南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析

试卷第=page22页，共=sectionpages44页试卷第=page11页，共=sectionpages44页江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设为实数，平面向量，，若，则的值为（

）A．4 B． C．1 D．2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在中，，，，则（

）A． B． C． D．4．已知均为锐角，且，则（

）A．0 B． C． D．15．已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：甲：；

乙：；丙：；

丁：．如果只有一个等式不成立，则该等式为（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形7．若点均位于单位圆上，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．如图，某次帆船比赛LOGO的设计方案如下：在直角三角形中挖去以点O为圆心，为半径的扇形，使得扇形的面积是直角三角形面积的一半.记，则的值为（

）A． B．2 C．1 D．4二、多选题9．下列四个等式中正确的有（

）A． B．C． D．10．设，为复数，.下列命题中正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．已知函数，则下列结论正确的有（

）A．的最小正周期为B．直线是图象的一条对称轴C．在上单调递增D．若在区间上的最大值为，则12．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，则下列结论正确的有（

）A． B． C． D．三、填空题13．设为实数，复数，.若为纯虚数，则的虚部为___________.14．如图，照片中的建筑是某校的学生新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度.为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角，进而测得，.根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为___________米.15．已知，且为钝角，则的值为___________.四、双空题16．已知平面向量满足，，且.记的夹角为，则的最小值为___________；的最小值为___________.五、解答题17．在平面四边形中，，.(1)若，，求；(2)若，，求.18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，.（1）用，表示，；（2）若EF⊥EG，，求角A的值.19．设复数，，已知.(1)求的值；(2)若，求的值.20．在中，已知∠BAC＝120°，，O是的外接圆圆心.(1)求；(2)若的面积为，且，求.21．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)在①的面积为；②边上的中线长为；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.(1)求证：是直角三角形；(2)已知，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记.①当时，设的面积为，求的最小值；②记，.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.答案第=page1212页，共=sectionpages1313页答案第=page1313页，共=sectionpages1313页参考答案：1．B【分析】根据向量平行的坐标公式计算即可得解.【详解】解：因为，所以，解得.故选：B.2．A【解析】由题,利用除法法则整理为的形式,即可得到复数的坐标形式,进而求解即可【详解】由题,,所以在复平面内对应的点为,故选:A【点睛】本题考查复数的坐标表示,考查复数在复平面的位置,考查复数的除法法则的应用3．D【分析】利用正弦定理求出，再利用平方关系即可得解.【详解】解：在中，，，，因为，所以，因为，所以，所以.故选：D.4．D【分析】利用两角和公式展开，可求得，进而，即可求解【详解】，，即，所以，因为均为锐角，所以，所以，所以，故选：D5．B【分析】先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【详解】甲：，则，故P为△ABC的重心；乙：，则，故，即△ABC为直角三角形；丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；丁：，则，同理可得：，即P为△ABC的垂心，当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.故选：B．6．C【分析】通过正弦定理将边化为角，化简即可得结果.【详解】由正弦定理得，即，由于为三角形内角，所以.故选：C.7．A【分析】由可求得，利用向量线性运算和数量积的运算性质可求得，由可求得最大值.【详解】设为圆心，则，，解得：；；，.故选：A.8．B【分析】根据扇形的面积公式得到，再根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：依题意，解得，所以.故选：B.9．ACD【分析】对于四个选项，一一利用三角函数恒等变形求出对应的值，即可判断.【详解】对于A.，正确；对于B.，错误；对于C.，正确；对于D.，正确.故选：ACD.10．ABC【分析】由复数的性质可判断A，B；利用共轭复数的定义和复数的运算可判断C；取特殊值可判断D.【详解】对于A，若，因为，所以，正确；对于B，，所以，所以，所以，正确；对于C，，又，所以，正确；对于D，，而.故选:.11．BD【分析】运用三角恒等变换化简函数，运用正弦函数的周期公式可判断A选项；代入得，可判断B；当时，，由正弦函数的单调性可判断；当时，，由正弦函数的值域可判断D.【详解】解：，所以的最小正周期为故A不正确；因为，所以直线是图象的一条对称轴，故B正确；当时，，而函数在上不单调，故不正确；当时，，因为在区间上的最大值为，即，所以，所以，解得，故D正确.故选：BD.12．ACD【分析】利用正弦定理角化边可得到，结合余弦定理可得，即可判断C；将化为，结合，可判断a,b的大小关系，判断A,B;将化为角的关系，结合可得，从而可判断A的范围，判断D.【详解】由正弦定理得，故，所以，即，所以C正确；又，故，所以，A正确，错误；由得：，所以，即，又，所以，D正确，故选:ACD.13．2【分析】由题可得，进而可得，然后根据复数的概念即得.【详解】因为复数，，∴，因为为纯虚数，所以，此时，所以的虚部为2.故答案为：2.14．【分析】先在中利用正弦定理求出，再在中求解即可.【详解】在中，因为，，所以，又，所以，即，解得；在中，因为，，所以，即该宿舍楼的高度为米.故答案为：.15．【分析】先利用同角三角函数基本关系和角的范围求出，再利用半角公式和角的范围进行求解.【详解】因为为钝角，即，所以，又，所以故答案为：.16．

【分析】由数量积公式变形可得，结合函数的单调性即可得出的最小值，由，可得，解不等式即可得出的取值范围.【详解】因为，所以，即，所以，当时，取到最小值，所以.，所以，解得，又因为，所以，故，当时取“”.故答案为：；.17．(1)(2)【分析】（1）连接，由余弦定理求得，且，得到，在中，利用正弦定理，即可求得的长；（2）由（1）知，在中，利用正弦定理求得，得到，进而得到，即可求解.(1)解：如图所示，连接，在中，因为，由余弦定理，且，又由，所以，在中，由正弦定理，即，解得.(2)解：由（1）知，在中，由正弦定理，又由，所以，因为，所以，所以，所以.18．（1），；（2）.【解析】(1)以，为基底，进行向量加减运算，即得结果；(2)以，为基底，结合EF⊥EG进行数量积运算，再利用，得的关系式，即解得角A.【详解】（1）由平面向量的线性运算可知，.

（2）由题意，因为EF⊥EG，所以，解得，所以，则可化简上式为，解得，又，故.19．(1)(2)【分析】（1）表示出，因为，由复数的模长公式即可求出的值.（2）先求出的值，再求出的值，判断的范围，由正切值求出角的值.(1)根据题意，，因为，所以，即，即，解得.(2)因为，所以，所以，因为，所以，所以.20．(1)；(2)．【分析】(1)为外接圆半径，根据正弦定理即可求解；(2)根据三角形面积和面积公式可求，再结合余弦定理和AC＞AB即可求出AC、AB长度.设D是边的中点，连接，根据即可求解．(1)在中，为三角形外接圆半径，则由正弦定理得，，解得．(2)在中，由余弦定理得，，即，①由的面积为得，，∴，②联立①②及，解得．设D是边的中点，连接，∵是的外接圆圆心，∴．∴．21．(1)(2)若选①，三角形存在，面积为；若选②，三角形存在，面积为；若选③，三角形不存在，理由见解析【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得，由正弦型函数周期性可得结论；（2）利用，结合的范围，可求得；若选①，由三角形面积公式和可构造方程组求得，，从而利用两角和差公式求得；再利用正弦定理求得后，由得所求面积；若选②，设边的中点为，则，等式左右平方后，根据向量数量积的定义和运算律可求得，即边，由得所求面积；若选③，利用余弦定理可化简已知等式求得，由作圆法可验证得，知三角形不存在.(1)，的最小正周期.(2)由（1）得：，则，，，，解得：.若选条件①，，，，又，，又，，，，，由正弦定理得：，；若选条件②，设边的中点为，则，边上的中线长为，，即，，，即，又，，即，；若选条件③，，，即，又，，由知：，，，不存在.22．(1)证明见解析(2)①②存在，，【分析】（1）利用三角形的内角和定理和诱导公式将化为，再利用两角和差公式和二倍角公式进行化简，进而判定三角形的形状；（2）①设，利用正弦定理求出、，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；②假设存在实常数，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为进行求解.【详解】（1）证明：