高中数学北师大版（2019）选择性必修1-第三章章末知识梳理课件

第三章空间向量与立体几何章末知识梳理要点专项突破知识体系构建知识体系构建要点专项突破要点一用向量法求空间角、距离(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．(4)建立恰当的空间直角坐标系；写出(求出)相关点的坐标；求出相关向量的坐标；代入对应的距离公式计算．所有的距离最后都可以归结为空间两点的距离和点到面的距离．典例1 (2021·全国乙卷理，18)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)求BC；(2)求二面角A－PM－B的正弦值．典例2[解析]

(1)因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系D－xyz，

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．典例3

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．典例4[解析]

如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，M(2，0，4)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，以立体几何中的位置关系或度量关系为背景的存在型探究性问题，改变了传统的几何证明或计算，能力要求较高，由于此类问题所涉及的点具有不确定性，因此使用一般方法解决起来难度较大，而若用向量方法，特别是向量的坐标运算，通过待定系数法求解，则思路清晰，操作方便．要点二利用向量方法解决立体几何中的存在型探究性问题典例5[解析]

(1)设BD交AC于点F，连接EF.因为底面ABCD是矩形，所以F为BD的中点．又E为PB的中点，所以EF∥PD.因为PD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，所以PD∥平面ACE.(2)取CD的中点O，连接PO，FO，因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥CD，又OF∥BC，所以OF⊥CD.因为PC＝PD，O为CD的中点，所以PO⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，所以PO⊥平面ABCD.典例6[解析]

(1)取AD的中点M，连接EM，MC，则EM∥PA.因为EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EM∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，MC＝AM，所以∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°，所以MC∥AB，又MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MC∥平面PAB.又EM∩MC＝M，所以平面EMC∥平面PAB.因为CE⊂平面EMC，所以CE∥平面PAB.(2)过点A作AF⊥AD，交BC于点F，又PA⊥平面ABCD，所以以A为坐标原点，AF，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，角度1图形的不规则化当问题所给的图形不是我们所熟悉的柱、锥、台等几何体，而是一个不规则的几何体时，对此，只要能够建立恰当的空间直角坐标系，确定出各相关点的坐标，即可解决问题．要点三立体几何中的两类问题典例7角度2条件的隐性化在几何图形中建立空间直角坐标系后，某些关键点的坐标却不易确定，它需要利用题设的其他条件，通过待定系数法来求解．

如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝PA＝2，PA⊥平面ABCD，E，M分别是BC，PD的中点，点F在棱PC上移动．(1)证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD；(2)当直线AF与平面PCD所成的角最大时，求二面角F－AE－M的余弦值．典例8[解析]

(1)连接AC.∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，又E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD.∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD