六年级数学上册 第21讲 构造论证二（学生版）全国通用

第21讲构造论证二内容概述各种需要构造具体实例或给出严格论证的组合问题．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析、染色分析和不等式估计等．典型问题兴趣篇1．如图21-1所示，在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格．现在已经建了两个哨所．请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。2．(1)把1，2，3，…，8，9按合适的顺序填在图21-2第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数．(2)能否将1，2，3，…，10，11按合适的顺序填在图21-3第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数？3．今有长度为1，2，3，…，198，199的金属杆各一根．请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成：(1)一个正方体框架；(2)一个长方体框架？4．老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是1分或者2分，数学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分．如果一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀．测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？5．把图21-4中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数?6．(1)能否在4×4的方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，15，16，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？(2)能否在5×5方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？7．图21-5是把一张6×6的方格纸去掉两个角所得的图形．(1)请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个1×2小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个红格和1个蓝格；(2)能否用1×2的小长方形恰好拼满这张表格？8．全班25名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座．在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物，使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢？9．将一个4×4的方格表分为如图21-6的5块区域，在其中填人16个互不相同的正整数，使得每一块区域中所填数的和都相等．这16个数的总和最小是多少？10．能否将1，2，3，…，9，10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于167能否使得任意相邻三个数之和都不大于157拓展篇1．有7个不为0的自然数，它们的和正好等于它们的积．请写出一组满足要求的数．2．如图21-7，平面上有5个点，它们之间可以连10条线段，请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没有以这5个点为顶点的三角形？3．如图21-8，一个幸运转盘分成内圆和外环两部分，并且被五条半径平均分割开．其中内圆是固定的，外环可以转动，但转动后必须使得分割线重新组成半径．请把0至9这10个数字分别填入图中的10个区域，使得不管外环怎么转动，总有大圆的一个扇形的两部分所填数字的和为9．4．平面上6条直线，它们的交点称为“结点”，每条直线上“结点”的个数称为这条直线的“标志数”，图21-9中的3条直线的“标志数”都等于2，只有一种取值；图21-10中的3条直线的“标志数”却有两种取值．现在请你用直尺画出6条直线，使得它们中间任何3条直线都不共点，且相应的6个“标志数”至少取3个不同的数值．5．(1)能否将1至8这8个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？(2)能否将l至8这8个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？6．一本故事书有10篇故事，这些故事占的篇幅从1页到10页各不相同，如果从书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？7．在4×4的方格表中至少应该去掉多少个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图21-11所示的“L型”？8．黑板上写着3个数8、18、28，老师现在请一些同学上黑板对这3个数进行操作．进行一次操作是指：把3个数进行如下变化，或者减1，或者加2．请问：能否经过若干次操作后得到6、7、87能否经过若干次操作后得到8、8、879．有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（各次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放人另外任一堆石子中．请问：(1)如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？(2)如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由．10．(1)能否将l至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？(2)能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？11．(1)能否用16个如图21-12所示的“T型”拼成一个8×8的棋盘？(2)能否用8个如图21-12所示的“T型”和8个如图21-13所示的“L型”拼成一个8×8的棋盘？(3)能否用1个如图21-12所示的“T型”和15个如图21-13所示的“L型”拼成一个8×8的棋盘？12．(1)能否用9个如图21-14所示的1×4的长方形拼成一个6×6的棋盘？(2)能否用9个如图21-15所示的“L型”拼成一个6×6的棋盘？超越篇1．能否可以用77个3×3×1的长方体小木块装满一个7×9×11的长方体匣子（匣内不留任何空隙）?若能，请给出具体装法；若不能，请说明理由．2．黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b+a+b这个数，比如：可增写5（因为1×2+1+2=5）；可增写11(因为1×5+l+5=11)．一直写下去，请问：能否得到下面两个数？若能，请你写出得出的过程；若不能，请说明理由．(1)143；(2)144.3．将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一．证明：无论怎样染色，都一定存在长为1的线段，它的两个端点是同样颜色的．4．在6×6的方格表中至少需要放多少个棋子，才能保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有棋子？（角上单独一个格子也可以组成一条与对角线平行的直线，图21-16中阴影部分的三个格子组成的直线也是与对角线平行的直线．）(2)中国象棋的马是走“日”字型路线．如图21-18，如果马在A点，那么它能跳到B、C、D、E四点之一．如果马开始在A点，它能否跳3步后回到A点；能否跳9步后回到A点？6．如图21-19，用若干个1×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形共多