专题22 与三角形相关的压轴题-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（全国通用）（原卷版）

1/3专题22与三角形相关的压轴题一、选填题1．（2021·山东淄博市·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（）A． B． C． D．2．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（）A．3 B． C． D．3．（2021·辽宁中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．4．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是______．（填序号）5．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知菱形的面积为﹐点E是一边上的中点，点P是对角线上的动点．连接，若AE平分，则线段与的和的最小值为__________，最大值为__________．6．（2021·河南中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________．7．（2021·四川达州市·中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．8．（2020·黑龙江牡丹江市·中考真题）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有___________．（只填序号）9．（2021·湖南中考真题）如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为________．10．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为_____________．11．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．二．解答题1．（2021·四川资阳市·中考真题）已知，在中，．（1）如图1，已知点D在边上，，连结．试探究与的关系；（2）如图2，已知点D在下方，，连结．若，，，交于点F，求的长；（3）如图3，已知点D在下方，连结、、．若，，，，求的值．2．（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若，求证：．②若，求四边形的面积．（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．3．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF．（1）求证：；（2）如图2，若，，，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．

4．（2021·四川乐山市·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结．（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．①在图2中补全图形；②探究与的数量关系，并证明；（3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明．5．（2021·重庆中考真题）在等边中，，，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．图1图2图3（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积．6．（2020·江苏淮安市·中考真题）（初步尝试）（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为；（思考说理）（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．（拓展延伸）（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．7．（2019·辽宁丹东市·中考真题）已知：在△ABC外分别以AB，AC为边作△AEB与△AFC．（1）如图1，△AEB与△AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF．以EF为直角边构造Rt△EFG，且EF＝FG，连接BG，CG，EC．求证：①△AEF≌△CGF；②四边形BGCE是平行四边形．（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：如图2，在△ABC外分别以AB，AC为斜边作Rt△AEB与Rt△AFC，并使∠FAC＝∠EAB＝30°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出的值及∠DEF的度数．（3）小颖受到启发也做了探究：如图3，在△ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝90°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定∠EAB＝α时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE＝m，AB＝n，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出的值，并用含α的代数式直接表示∠DEF的度数．8．（2020·湖北武汉市·中考真题）问题背景：如图（1），已知，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．9．（2020·山东潍坊市·中考真题）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．（1）当时，求证：；（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．10．（2021·重庆中考真题）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．（1）如图，当时，连接，交于点．若平分，，求的长；（2）如图，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值．11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．

（1）如图1，直接写出线段与的数量关系；（2）如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段；（3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P、B分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度．12．（2021·吉林中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点．（1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）；（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；（3）若，直接写出的度数．13．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）已知和都是等腰直角三角形，．（1）如图1，连接，，求证：；（2）将绕点O顺时针旋转．①如图2，当点M恰好在边上时，求证：；②当点A，M，N在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．

14．（2021·山东东营市·中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．

15．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，且．（1）求证：；（2）求证：；（3）如图②，作，垂足为H，设，不妨设，请利用（2）的结论证明：当时，成立．16．（2021·湖南）如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．（1）证明：；（2）如图2，连接，，交于点．①证明：在点的运动过程中，总有；②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？

17．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）数学课上，有这样一道探究题．如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：（问题发现）小明研究了时，如图1，求出了___________，___________；小红研究了时，如图2，求出了___________，___________；（类比探究）他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了；（归纳总结）最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________(用含α的式子表示)．（2）求出时的值和的度数．18．（2021·辽宁大连市·中考真题）已知，，．（1）找出与相等的角并证明；（2）求证：；（3），，求．19．（2021·广西贵港市·中考真题）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．20．（2021·辽宁营口市·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，，，，D为边中点，连接，且A，F，E三点恰好在一条直线上，交于点H，连接，．（1）求证：；（2）猜想，，之间的数量关系，并证明；（3）若，，请直接写出线段，的长．21．（2021·山东威海市·中考真题）（1）已知，如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，，．连接BE，过点A作，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：．（2）已知，如图②摆放，，．连接BE，CD，过点A作，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．

22．（2021·湖北襄阳市·中考真题）在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接．（1）特例发现：如图1，当，落在直线上时，①求证：；②填空：的值为______；（2）类比探究：如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用：在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长．23．（2021·湖北中考真题）已知和都为等腰三角形，．（1）当时，①如图1，当点D在上时，请直接写出与的数量关系；_________；②如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由；（2）当时，①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由；②当时，请直接写出的长．24．（2021·内蒙古中考真题）如图，已知是等边三角形，P是内部的一点，连接BP，CP．（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作，，连接DP，求的度数；（2）如图2，E是BC边上一点，且，当时，连接EP并延长，交AC于点F．若，求证：；（3）如图3，M是AC边上一点，当时，连接MP．若，，，的面积为，的面积为，求的值（用含a的代数式表示）．

25．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为，连接，，，．（1）如图①，若，证明：．（2）如图②，若，，求的值．（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．26．（2021·吉林长春市·中考真题）如图，在中，，，，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为．（2）用含t的代数式表示线段BP的长．（3）当点在内部时，求的取值范围．（4）当与相等时，直接写出的值．27．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，在中，，，点为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且交线段于点，的平分线交于点．

（1）如图1，若，则线段与的数量关系是________，________；（2）如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，连接，．①试判断四边形的形状，并说明理由；②求证：；（3）如图3，若，，过点作交于点，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）．28．（2021·湖北武汉市·中考真题）问题提出如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写