期中复习模拟试题 (十二)-2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册及答案

2020-2021学年高一数学下学期期中复习试题

满分：100分时间：60分钟

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。

1.下列命题中正确的是（）

A.若a||b,则a在b上的投影为|a|

B.若a-c=6'c（c0），则a=b

C.若A,B,C,D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件

D.若a•b>0,贝Ua与b的夹角为锐角；若a-b<0,则a与b的夹角为钝角

2.设&,尸2是双曲线C：£-4=l的两个焦点，。为坐标原点，点P在C的左支上，且需+

48

瑞^=2V3,则△Pg的面积为（）

A.8B.8V3C.4D.4百

3.已知i为虚数单位z=*筌，则z的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.-i

4.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1）,则该三棱锥中最长的棱长为（）

正视图：：恻视图

俯视图

B.2V2c.VToD.2V3

5.四棱锥S-ABCD中，侧面SBC为等边三角形，底面ABCD为矩形，BC=2,AB=a,点F

是棱AD的中点，顶点S在底面ABCD的射影为H,则下列结论正确的是（）

A.棱SC上存在点P使得PD〃面BSF

B.当“落在AD上时，a的取值范围是（0,遥］

C.当H落在AD上时，四棱锥S-ABCD的体积最大值是2

D.存在a的值使得点B到面SFC的距离为V3

6.在正方体ACX中，E是棱CCi的中点，F是侧面BC£Bi内的动点，且AXF与平面Op4E的垂线垂

直，如图所示，下列说法不正确的是（）

A.点F的轨迹是一条线段B.4F与BE是异面直线

C.4/与DXE不可能平行D.三棱锥F-ABDi的体积为定值

7.在矩形ABCD中，AC与BD相交于点。,E是线段。。的中点，若AE=mAB+nAD,则

m-n的值为（）

TB.-lC.1

8.圣•索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风

格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批

全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，

棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高

度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为（15W-15）m，在它们之间的地面上的点M

（B.M,D三点共线）处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶

C的仰角为30°,则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A.20mB.30mC.20V3mD.30vlm

9.若复数z满足z（l+i）=-i（其中i为虚数单位）则复数z的虚部为（）

A.--B.iC.--iD.-i

2222

10.用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（）

①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；

③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形

A.1B.2C.3D.4

11.设a为平面，a,b为两条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A.若a〃a,b〃a,贝!]a//bB.若a_La,，则匕〃a

C.若a_La>a//b，则b1aD.若a与b相交，且a〃a,贝Ub〃a

12.己知正方体ABCD-的棱长为28，M,N为体对角线BD1的三等分点，动点P在三角形

ACB,内，且三角形PMN的面积S“MN=^，则点P轨迹长度为（）

8

A辿

八3打B.-JI“%

第n卷（非选择题共4。分）

二、填空题：本题共计4小题，共计16分。

13.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈.在如图所示的鳖腌P-ABC中，PA1

平面4BC,^ACB=90°，CA=4,PA=2,D为4B中点，E为APAC内的动点（含边

界），且PC_LDE.①当E在4C上时，AE=；②点E的轨迹的长度为.

B

14.如图，四边形ABCD中，AB//CD,AB=5,CD=2,BC=底，AC-'BD=O.M,

N分别是线段AB,AD上的点，且|薪|+|众|=2，则前•丽的最大值为.

15.若复数z=(巾2+m-2)+(4m?-8m+3)i,(mER)的共柜复数2对应的点在第一象限，则实

数m的取值范围为.

16.如图，在梯形/BCD中，AB1BC,AD//BC,AB=1,BC=1,4D=2.取4D的中点

E,将4ABE沿BE折起，使二面角A-BE-C为120。，则四棱锥A-BCDE的体积为

三、解答题：本题共计4小题，共计24分。

17.已知在三棱柱力BC-&B1C1中，4B=BC=BB1=4,ZABC=120°,侧棱与底面垂直，点

M,N分别是棱CG,4%的中点.

(1)求三棱柱ABC—4B1G外接球的表面积；

(2)设平面ABC截三棱柱力BC-4B1G的外接球面所得小圆的圆心为0,求直线0a与平面BMN

所成角的正弦值.

18.复数z=m(m—1)+(m—l)i(m6R).

(I)实数m为何值时，复数z为纯虚数；

CD)若m=2,计算复数2-3.

(1)若EF=xAB+yAD，求3x+2y的值；

(2)若|四|=6,=60。，求前•丽.

20.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD1平面ABCD,△PAD为等边三角形,

E为PC中点.

(1)求证：PA//平面BDE.

(2)若24=4,三棱锥C-EBD的体积为4,求二面角C-DE-B的正弦值.

答案解析

一、单选题

1.【答案】C

【解析】因为a//b，所以a.b的夹角为。或者兀，则d在3上的投影为|a|cos0=±|a|,A不正

确；设c=(1,0)5=(0,0),a=(0,2),则有a-c=b-c(c0),但a^b,B不正确；

"AB=DC,.-.\AB\=\DC\且AB//DC,又A,B,C,D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边

形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB//DC且|m|=|瓦|,所以AB=DC,C符合题意；

心3>0时，必区的夹角可能为0,D不正确.

故答案为：C

2.【答案】A

【解析】由需+需=叵需且=鬻=|而|=2百，

|OP||OP||OP||OP|1'

不妨设&(-2b,0),F2(2V3,0),

所以\OP\=^\F1F2\,所以点P在以F/2为直径的圆上，

即4PF[F2是以P为直角顶点的直角三角形，

222

故\PF1\+\PF2\=IFj^l,即|P0『+|PF2|2=48.

又\PF.t\-\PF2]=2a=4,

22

所以16=(IPFJ-|PF2|)=\PF^+|PF2|-2\PF1\\PF2\=48-2\PFX\\PF2\,

解得：\PF1\\PF2\=16,

所以S^F2=^\PF1\\PF2\=8.

故答案为：A

3.【答案】B

【解析】•••n。2。=i。=1/2。21=尸=i,二z=9=高悬=l+i,：.z=1-1,虚部为-1.

故答案为：B

4.【答案】D

【解析】将该几何体放在棱长为2的正方体中，如图D-ABC,

由三视图可得，该三棱锥中最长的棱为AD=V22+22+22=2V3.

故答案为：D.

5.【答案】A

【解析】对于A：取BC的中点E,连结DE,取SC中点P,连结PE、PD,

：PE为aBCS的中位线，:.PE/7BS,

又BSU面BFS,PEC面BFS,；.PE〃面BFS；

在矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，，DE〃BF,

又BFU面BFS,DEC面BFS,：.DE面BFS；

又DEQPE=E，二面PDE〃面BFS,PD“面BSF,

A符合题意；

对于B：：SBC为等边三角形，BC=2,：.SE=>/3,

当a=百时，S与H重合，图形不能构成四棱锥，与已知条件相悖，B不符合题意;

222

对于C：在RtZ\SHE中，SH=,：.VS-ABCD=|X2aX-a=|V（3-a）a<1

当且仅当a2=|时，Vs_ABCD的最大值为1.C不符合题意；

对于D：由C的推导可知：当%BCD的最大时，点B到面SFC的距离d最大,

Vs-BFC=lVs-ABCD，

此时SF=g,CF=VCD2+"=¥

...SASFC=2SFXCF=2X在x®=叵

22224

d=（=Tx-^=主产＜3,D不符合题意。

故答案为：A

6.【答案】C

【解析】对于A中，设平面ADrE与直线BC交于点G,连接AG.EG，则G为BC的中点,

分别取BjB,BG的中点M,N,连接AM,MN,AN,

因为A[M“D[E,AtMC平面DXAE,DXE//平面DyAE,

所以AM1平面D^AE,同理可得MN//平面D-yAE,

又因为AiM,MN是平面AiMN内的相交直线，

所以平面A^MN//平面DAAE,

由此结合A^F//平面D^AE,可得直线4JU平面AiMN,

即点F是线段MN上的动点，所以A符合题意；

对于B中，因为平面A、MN"平面D^AE,BE和平面D^AE相交，

所以A.F与BE是异面直线，所以B符合题意；

对于C中，由A知，平面力1MN〃平面OiAE,所以AXF与DXE不可能平行，

所以C不符合题意；

对于D中，因为MN//EG,又由EG//BC.,,可得MN//BCX,

BCiu平面ABGDi,且MNC平面ABC^D^,所以MN//平面ABC^,

则F到平面ABD.的距离为定值，所以三棱锥F-ABD,的体积为定值，所以D符合题意.

故答案为：C.

7.【答案】A

【解析】因为AE=AB+~BE=AB+-BD=AB+-（BA+AD）=-AB+-AD,

4444

所以m=^,n=m-n=-|,

故答案为：A

8.【答案】D

【解析】由题意知：ZCAM=45°,ZAMC=1050所以4cM=30°

.....ABAB

在Rt△ABM中，AM=—s\x\Z—AM—B=—sinl—S,

AMCM4Msin45°4Bsin45°

在中，由正弦定理得丁所以CM=

sin30°sin45sin300sinl50sin30

在Rt△DCM中，CO=CM-sin60°=3皿45".sin60。=(15"泞三=3Q^

sinlS°sin30°瓜一姬■i

42

故答案为：D

9.【答案】A

【解析】由z(l+i)=-i可得2=湍言=于=一京，

所以复数Z的虚部为一：。

故答案为：A

10.【答案】A

【解析】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；

对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如平行于%轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，

变为原来的|,所以②错误；

对于③，相等的角在直观图中不一定相等，如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45°

和135°,所以③错误；

对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；

综上，正确的命题序号是①，共1个.

故答案为：A.

11.【答案】C

【解析】A.若a“a,b“a,则a,b平行，相交或异面，故错误；

B.若ala,dJL3,则b与a平行或在平面内，故错误；

C.若ala,a//b，贝!Ib1a,由线面垂直的性质定理知，故正确；

【).若a与b相交，且a//a,则b与a平行或相交，故错误.

故答案为：C

【分析】A.利用空间两直线的位置关系判断；B.利用空间直线与平面的位置关系判断；C.利用线面垂直

的性质定理判断；【).利用直线与平面的位置关系判断.

12.【答案】A

【解析】如图所示：

连接BgCBiC=0,因为四边形BCC1B1是正方形，所以BGJ.B1C,

因为DiG1平面BCC1B1,BiCu平面BCgBi,所以D©1BXC,

又BGnDiG=G，BGu平面BCyDy,DJGu平面BC[D],

所以B^C1平面BGDi,所以BiC_LDiB,

同理可知：ByA1DiB,

又因为BiCu平面ACBt,B〃u平面ACBi,B^CB^A=,

所以D】B1平面ACB1,

根据题意可知：AB=V54B=6,4B]=%。=AC=2通，所以△"名为正三角形，所以ZBrAC=

60°,

所以S„ACB1=|x2V6x2V6Xy=6V3，设B到平面ACB1的距离为h，

=

因为yB-ACB1-ABC»所以g，S&ACB、.h1,S〉ACB'BB],

所以SMCBI，h—S^ACB'BB]，

所以更x（2遥）2x4=迈越、2b，所以h=2=9。/，所以力=BN,

423

所以N即为D$与平面ACBi的交点，由题意可知：DiBl平面ACB］，所以MN，PN,

所以SNMN=^MN.PN='2.PN=PN=当,再如下图所示：

在正三角形4cBi中，高AO=ZlCsin600=2V6Xy=372,

所以内切圆的半径r=-A0=^2<^-,且也<2节,=AN,

333

取BiC的两个三等分点E.F,连接EN,FN,所以NE"AB”NFI]AC,

所以ANEF是以PN长度为边长的正三角形，所以P的轨迹是以N为圆心，半径等于辿的圆，圆

3

的周长为幽，

3

在△AC%内部的轨迹是三段圆孤，每一段圆弧的圆心角为60。，所以对应的轨迹长度是圆周长的一半

为巫,

3

故答案为：A.

二、填空题

13.【答案】2；,

【解析】⑴当E在AC上时，因为P41平面ABC，故PA1DE，又PC1DE，故DE1平面

PAC,故DE14C,又4cB=90。,D为AB中点，，故DE//BC，所以E为AC中点，故

AE=\AC=2。(2)取AC中点F,则由⑴有DF1平面PAC，故PC1DF，又PC1DE，设平面

DEFnPC=G,则有PC1平面DGF,故点E的轨迹为FG,

又此时CF=2,tan4CA=粤=：，故sin4S=不占=橐，

AC2vlz+2zV5

所以FG=CF-smZPCA=京=当。

故答案为：(1).2(2).延。

5

14.【答案】1

【解析】设/CBA=®,

则NBCD=兀一4

则前=或+而，AC=BC-BA,

•••CD//AB,CD=2,AB=5,

一2一

・・・CD=-BA,

__>__»2__»

・•.BD=BC+-Fi4,

,:BDLAC,

，，，一,’‘’>‘‘’>o，，>，.一,，

・・・BDMC=(BC+2),(BC-B4)=0,

即13—gx5xcos8+：x5xVnxcose—|x25=0

得3V13COS0=3'即cos"普’

则CEi/DF,CE=DF,

则BE=BC•cos。=1

则DF=CE=2V3,

vCE〃。凡CE=DF,

・•・EFnCDfEF=CD=2,

・・.AF=AB-BE-EF=2

则tan4MF=2=V5

2

n

・・・ZDAB=ZDAF=

AF

:.AD=-----元=4,

COSJ

由丽|+\AN\=2,

得丽|=2-|丽I，

________________________________________________]

•••AM-AN=\AM\■\AN\-cosAB=(2-|词)•丽|.-

=丽|一河『，

v\AN\G(0,2),函数y=~\x2+x开口向下，对称轴x=1,

2

­•当|而|=1时，(AM-4N)max=l-|xl=|o

故答案为：|o

15.【答案】（1,|）

【解析】

因为z对应的点在第一象限，所以z的对应点在第四象限，

2

所以I吗卡3一4Tn，解得1<伍<:即，

故答案为：（1,|）.

16.【答案】渔

12

【解析】解：梯形ABCD的面积S=比等=|,S^ABE=1x1x1=|,所以SaBCDE=l-^=l,

如图，取BE的中点H,连接AH,CH,：.AHLBE,CH1.BE,：.ZAHC为二面角A-

BE-C的平面角，

/.ZAHC=120°,过点A作CH的垂线，交CH的延长线于点K,则AK_L面BCDE,因为

BE=yjAB2+AE2=近，所以4"=也，

2

所以AK=AH-sin60°=—x—=—

224

所以yA-BCDEbcde=iXX1=•

故答案为：立

12

三、解答题

17.【答案】（1）解：据已知条件，取AC的中点H,以C4所在的直线为x轴，以BH所在的直线

为y轴，以过点H且和AAt平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示：

由已知可得力(28,0,0),5(0,-2,0),C(-2V3,0,0),4(2g,0,4),^(-273,0,4),

Bi(0,-2,4),

设球心G的坐标为(a,b,c)，贝(1G4=GC=GB],且c=2

所以(a-2遮产+〃+4=(a+2>/3)2+b2+4

(a—2V3)2+b2+4=a2+(b+2)2+4'

解得：a=0,b=2,所以G(0,2,2),

所以r=y/02+(2+2)2+(2-4)2=2y/5,

所以外接球的表面积S=4兀/_7r(2r)2=807r

(2)解：由⑴可知：所以BC=(-2V3,2,0),鬲=(0,0,4),

因为CM=|CC^,所以BM=~BC+CM=BC+|CC\=(-273,2,2),

同理BN=BB,+B]N=BB]+”出=(遮,1,4),

设平面BMN的法向量m=(%,y,z),

m•BM=0

m,BN=0'

—V3x+y+z=0

即｛取x=8，则z=-2y=5,

V3x+y+4z=0

所以m=(73,5,-2),

由(1)可知，截面圆的圆心。在BH的延长线上，且HO=2,

所以西=(0,-44)，

设直线。当与平面BMN所成的角大小为9,

I沅万瓦*120+8_7

所以sin©=

同・1两IV32V32.8

所以直线。当与平面BMN所成角的正弦值为|.

【解析】(1)利用已知条件，取AC的中点H,以C4所在的直线为x轴，以BH所在的直线为y

轴，以过点H且和AAr平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用已知条

件求出球心的坐标，再结合两点距离公式求出球的半径，再结合球的表面积公式，进而求出三棱柱ABC-

4181cl外接球的表面积。

(2)由(1)可知~BC=(-273,2,0),CQ=(0,0,4)，再利用向量共线的坐标表示结合三角形法则

和向量的坐标运算，进而结合向量的数量积求夹角公式，进而结合诱导公式求出直线。当与平面BMN

所成角的正弦值。

18.［答案】解：(I)欲使z为纯虚数，则须m(m—1)=0且m—10,所以得m=0

(II)当m=2时，z=2+t,z=2-i,故所求式子等于2—i—1—|i

【解析】(I)复数为纯虚数，则实部为0,虚部不为零，据此可得m=0；(H)利用复数的运算法则计算

可得z--=---i.

l+l22

19.【答案】(1)解：因为BE=^BC,CF=2FD,

所以EF=EC^CF=-BC--DC=-AD--AB,

力2323

所以x=一|,y=1,

故3x+2y=3x(-|)+2x|=-1.

(2)解：：AC=AB+AD，

：.AC-EF=(