平稳随机过程的谱分析

第四章平稳随机过程的谱分析

2024/1/222第四章平稳随机过程的功率谱密度4.1、平稳随机过程的功率谱密度4.2、功率谱密度与自相关函数的关系4.5、随机过程的采样定理4.3、互功率谱密度4.6、白噪声4.4、平稳过程的谱分解2024/1/223确定信号的频域分析随机信号是否也可以应用频域分析方法?随机信号的频域分析关键点4.1、平稳随机过程的功率谱密度2024/1/224信号特征分析时域分析频域分析4.1、平稳随机过程的功率谱密度关键词傅立叶变换Parseval定理频谱能谱功率谱确定信号分析2024/1/225设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t)

满足狄利赫利条件

绝对可积条件，即

能量有限条件，即有限个极值；有限个断点；断点为有限值4.1、平稳随机过程的功率谱密度关于确定信号的一些假设

2024/1/2264.1、平稳随机过程的功率谱密度对于确定信号x(t)，既可以通过时域分析，也可以通过频域分析，时域和频域之间存在确定的关系，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示傅立叶积分傅立叶变换

2024/1/2274.1、平稳随机过程的功率谱密度则的傅立叶变换为：

其反变换为：

包含：振幅谱相位谱频谱密度频谱密度存在的条件为：即信号为绝对可积信号

傅立叶变换

4.1、平稳随机过程的功率谱密度傅立叶变换

约瑟夫·路易斯·拉格朗日

Joseph-LouisLagrangeJeanBaptisteJosephFourier拉格朗日，

傅立叶旁，

我凝视你凹函数般的脸庞。

微分了忧伤，

积分了希望，

我要和你追逐黎曼最初的梦想。

感情已发散，

收敛难挡，

没有你的极限，

柯西抓狂，

我的心已成自变量，

函数因你波起波荡。

低阶的有限阶的，

一致的不一致的，

是我想你的皮亚诺余项。4.1、平稳随机过程的功率谱密度傅立叶变换

约瑟夫·路易斯·拉格朗日

Joseph-LouisLagrangeJeanBaptisteJosephFourier狄利克雷，

勒贝格杨

一同仰望莱布尼茨的肖像，

拉贝、泰勒，无穷小量，

是长廊里麦克劳林的吟唱。

打破了确界，

你来我身旁，

温柔抹去我，

阿贝尔的伤，

我的心已成自变量，

函数因你波起波荡。

低阶的有限阶的，

一致的不一致的，

是我想你的皮亚诺余项。

2024/1/2210即能量谱密度4.1、平稳随机过程的功率谱密度信号在时域的总能量等于其在频域的总能量能量谱密度存在的条件为：即信号总能量有限，s(t)也称为有限能量信号Parseval定理即4.1、平稳随机过程的功率谱密度信号在时域的总能量等于其在频域的总能量证明：Parseval定理2024/1/2212功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号其能谱不存在，而功率谱存在4.1、平稳随机过程的功率谱密度持续时间无限长的信号一般能量无限利用截取函数的性质功率谱2024/1/2213定义截取函数为：

4.1、平稳随机过程的功率谱密度功率谱2024/1/22144.1、平稳随机过程的功率谱密度随机信号是否也可以应用频域分析方法？如何定义随机信号的功率谱？如何计算随机信号的平均功率？2024/1/2215随机信号是否也可以应用频域分析方法？4.1、平稳随机过程的功率谱密度对于随机过程，一般不满足绝对可积和能量有限的这两个条件，这是因为一个随机过程的持续时间是无限长的，所以其总能量不是有限的。这说明随机过程的幅度频谱是不存在的，因此其频谱密度和能量密度都不存在

2024/1/221616随机过程的样本函数及其截断函数

2〕对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均1〕定义每个样本函数的功率谱〔处理方法适用于确定性信号〕)(tx)(txTtTT20T-4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何定义随机信号的功率谱？171〕定义每个样本函数的功率谱〔处理方法适用于确定性信号〕4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何定义随机信号的功率谱？样本函数的截断函数的傅立叶变换：181〕定义每个样本函数的功率谱〔处理方法适用于确定性信号〕4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何定义随机信号的功率谱？2024/1/22样本函数的截断函数的能量：截断函数的能量谱1〕定义每个样本函数的功率谱〔处理方法适用于确定性信号〕4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何定义随机信号的功率谱？样本函数的〔时间〕平均功率：19功率谱4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何定义随机信号的功率谱？求各样本函数功率谱密度的统计平均物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位电阻上消耗的功率的统计平均值.是的确定函数缺陷:不含相位信息2〕对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何定义随机信号的功率谱？即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度若为各态历经过程，则有：求各样本函数功率谱密度的统计平均2〕对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均2024/1/222222随机信号：随机性信号功率谱分析的一个例子4.1、平稳随机过程的功率谱密度4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何计算随机信号的平均功率？1〕频域计算方法任一样本函数的平均功率为随机过程的平均功率为随机过程的平均功率：不同的频率成分对随机信号的平均功率的奉献。若为各态历经过程：4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何计算随机信号的平均功率？2〕时域计算方法任一样本函数的平均功率为随机过程的平均功率为若为各态历经过程：4.1、平稳随机过程的功率谱密度如何计算随机信号的平均功率？3〕频域计算与时域计算的关系对于平稳随机过程，有4.1、平稳随机过程的功率谱密度Exercise4.12024/1/2227第四章平稳随机过程的功率谱密度4.1、平稳随机过程的功率谱密度4.2、功率谱密度与自相关函数的关系4.5、随机过程的采样定理4.3、互功率谱密度4.6、白噪声4.4、平稳过程的谱分解2024/1/22284.2、功率谱密度与自相关函数的关系维纳—辛钦定理利用维纳-辛钦定理求功率谱密度函数关键点2024/1/2229确定信号：随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。

4.2、功率谱密度与自相关函数的关系傅立叶变换对：2024/1/224.2、功率谱密度与自相关函数的关系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2024/1/2231

4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)ProofofTheorem4.12024/1/22设那么所以：4.2、功率谱密度与自相关函数的关系ProofofTheorem4.1Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2024/1/224.2、功率谱密度与自相关函数的关系ProofofTheorem4.1Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2024/1/2234那么

(注意，且，。因此，通常情况下，第二项为0)

4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)ProofofTheorem4.12024/1/22自相关函数和功率谱密度皆为偶函数4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2024/1/2236由于实平稳过程x(t)的自相关函数是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率局部的单边功率谱。4.2、功率谱密度与自相关函数的关系单边功率谱〔物理谱〕相关性与功率谱相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄2024/1/224.2、功率谱密度与自相关函数的关系由于，因此功率谱存在Exercise4.2满足绝对可积条件4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Exercise4.3不满足绝对可积条件4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Exercise4.4不满足绝对可积条件4.2、功率谱密度与自相关函数的关系维纳—辛钦定理的局限与推广要求均值为零这个定理要求不能应用于含有直流分量或周期分量的随机信号，功率谱密度是连续的，实际中含有直流分量和周期分量的随机过程很多。4.2、功率谱密度与自相关函数的关系维纳—辛钦定理的局限与推广要求均值为零引入函数其傅立叶变换4.2、功率谱密度与自相关函数的关系维纳—辛钦定理的局限与推广要求均值为零借助函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上无限值用函数表示，那么维纳－辛钦定理可推广应用。4.2、功率谱密度与自相关函数的关系维纳—辛钦定理的局限与推广要求均值为零假设随机过程均值非零，那么功率谱在原点有一函数；假设含有周期分量，那么在相应的频率处有函数；引入函数其傅立叶变换4.2、功率谱密度与自相关函数的关系维纳—辛钦定理的局限与推广2024/1/2245功率谱密度常用来进行周期性检测四类典型信号的功率谱4.2、功率谱密度与自相关函数的关系维纳—辛钦定理的局限与推广2024/1/2246对于非平稳信号：时间平均自相关函数与功率谱密度为傅立叶变换对4.2、功率谱密度与自相关函数的关系维纳—辛钦定理的局限与推广2024/1/22474.2、功率谱密度与自相关函数的关系Exercise4.3484.2、功率谱密度与自相关函数的关系Exercise4.4解法1：2024/1/224.2、功率谱密度与自相关函数的关系Exercise4.4解法2：4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Exercise4.5解：

非平稳随机过程4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)Continuous-timeDiscrete-time4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Proposition4.1(Propertiesofpowerspectraldensityfunction)证明特别对实平稳过程,4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Proposition4.1(Propertiesofpowerspectraldensityfunction)平均功率第一式说明功率谱密度曲线下的总面积(平均功率)等于平稳过程的均方值.第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积.4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Proposition4.1(Propertiesofpowerspectraldensityfunction)平均功率2024/1/2255以上局部可能涉及到的计算●利用复变函数中的留数定理●利用的根本公式和Fourier变换的性质等●利用的一些性质计算4.2、功率谱密度与自相关函数的关系2024/1/2256留数定理

设为复变量s的函数，且其绕原点的简单闭曲线C反时针方向上和曲线C内部只有几个极点

那么：一阶留数

二阶留数

4.2、功率谱密度与自相关函数的关系2024/1/2257留数定理4.2、功率谱密度与自相关函数的关系2024/1/2258

是R(z)的分母在上半复平面的零点。若假设R(x)是分母无实零点的有理函数，且分子分母没有相同的零点，而分母的幂次比分子的幂次至少高一次，则有是R(z)分母的n重零点，则留数定理4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Exercise4.6利用的根本公式和Fourier变换的性质等解：4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Exercise4.72024/1/22解法1:利用复变函数中的留数定理4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Exercise4.7解法1:利用复变函数中的留数定理4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Exercise4.7解法1:利用复变函数中的留数定理2024/1/224.2、功率谱密度与自相关函数的关系Exercise4.7解法2:利用的根本公式和Fourier变换的性质等4.2、功率谱密度与自相关函数的关系Exercise4.7解法2:利用的根本公式和Fourier变换的性质等2024/1/224.2、功率谱密度与自相关函数的关系2024/1/2265第四章平稳随机过程的功率谱密度4.1、平稳随机过程的功率谱密度4.2、功率谱密度与自相关函数的关系4.5、随机过程的采样定理4.3、互功率谱密度4.6、白噪声4.4、平稳过程的谱分解4.3、互功率谱密度如何定义两个随机信号的互功率谱？1〕定义两个随机过程的样本函数的功率谱2024/1/22674.3、互功率谱密度如何定义两个随机信号的互功率谱？1〕定义两个随机过程的样本函数的功率谱4.3、互功率谱密度由于，的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:如何定义两个随机信号的互功率谱？1〕定义两个随机过程的样本函数的功率谱4.3、互功率谱密度如何定义两个随机信号的互功率谱？2〕对两个随机过程的所有样本函数的互功率谱求统计平均和是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令得：

4.3、互功率谱密度如何定义两个随机信号的互功率谱？Definition3.4(JointPowerSpectraDensity

Function)4.3、互功率谱密度互谱密度和互相关函数的关系自相关函数功率谱密度

F互相关函数互谱密度

F4.3、互功率谱密度互谱密度和互相关函数的关系假设X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，那么有即结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。2024/1/2273性质1：证明：

〔令〕4.3、互功率谱密度互功率谱密度的性质2024/1/2274性质2：

证明：

（令）

同理可证4.3、互功率谱密度互功率谱密度的性质2024/1/2275性质3：

证明：类似性质2证明。4.3、互功率谱密度互功率谱密度的性质2024/1/2276性质4：

假设X(t)与Y(t)正交，那么有证明：假设X(t)与Y(t)正交，那么所以4.3、互功率谱密度互功率谱密度的性质2024/1/2277性质5：

假设X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值和，那么证明：

因为X(t)与Y(t)不相关，所以（）4.3、互功率谱密度互功率谱密度的性质Exercise4.82024/1/22解：4.3、互功率谱密度Exercise4.94.3、互功率谱密度2024/1/2280第四章平稳随机过程的功率谱密度4.1、平稳随机过程的功率谱密度4.2、功率谱密度与自相关函数的关系4.5、随机过程的采样定理4.3、互功率谱密度4.6、白噪声4.4、平稳过程的谱分解2024/1/2281在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近。这时可以表示为两个多项式之比，即

4.4、平稳过程的谱分解有理谱密度是实际中最常见的一类功率谱密度或形式工程中常用来作为有色噪声的逼近功率谱密度的有理多项式形式2024/1/2282假设用复频率s来表示功率谱密度，那么，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形式：4.4、平稳过程的谱分解功率谱密度的有理多项式形式2024/1/2283据平稳随机过程的功率谱密度的性质，可以导出关于的零、极点的如下性质：（1）

为实数。

（2）

的所有虚部不为0的零点和极点都成复共轭出现。

（3）的所有零、极点皆为偶重的。

〔4〕M＜N。4.4、平稳过程的谱分解功率谱密度的有理多项式形式2024/1/2284根据上面的性质，可将

分解成两项之积，即：

其中〔零极点在s上半平面〕〔零极点在s下半平面〕且谱分解定理

此时4.4、平稳过程的谱分解谱分解定理(连续时间)2024/1/2285设X(n)是广义平稳实离散随机过程，具有有理功率谱密度函数。那么可分解为：其中包含了单位圆之内的全部零点和极点包含了单位圆之外的全部零点和极点4.4、平稳过程的谱分解谱分解定理(离散时间)2024/1/22在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为的z变换，并记为，即

式中式中，D为在的收敛域内环绕z平面原点反时针旋转的一条闭合围线。4.4、平稳过程的谱分解离散傅立叶变换与Z变换

（因为）4.4、平稳过程的谱分解Exercise4.10解：将z=代人上式，即可求得2024/1/2288第四章平稳随机过程的功率谱密度4.1、平稳随机过程的功率谱密度4.2、功率谱密度与自相关函数的关系4.5、随机过程的采样定理4.3、互功率谱密度4.6、白噪声4.4、平稳过程的谱分解2024/1/2289连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数

FTDFT

4.6、随机过程的采样定理2024/1/2290连续时间确知信号离散时间确知信号采样香农采样定理4.6、随机过程的采样定理2024/1/2291其中，T为采样周期，为在时对的采样。

设为一确知、连续、限带、实信号，其频带范围，当采样周期T小于或等于时，可将展开为4.6、随机过程的采样定理确知信号的采样定理(香农采样定理)2024/1/2292连续时间确知信号离散时间确知信号采样香农采样定理4.6、随机过程的采样定理2024/1/2293连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程

采样4.6、随机过程的采样定理假设为平稳随机过程，具有零均值，其功率谱密度为，那么当满足条件时，可将按它的振幅采样展开为4.6、随机过程的采样定理平稳随机过程的采样定理(香农采样定理)证明:

带宽有限，第一步：(1)

的带宽也是有限(2)令，那么(3)是确知函数，根据维纳-辛钦定理，对，

对应用香农采样定理的，对应用香农采样定理4.6、随机过程的采样定理2024/1/2296第二步：令，那么=0(2)这说明，正交

又是的线性组合，因此正交4.6、随机过程的采样定理2024/1/2297即

(4)又

(5)(3)第三步：=0即4.6、随机过程的采样定理第一步第二步第三步(1)(2)(3)(4)(5)=04.6、随机过程的采样定理2024/1/2299连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样=自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数FTDFT

4.6、随机过程的采样定理2024/1/22100假设平稳连续时间实随机过程，其自相关函数和功率谱密度分别记为和，对采样后所得离散时间随机过程，的自相关函数和功率谱密度分别记为和，那么有

4.6、随机过程的采样定理功率谱密度的采样定理2024/1/22101证明:(1)

根据定义===由可见，，即样可得==(2)进行等间隔的采对4.6、随机过程的采样定理2024/1/22102连续时间平稳随机过程离散时间平稳随机过程采样自相关函数功率谱密度功率谱密度自相关函数FTDFT平稳随机过程的采样定理功率谱密度的采样定理4.6、随机过程的采样定理2024/1/22103第四章平稳随机过程的功率谱密度4.1、平稳随机过程的功率谱密度4.2