用待定系数法求函数的解析式，函数的图象的应用.熟练掌握相关知

识是解题关键.

19

DE=_

20、(1)DEIDP理由见解析；(2)4.

【解析】

(1)根据P0=P4得到NA=NPDA,根据线段垂直平分线的性质得到利用44+NB=9°。，得到

NPDA+NEDB=90。,于是得到结论；

(2)连接PE,设DE=x,则EB=ED=x,CE=8-x,根据勾股定理即可得到结论.

【详解】

(1)DE±DP理由如下，

.・.ZACB=90°,

•.•NA+NB=90°，

-•-PD=PA，

•••ZPDA=ZA，

EF垂直平分BD,

:.ED=EB,

•••2E，DB=NB

•.Z•PDA+ZEDB=90°，

•••NPDE=180°-ZPDA-ZEDB=90°，

即DCOP

(2)

C

连接PE,设DE=x,

由(1)得BE=OE=x,CE=BC—BE=8—x乂PD=PA=2,PC=C4-P4=6-2=4,

••.NPDE=NC=90°，

•••PC2+CEi=PD2+DE2=PE2，

22+X2=42+(8-

•♦，

19

x」9DE=

解得4,即4.

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键.

21、6x10+4=8248x52+4

【解析】

(1)根据题目中的式子的变化规律可以解答本题：

(2)根据题目中的式子的变化规律可以解答本题；

(3)根据题目中的式子的变化规律可以写出第n个等式，并加以证明.

【详解】

解(1)由题目中的式子可得，

第⑥个等式：6x10+4=82,

故答案为6x10+4=82；

(2)由题意可得，

48x52+4=502,

故答案为48x52+4；

(3)第n个等式是：nx(n+4)+4=(n+2)2,

证明：Vnx(n+4)+4

=n2+4n+4

=(n+2)2,

/.nx(n+4)+4=(n+2)2成立.

【点睛】

本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法.

22、(1)8m2;(2)68m2;(3)40,8

【解析】

OP\\ABOM=~ABAE^-PM=x=

(1)根据中心对称图形性质和，，2,2可得2，即可解当3时，4个全等直

角三角形的面积；

(2)白色区域面积即是矩形面积减去一二部分的面积，分别用含x的代数式表示出菱形和四个全等直角三角形的面积，

cnn<(S«1x96

列出含有X的解析式表示白色区域面积，并化成顶点式，根据°<°P<4,U<UQ-。，〃8,求出自变量

的取值范围，再根据二次函数的增减性即可解答；

(3)计算出x=2时各部分面积以及用含m、n的代数式表示出费用，因为m,n均为正整数，解得m=40,n=8.

【详解】

0M=1AB=4

(1)为长方形和菱形的对称中心，。二2

14-x

4E=_PMAE=

29OP+PM=OMf•.•2

84—12112

x=_AE=—S=4x—AM-AE=4x—x6x—=8m2

.,.当3时，23f"223

S=4x_Lop.0Q=4xL-2x=4x2(3)S=4x」AM.AE=(24-6x)&2)

(2)22,"2

(3丫

S=AB-BC-S-S4x2+6x+72=-4x-+74.25

/.Ill/〃=_I

S<1x96

••.0<OP<4f0<OQ<6，118

0<x<4

<0<2x<6

24-6x41x96

.18解不等式组得23,

X3

a=-4<(),结合图像，当“时，随X的增大而减小.

(nv)

...当X=2时,S/〃取得最大值为-4x22+6x2+72=68

(3),当*=2时-，sI=4x2=16m2,，x=i2m2,\/=68m2,总费用:16x2m+12x5n+68x2m=7200,化简得：

5n+l4m=600,因为m,n均为正整数，解得m=40,n=8.

【点睛】

本题考查中心对称图形性质，菱形、直角三角形的面积计算，二次函数的最值问题，解题关键是用含x的二次函数