空间向量在立体几何中的应用专项练习教师版

空间向量的应用

-知识切片

用空间向量证平行垂直

异面直线夹角小题

线面角：小题（定义法、最小角定理套公式）、大题（正方体、不规则：菱形,恻面垂

____________________直于底面、囱、直角警*形、棱台）____________________________________________

空间向量的应用二面角：小题（定义法、向量统性运算）；大题：建系类型同上

距离：（1）点或距，异面直线距（几何法）；（2）点到面的距离：小题（几何法：等

体积转化顶点），大题：

存在性问题：存在平行垂直,存在线面角、二面角

二.知识点击

模块一利用空间向量证明平行、垂直

1.用向量方法证明空间平行关系的方法

设直线八，/2的方向向量分别是。/，则要证明h//li，只需证明a//b.

线线

即a=M（&CR）.

平行

（1）设直线/的方向向量是a,平面a的法向量是u,则要证明l//a,只

需证明O±M,BPan=0.

⑵根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向

线面平行量是共线向量即可.

（3）证明一条直线/与一个平面”平行，只需证明/的方向向量能用平面

a内两个不共线向量线性表示即可.

面面⑴转化为相应的线线平行或线面平行.

平行⑵求出平面a，6的法向量u,v,证明“〃v即可说明a〃尸.

2.利用空间向量证明垂直问题

线线垂直：利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量

积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量.

线面垂直利用向量法证明线面垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直于平面中的两条相交直线所在的

方向向量，即证明它们的方向向量的数量积为0.

面面垂直：=0.

题型一利用空间向量证明平行问题

例I.已知正方体力8C£M山CQ的棱长为2,E,尸分别是BBt,DDi的中点，求证：

⑴匹/平面/。后；

(2)平面/OE〃平面81G尸.

【精彩点拨】建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解.

(自主解答】⑴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz厕有2)(0,0,0)42,0,0),C(0,2,0),G(0,2,2),£(2,2,1),

户(0,0,1),5,(2,2,2),

所以芯=(0,2,1)，房=(2,0,0),祖(0,2,1).

2

设"1=（X1,力，Z1）是平面4DE的法向量，则〃1_1_忌,"|J■融,

“1•扇=2xi=0,%]=0,

即,■得，

n\-AE=2ji+zi=0,也=-2yl.

令zi=2,则yi=-1,所以"i=(0,-1,2).

因为同「"i=-2+2=0,所以/咨J_"i.

又因为FCiQ平面ADE,所以尸G〃平面ADE.

(2)1•见尸(2,0,0),设〃2=(也,yi,Z2)是平面5cl尸的法向量.由"2,用i,«2±C^i,

"2.户还I=2次+Z2=0,X2=0,

得,一得，

«2-CIOI=2x2=0,3=-lyi.

令Z2=2,得力=-1,所以112=(0,-1,2),

因为Ml=«2,

所以平面/DE〃平面BiCiF.

练习1.如图3-2-5,在平行六面体ABCD-AiBiCiDi中，O是BQi的中点，求证：BC〃平面OCQ.

图3-2-5

【精彩点拨】证明线面平行，可用平面内的一组基底表示直线，然后证明直线不在平面内.

【自主解答】设5A=a,5t=b，而1=c,

3

则由=a+c,[)^1=b+c,Dt)=D31+Dlb=c+1(a+b).

设存在实数x,y,使得国1=xE^l+y56成立,

EIc+-a+b1+a+(x+y)c.

贝!Ja+c=x(b+c)+yL2-—4d+»

2

"•"a,b,c不共线,

2-1,

x=-1,

；•'x+Y=0,解得，

2y=2,

x+y=1,

.,.C^l=-D?1+2Dt),

即向量dSi,D^I,册共面.

•.响量国1不在玩1,5b所确定的平面0C1D内，

；.B1C〃平面OC1D.

练习2.在如图3-2-6的多面体中，EF_L平面AEB,AE1EB,AD〃EF,EF〃BC,BC=2AD=4,EF=3,

AE=BE=2,G是BC的中点，求证：AB〃平面DEG.

图3-2-6

4

【证明】：EFJ_平面AEB,AEU平面AEB,BEU平面AEB,

AEFIAE,EF1BE.

又：AEJ_EB,AEB,EF,EA两两垂直.

以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),.\EB=(0,2,2),R=(2,2,0),A6=(2,0,

-2).

设平面DEG的法向量为n=(x,y,z),

Ef)n=0,2y+2z=0,

囱・n=0,(2x+2y=0,

令y=1,得z=-1,x=-1,则n=(-1,1,-1),

.•.翘―n=-2+0+2=0,即&_Ln.

VABC平面DEG,

；.AB〃平面DEG.

练习3.在正方体中，E,F,G,4,M,N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG//

平面HMN.

(证明】如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2,则11,0),尸(1,0,1),G(2,l,l),

5

”(1,1,2),M(l,2,l),MO,1,1).

・,・彷=(0,-1,1),前二(1,0,1),威二(0,1,-1)zHk=(-1,0,-1).

设m=(xizy\,zi),〃=(X2,yi,22汾别是平面EFG和HMN的法向量,

-yi+zi=0,

由r得，

mEG=0,X]+zi=0,

令X]=1,得股=(1,-1,-1).

〃加=0,)?2-Z2=0,

由一得

nHN=0,-X2-Z2=0.

令工2=1,得〃=(1,-1,-1).

于是有所二〃，即胆〃"，故平面EFG〃平面HMN.

题型二利用空间向量证明垂直问题

线线垂直

例1.在棱长为a的正方体OABC-OiABJ中，E,F分别是AB,BC上的动点，且AE=BF,求证：A,F±CiE.

【精彩点拨】分析题意一建立空间直角坐标系一

6

表示出Al,F,Cl,E的坐标—表示出向量ATF与C布—ATF-C和=O—A1F_LC1E

【自主解答】以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则Al(a,0,a),C1(O,a,a).

设AE=BF=x，则E(a,x,0),F(a-x,a,0).

/•ATF=(-x,a,-a),Clt=(a,x-a,-a).

ATF-CIT=(-x,a,-a)-(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,

AAlVlCT^,即A1F1C1E.

练习1.正方体中"为/C的中点，证明：

图3-2-3

(1)BDI±T4C；

(2)85

【证明】以D为原点,DA,DC,DD\所在直线分别为x轴，)，轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标

7

系Dxyz,设正方体的棱长为1,则8(1,1,0),£>,(0,0,1)，力(1,0,0),C(0,l,0),上’2'°),.

(l)B3i=(-1,-1,1),

祀=(-1,1,0)，

=1)x(-1)+(-1)x1+1x0=0,

：.Bb\LAb,：.BD\^AC.

⑵丽i=(-1,-1,1),

屋尸昵，0,

.,.屈.函=(_叱+(-1)X：+1X1=0,

线面垂直

例2.如图3-2-14所示,在正方体ZBCLMiSC6中,£1，尸分别是8山，ZJC的中点,求证：/E_L平面小。户

8

图3-2-14

【精彩点拨】建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标,求出平面小。尸的法向量，然后证明还与

法向量共线.

【自主解答】

如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,

/力i=(-1,0,0),D^F=[°r,]

设平面AiDiF的法向量n=(x,y,z),

则〃•/工)i=0,n-D\F=0,

-x=0,

即’1解得x=0,y=2z.

-v-z=n0

brf

令z=l,则“=(0,2,1).

=[。/'J,,=2曲.

：.n//Ai,即平面小。氏

9

【总结】坐标法证明线面垂直有两种思路

方法一：(1)建立空间直角坐标系；

(2)将直线的方向向量用坐标表示；

(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；

(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.

方法二：(1)建立空间直角坐标系；

(2)将直线的方向向量用坐标表示；

(3)求出平面的法向量；

(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.

练习1.如图3-2-15，长方体/BCZMiBiCQi中,AB=AD=\,AAi=2，点尸为DDi的中点，求证：直线P3i_L

平面PAC.

C''B

S3-2-15

【证明】依题设以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz厕C(1,0,0),P(0,0,l)J(0,l,0),

5(1,1,2),

10

于是*=(-1,1,0),矽=(-1,0,1),附=(1,1,1),

.,.C^P^I=(-1,1,0)-(1,1,1)=0,

办两=(-[0,1)(1,1,1)=0,

故O_L两I,,gpPSi±CP,PBxVCA,

又CPCyCA=C，且。尸U平面PAC,C4U平面PAC.

故直线P8I_L平面处C

面面垂直

1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化

为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.

2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经

过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度.

例3.如图3217所示，在直三棱柱N8C-小81G中，AB±BC,AB=BC=2,BBi=l,E为8历的中点,证明：

平面AECil.平面AA\C\C.

11

图3-2-17

［精彩点拨】要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为

求两个平面的法向量ni,112,证明"八"2=0.

【自主解答】

由题意得AB,BC,BiB两两垂直.以B为原点,BA,BC,BBi分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系.

4(2,0,0),小(2,0,1),C(0,2,0),Ci(0,2,l),£l

则及产(0,0,1)，祀=(-2,2,0)，充I=(-2,2,1)，港2，0，3

设平面/U1GC的一个法向量为〃尸（R,Z1）.

npA^x-0

zi=0t

则

nrAt'=0-2xi+2y\=0.

令xi=1,得yi二1.An；=(1,1,0).

设平面ZEG的一个法向量为〃2二。2,外,z2).

"2•花=0,卜2X2+2玫+Z2=0,

则‘一='04.1n

L弟=01兀+产=0,

令Z2=4,得X2=1,"二・=,-1,4).

12

mn2=1x1+1x(-1)+0x4=0.

J_”2,二平面4EG_L平面441CC.

练习1.在四面体中，N8_L平面8C£>,BC=CD,ZBCD=90°,ZADB=30°,E,尸分别是4C,力。的

中点，求证：平面平面ABC.

【提示】

4(°],p(o，病。)，4用,4°巧用.

建系如图，取40,0,a)，则易得8(0,0,0),

VZSCZ)=90°,：.CDl.BC.y.AB±W-^BCD,：.ABLCD.yi.ABCiBC=B,J.CDLW-^ABC,：.cb=

[-4

为平面ABC的一个法向量.

设平面BEF的法向量n=(x,y,z),

由n-Ep=0,

(一也道(]

即(x,y,z)l4U,4"'J=0,有x=y.

由"协=0,即(X,y,z>(lo，02“’刃4=0,

有~~-ay+=0=z=-3y.

取y=1,得n=(l,l,.

13

一蜴［争争°)=0

：.nLCb,

平面8EF_L平面”C.

练习2.在正方体山中，£为CG的中点，证明：平面平面B\BD.

【证明】以加，DC,DDi所在直线分别为A-轴，)■轴，z轴，建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,则0(0,0,0),51(1,1,1),M1g=(1,1,1),励=[°1(3,设平面BQE

的法向量为〃/=(%,J3z),贝！Jx+>+z=0且y+；z=0,令z=-2,^]y=1,%=1,/.«/=(1,1,-2).同理求

得平面58D的法向量为"2=(1,-1,0),由"r"2=0,知"」”2,.I平面平面B出。

模块二异面直线夹角

14

两条异面直线所成角的求法

设a,b分别是两异面直线6,/2的方向向量，则

人与，2所成的角。a与b的夹角4

(0,1]

范围[0,兀]

求法COS0=cosy?=

W\b\

注意：

1.几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过

程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即

可.

、~Co,-

2.由于两异面直线夹角。的范围是I'2」,而两向量夹角a的范围是［0,兀］,故应有cos9=|cosa|,求解时要特

别注意.

题型一异面直线夹角

几何法

例1.在正方体ABCD-48©。中，直线g与DQ所成角的大小为（）

15

C.60°D.30°

【分析】连接四，BQ\,则为直线叫与。G所成角，再由△羽.为等边三角形得答案.

【解答】解：如图，

连接阳，BR,则N8MQ为直线与。G所成角，

•••ABCD-是正方体，

△AB,D,为等边三角形，则乙杂Q=60。.

故选：C.

【点评】本题考查异面直线所成角，考查数学转化思想方法，是基础题.

练习1.在正方体ABCD-中，E为棱DC的中点，则异面直线AE与8G所成角的余弦值为（）

16

A.正B亚「Vio

2555

【分析】连结码，D、E,由8c〃/Q,得ND/E是异面直线花与8G所成角（或所成角的补角）,由此

能求出异面直线AE与8G所成角的余弦值.

【解答】解：连结，QE,

•••8GHAD,,ND\AE是异面直线AE与BCX所成角（或所成角的补角），

设正方体/8CD-4AGA中棱长为1,

=亚

贝！］/鼻=和+E=血,AE=DtE=

一2

055

2222+

.ADt+AE-D^4-4M

cos/D、AE=!--------------!——=------------7=r=-----

2xADXxAE2立>/55

2

.•.异面直线AE与8G所成角的余弦值为萼

故选：c.

17

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线间的位置关系、余弦定理等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

AA

练习2.如图，在长方体力BCD-/4CQ中,底面相C。为正方形，一片=也，则异面直线BG与所成角

A.-c

2-7D为

【分析】连结48,4G,由/啰//。。，得到幺阳是异面直线g与2c所成角，然后^用余弦定理能求

出异面直线BG与*所成角的余弦值.

【解答】解：在长方体/8CD-4ACQ中，底面N8C。为正方形，第=百，

连结48,4G，则4B//OC,BCl=AlB=y/i+3=2,A\C[=ym=&,

N48G异面直线BC\与0c所成角，

4+4-23

cosZ.A.BC,=-----------=—

112x2x24

则异面直线BC,与D.C所成角的余弦值为|.

18

故选：c.

H

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面的关系、余弦定理等基础知识，考

查运算求解能力，是基础题.

练习3.在四棱锥中，尸平面/SCO,PA=2,四边形/88是边长为2的正方形，£是尸。的

中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值是（）

A.3B.也C.也D.亚

3366

【分析】取CD的中点F,连接BF,EF.推导出EFIIPC,得到2BEF为异面直线BE与PC的所成角（或

补角），由此能求出异面直线BE与PC所成角的余弦值.

【解答】解：如图，取C。的中点厂,连接",EF.

-：E是PD的中点，所以EF//PC,

则NBEF为异面直线BE与PC的所成角（或补角）.

由题意可得=,£F=-PC=-x2V3=V3,BE=46.

22

19

在ABEF中，由余弦定理可得cosNBEF="二%=旦.

2V6xV33

，异面直线砥与PC所成角的余弦峰号

故选：B.

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，空间中线线间的位置关系、余弦定理等基础知识，考查运

算求解能力，是中档题.

向量法

例2.已知正四棱柱中，"=6,=1,则直线4c和8G所成的角的余弦值为（）

AJZR-J叵D*

【分析】以。为坐标原点，分别以,DC,OR所在直线为x，了，2轴建立空间直角坐标系，利用空间

向量求解空间角.

【解答】解：如图，

20

以。为坐标原点，分别以D4,DC,0A所在直线为x，夕，二轴建立空间直角坐标系.

则4（6,01），C（0,6,0）,B（币，币,0）,C,（0,6,1）.

衣=（-石，石,-i）,sq=（-73,0,1）.

福西3T近

cos<4cBei>=

|而Id西「52―7

二直线4c和BC,所成的角的余弦值为?.

故选：4.

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题.

练习1.如图3-2-7，在正四棱柱中,AA\=^B，则异面直线小8与4。所成角的余弦值为（）

图327

21

A|B-tC1

【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DDx所在直线为x轴/轴，z轴建立空间直角坐标系6片（图略），

设力8=1.

则5(1,1,0),4(1,0,2),4(1,0,。),9(0,0,2),狼=(0,1,-2),赤产(-1,0,2),

/山vi5i-4

cos{A\B,At)\)4

|他||赤i|&由5

.♦・异面直线/山与所成角的余弦值为^

【答案】D

练习2.如图3-2-4,在三棱锥心48c中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点N,8,H分别在x轴、y

轴、z轴上，。是线段N8的中点，且/C=8C=2,ZVDC=^,求异面直线/C与⑺所成角的余弦值.

图3-2-4

【精彩点拨】确定/,C,/,Z）的坐标-求向量及与防一

计算cos〈就，vb）的大小，并转化为NC与⑺夹角的余弦值

【自主解答】由于ZC=8C=2,。是N8的中点，所以C(0,0,0),21(2,0,0),8(0,2,0),£)(1,1,0).

当，=:时，在RtATCZ)中，CD=^,；.K0,0,巫),

22

.♦.就=(-2,0,0),力=(1,1,-#),

T、祀•力-2S

/.cos(AC,VD)==------=--------.

\AO\VD\2x2^24

••・异面直线/C与⑺所成角的余弦值为坐

模块三线面角

1.平面的法向量

已知平面a,如果向量n的基线与平面a垂直，则向量”叫做平面a的法向量或说向量n与平面a正交.

2.三垂线定理

(1)正射影

已知平面a和一点Z,过点/作a的垂线I与a相交于点A',则4就是点A在平面a内的正射影,简称射影

(2)三垂线定理

如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直，则它也和这条斜线垂直.

(3)三垂线定理的逆定理

如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直.

3.直线与平面所成的角

(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为:；

23

(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为。；

(3)斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)；

(4)直线与平面的夹角的范围是「°'L

4.直线与平面所成角的求法：

设直线)的方向向量为a,平面a的法向量为n,直线I与平面a所成的角为9,则sin°=&3=品-

4.最小角定理

(1)线线角、线面角的关系式：

如图，0B是0A在平面a内的射影，OMUa,9是0A与0M所成的角，

&是OA与OB所成的角，

。2是OB与OM所成的角，则cos0=cos_0icos_02.

(2)最小角定理：

斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.

题型一定义法求线面角

求法：作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求

的角.其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”.

例1.在长方体/8CD-45C0中，/8=4,8C=3,力小=5,试求自。与平面小8CD所成角的正弦值_____.

24

【精彩点拨】作出5点在平面小内的射影，从而得到SiDi在平面48C。内的射影.

【自主解答】作SELhS,垂足为E,又因为4。」平面,."Qi_LBiE

由B\E1.A\B及B\ELA\D\得8iE_L平面48cz>i,

而DiCi

AB

所以，DiE就是DB在平面小8CD1内的射影，

从而乙BQiE就是。|囱与平面/LBC。所成的角.

在RtZ\8|O|E中，有5沦/35=3二0山|=/i朋+4必=叱6+9=5,

D\B\

又S4AiBB\=/iB.EBi*iB「BBi,AiB=-\]25+\6=\[4\,

；.EB]=^=^,：.sinZB\DiE=^^-.

勺41小141

练习1.正方体/3C0-48CQ中，E为棱48上的点，S.4B=4EB,则直线的£与平面ND。/所成角的正

切值为（）

A.显B.包C.也D.V17

8416

【分析】由已知画出图形把直线CE与平面ADDM所成角，转化为直线GE与平面BCQB、所成角，连接BC一

则NEC、B即为直线GE与平面BCC、B、所成角，设出正方体的棱长，求解三角形可得直线GE与平面ADD,A,

所成角的正切值.

25

【解答】解：如图，

在正方体ABCD-4AGA中，：平面AA\D\DI/平面BB&C,

直线GE与平面ADD.A,所成角等于直线C,E与平面BCqB｝所成角，

•.•E81平面网CC，连接8G,则乙田8即为直线Cf与平面8CG四所成角.

设正方体/8CD-44CQ的棱长为4a，贝l]EB=a,BC、=46a.

tanNEC、B--^=-=.

4缶8

即直线GE与平面ADD.A,所成角的正切值为当.

8

故选：4.

【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题.

练习2.正三棱柱NBC-44G中N5=AA,,则8c与平面AAyBxB所成角的余弦值为（）

B而

A.半5C•半DT

26

【分析】取AB中点D,证明CD1平面AA^B，在取△BXCD中计算cosNCBQ即可.

【解答】解：取中点。,连接CO,B、D,

7\ABC是等边三角形，；.CDVAB,

•••BB、1平面ABC,CDu平面ABC,

BB、1CD,

5LAB^\BB,=B,N8u平面,881<=平面/448,

.,.CD1平面4448,

NCB、D为BC与平面所成的角，

设=彳4=1，则4c=近,B}D=J-^+l=,

，3"4。=第=当

故选：/.

【点评】本题考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题.

27

练习3.在三棱锥尸-48C中，已知Azi8c是边长为6的等边三角形，平面/8C,21=12，则48与平面

P8C所成角的余弦值为（）

A2历口历「V133八7133

A.-------B.C.-------D.-------

19381938

【分析】取8c中点。，连结,PD，过点/作于E，连结8E，推导出，从而平

面PBC,进而NABE即为AB与平面PBC所成角，由此能求出AB与平面PBC所成角的余弦值.

【解答】解：如图，取8c中点。，连结ND,PD,

过点/作ZE1PD于E，连结8E,

PA±平面ABC,\ABC是边长为6的等边三角形，

BC1AE,:.AEVW^PBC,

N4BE即为AB与平面PBC所成角,

■：PA=12,AB=6,:.AD=3-j3,PD=3M,

PA*AD12宕

AE=

PDV19

空^/T33

sm^ABE=—cos/A,BE—--^=

ABV1919

故选：C.

28

p

【点评】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,

是中档题.

题型二最小角定理求线面角

例1.如图户后，已知NBOC在平面a内，是平面a的斜线，且2A0B=AAOC=60°,OA=OB=OC=a,

BC=42a，求ON和平面a所成的角.

【分析】取8c的中点。,连接4),BD,可得AO4c,AO/B是等边三角形，\OBC,AJ8c是直角三角

形，故4DL5C,利用勾股定理得出。D，4。，故4)，a,于是乙40。为所求角.

【解答】解：取8c的中点。，连接,BD.

29

OA=OB=OC=a,ZAOB=ZAOC=60°,

^OAC,AO43是等边三角形，

:.AB=AC=a,ADVBC,

又BC=4ia,:.ZBOC=ZBAC=90°,AD=OD=-BC=—a,

22

:.OD2+AD2=OA2,:.ADLOD,

又8Cu平面a,OOu平面0，BCp\OD=D,

平面a,.•.40。为ON与平面a所成的角，

OD=AD,ADLOD,

:ZOD=45°,即OA和平面a所成的角为45。.

【点评】本题考查了线面角的计算，做出平面a的垂线，找出要求的线面角是解题关健，属于中档题.

练习l.PA,PB,PC是从点尸引出的三条射线，每两条的夹角均为60。，则直线PC与平面48所成角的余

弦值为（）

30

.1R在73V3

A.—B.——Cr.——Dn.——

2332

【分析】过PC上一点。作。。_L平面APB,则ZDPO就是直线PC与平面PAB所成的角，说明点0在NAPB

的平分线上，通过直角三角形尸的、DOP,求出直线尸C与平面尸/8所成角的余弦值.

【解答】解：过PC上一点。作。平面/P8,则NOP。就是直线PC与平面P48所成的角.

因为NAPC=ZBPC=60°,所以点。在AAPB的平分线上，即ZOPE=30°.

过点。作。E_LP/,OF1PB,因为。OJ.平面ZP8，贝(JOE1PZ,DF1PB.

设PE=1,•：NOPE=30°OP=―!—=—.

cos3003

在直角\PED中，NDPE=60°,PE=1,贝！)PZ)=2.

在直角MOP中，。尸=毡，PD=2.贝!|cosNDPO="=也.

3PD3

即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是半.

3

故选：C.

【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象

31

能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键.

练习2.已知A0为平面a的一条斜线，。为斜足，0B为OA在平面a内的射影，直线0C在平面。内，且

N40B=NBOC=45°，贝［|乙AOC的大小为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】在CM取一点H,过彳作42」。，再作夕CUOC，垂足为C，,连接4C,由，OC,易得

OCLA'C.由余弦函数的定义，证得cosN{O8・cosN8OC=cosNZOC.即可求得乙4。。的大小.

【解答】解：在。1取一点彳，过/'作4*la,再作夕。1OC,垂足为C,连接4C,由4夕1OC,

易得OCJ./C.

贝［|cos408=——,cosNBOC=——，

OA'OB'

oc

cosZA0C=——，

OA'

故有cosNZO8・cosN8OC=cosNZOC.

由于N/OB=N8OC=45°,贝(JcosN/OC=cos45°・cos45°

出也」,贝!U/0C=60°.

222

故选：C.

32

A

【点评】本题考查线面垂直的判定和性质，考查空间几何中的三余弦定理，考查运算能力

练习3.如图所示，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PDL平面ABCD.若/PBC=60°,求直线PB与平

面ABCD所成的角也

解：由题意得/CBD=45°,ZPBD即为直线PB与平面ABCD所成的角0.

VcosZPBC=cos6-cosZCBD,ZPBC=60°.

即cos60°=cos9-cos45°,cos0=——.0=45°.

2

题型三向量法求线面角

长方体建系

例1.如图，在长方体/8CD-44CQ中，M为8片上一点，已知8〃=2,8=3,AD=4I=5«

(1)求直线4c和平面/8CZ)的夹角；

33

【分析】(1)由题意可得4c与平面”8所成夹角为N4C4,判断为等腰三角形，即可求出，

【解答】解：(1)依题意：J■平面,连接"C,则4c与平面"8所成夹角为乙4。,

AAt=5,AC+4。=5,△4。为等腰三角形，

Z.AtCA=—，，直线4c和平面/BCD的夹角为彳,

练习1.如图，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD是矩形，A.D与交于点E,AA,=AD=2AB=4.

(1)证明：4E_L平面£C£).

(2)求直线4c与平面EAC所成角的正弦值.

34

【分析】（1）证明AA,1CD.CDLAD,推出CD1平面AARD,得到CD14E.证明AE1ED.即可证

明/E_L平面ECO.

（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线4c与平面所成角的正弦值.

【解答】（1）证明：因为四棱柱ABCD-48CQ是直四棱柱，所以AA,1平面ABCD,则AAt±CD.

又CDLAD,AA^AD=A,

所以C£>J■平面44Q。,所以CO1/E.

因为44J4D,AAt=AD,所以4ZQQ是正方形，所以NEL.

又，所以力E_L平