资金等值计算

第四章资金时间价值及等值计算本章主要内容一、现金流量二、资金的时间价值三、利息与利率四、资金等值计算一、现金流量〔一〕现金流量的概念假设将某工程工程〔企业、地区、部门、国家〕作为一个系统，对该工程在整个寿命周期内所发生的费用和收益进行分析和计量。在某一时间点上，将流出系统的实际支出〔费用〕称为现金流出，而将流入系统的实际收入〔收益〕称为现金流入，并把现金流入与现金流出的差额称为净现金流量。现金流入、现金流出和净现金流量统称为现金流量。〔二〕现金流量图的绘制把一个工程在整个工程周期内发生的现金流量，绘制在时间数轴上，就是现金流量图。现金流量图是反映工程工程在整个寿命周期内，各年现金流入和现金流出的图解。现金流量图的具体画法如下：1．画一条带有时间坐标的水平线，表示一个工程工程，每一格代表一个时间单位〔一般为年〕，时间的推移从左向右。时间轴上的点称为时点，时点通常表示的是该年的年末，同时也是下一年的年初。2．画与带有时间坐标水平线相垂直的箭线，表示现金流量。其长短与收入或支出的数量根本成比例。箭头表示现金流动的方向，箭头向上表示现金流入，箭头向下表示现金流出。为了简化计算，一般假设投资在年初发生，其他经营费用或收益均在年末发生。例：某工程工程预计初始投资1000万元，第3年开始投产后每年销售收入抵销经营本钱后为300万元，第5年追加投资500万元，当年见效且每年销售收入抵销经营本钱后为750万元，该工程的经济寿命约为10年，残值为100万元，试绘制该工程的现金流量图。解：由题意可知，该工程整个寿命周期为10年。初始投资1000万元发生在第一年的年初，第5年追加投资500万元〔发生在年初〕；其他费用或收益均发生在年末，其现金流量如图2－1所示。

图4-1现金流量图

二、资金的时间价值在不同的时间付出或得到同样数额的资金在价值上是不等的。资金的价值会随着时间而发生变化。不同时间发生的等额资金在价值上的差异称为资金的时间价值。一定量的货币资金在不同的时点上具有不同的价值，年初的1万元投入生产经营后，到年终其价值要高于1万元。【例】：甲企业购置一台设备，采用现付方式，其价格为40万元，如延期至5年后付款，那么价格为52万元，设企业5年存款年利率为10%，试问现付款同延期付款比较，哪个有利？假设该企业现在已筹集到40万元资金，暂不付款，存入银行，按单利计算，五年年末利率和=40×〔1+10%×5〕=60万元，同52万元比较，企业可得到8万元的利益。可见延期付款52万元比现付40万元更为有利，这就说明，今年年初的40万元5年后价值发生了增值，价值提高到60万元。货币如果作为贮藏手段保存起来，不管经多长时间仍为同等数量的货币，而不会发生数值的变化货币的作用表达在流通中，货币作为社会生产资金参与再生产的过程即会得到增值、带来利润货币的这种现象，一般称为资金的时间价值简单地说，“时间就是金钱〞，是指资金在生产经营及其循环、周转过程中，随着时间的变化而产生的增值我们可以从以下两个方面理解资金的时间价值：首先，资金在商品经济条件下，是不断运动着的。资金的运动伴随着生产和交换的进行，生产与交换活动会给投资者带来利润，表现为资金的增殖。资金增殖的实质是劳动者在生产过程种创造了剩余价值。从投资者的角度来看，资金的增殖特性使资金具有时间价值。其次，资金一旦用于投资，就不能用于现期消费。牺牲现期消费是为了能在将来得到更多的消费。从消费者的角度来看，资金的时间价值表达为对放弃现期消费的损失所应作的必要补偿。资金的时间价值与因通货膨胀而产生的货币贬值是性质不同的概念通货膨胀是指由于货币发行量超过商品流通实际需要量而引起的货币贬值和物价上涨现象货币的时间价值是客观存在的，是商品生产条件下的普遍规律，只要商品生产存在，资金就具有时间价值在现实经济活动中，资金的时间价值与通货膨胀因素往往是同时存在的既要重视资金的时间价值，又要充分考虑通货膨胀和风险价值的影响，以利于正确地投资决策、合理有效地使用资金资金时间价值的大小取决于多方面的因素。从投资角度来看，主要有：1、投资收益率，即单位投资所能取得的利益；2、通货膨胀因素，即对因货币贬值造成的损失所应作的补偿。3、风险因素，即对因风险的存在可能带来的损失所应作的补偿。在市场经济的条件下，资金增值有两种主要方式：将现有资金存入银行，可以取得利息将现有资金用于生产建设，可以取得利润二、利息与利率市场经济条件下，利率的作用影响社会投资的多少影响社会资金的供给量利率是调节经济政策的工具决定和影响利率水平的综合因素有：1、社会平均利润率；2、金融市场资金的供求情况；3、国家调节经济的需要；4、借贷时间的长短。〔一〕利息和利率本利和＝本金＋利息下标n表示计算利息的周期数。利率是在一个计息周期内所得的利息额与借贷金额〔即本金〕之比，一般以百分数表示。通常用i表示利率。〔二〕单利和复利利息的计算有单利计算和复利计算之分。1.单利法以本金为基数计算资金的时间价值(即利息)，不将利息计入本金，利息不再生息，所获得利息与时间成正比。单利计息时利息计算式为：n个计息周期后的本利和为：【例】：借款100元，借期3年，每年单利利率5%，第三年末应还本利假设干？解：三年的利息为：100×3×0.05=15元三年末共还本利为：100+15=115元由于单利没有反映资金周转的规律与扩大再生产的现实。在国外很少应用，一般仅用来与复利进行比照。2、复利法以本金和利息之和为基数计算利息，即“利滚利〞本金逐期计息，以前累计的利息也逐期加利复利计算的本利和公式为：复利计算比较符合资金在社会再生产过程中运动的实际情况，在技术经济分析中，一般采用复利计算。复利计算公式的推导：第1年末，F1＝P＋P×i＝P〔1＋i〕第2年末，F2＝F1＋F1×i＝P(1＋i)×(1＋i)＝P(1＋i)2第n年末，Fn＝P〔1＋i〕n－1×〔1＋i〕＝P〔1＋i〕n【例】：企业向银行贷款10万元进行技术改造，年利率5%，两年还清，按复利计算，两年末需向银行归还本利共多少？解：P=10i＝5％n＝2F=10×(1+0.05)2=11.025

3、名义利率与实际利率我们前面所讲的复利的计算期都是按年计算的，给定的利率也是年利率，但实际上复利的计息期不一定总是一年，有可能是一个月，一个季度或一天，当利息在一年内复利几次时，给出的年利率叫做名义利率。将计息周期实际发生的利率称为计息周期实际利率，计息周期的利率乘以每年计息周期数就得到名义利率。例如按月计息，月利率为1％，通常称为“年利率12％，每月计息一次〞。这里的年利率12％称为“名义利率〞。【例】：本金1000元，年利率12％，假设每年计息一次，一年后本利和为：F=1000×〔1＋0.12〕＝1120〔元〕按年利率12％，每月计息一次，一年后本利和为：F=1000×〔1＋0.12/12〕12＝1126.8〔元〕实际年利率i为：i＝〔1126.18－1000〕÷1000×100％＝12.68％【例】：本金1000元，投资5年，年利率8%，每年复利一次。本利和F=P×(1+i)n=1000×(1+8%)5=1469〔元〕5年的复利息=F－P=1469－1000=469〔元〕例2、上例如果每季复利一次，其他条件不变，那么，每季度利率=8%÷4=2%复利率次数=5×4=20F=P×(1+i)n=1000×(1+2%)20=1486〔元〕5年的复利息=1486－1000=486〔元〕可见，比一年复利一次的利息多486-469=17〔元〕即当一年复利几次时，实际得到的年利率要比名义上的年利率高。设名义利率为r，一年中计息次数为m，那么一个计息周期的利率为r/m，一年后本利和为F=P×(1+r/m)m按利率定义得年实际利率i为：i=(F–P)/P＝[P×(1+r/m)m－P]/P即：当m＝1时，r＝i；当m>1时，r<i;当m→∞，i＝er－1

将例2数据代入：i=〔1+8%/4〕4－1=8.27%＞8%按实际年利率计算的本利和：F=P×〔1+i〕n=1000×〔1+8.27%〕5=1486〔元〕三、资金等值计算〔一〕资金等值概念“等值〞是指在时间因素的作用下，在不同的时间点绝对值不等的资金可能具有相同的价值。在方案比较中，由于资金的时间价值作用，使得各方案在不同时间点上发生的现金流量无法直接比较，必须把在不同时间点上的现金按照某一利率折算至某一相同的时间点上，使之等值前方可比较。这种计算过程称为资金的等值计算把将来某一时点的资金金额换算称现在时点的等值金额称为“折现〞或“贴现〞。将来时点上的资金折现后的资金金额称为“现值〞。与现值等价的将来某时点的资金金额称为“终值〞或“将来值〞。“现值〞并非专指一笔资金“现在〞的价值，它是一个相对的概念，与基准年的选择有关。进行资金等值计算中使用的反映资金时间价值的参数叫折现率。例如，现在的100元在年利率为10％的条件下，与一年后的110元，虽然资金数额不相等，但其经济价值是相等的以借款还本付息为例：【例】某人现在借款1000元，在5年内以年利率6％还清全部本金和利息，有如表3－1中的四种归还方案。

计算公式符号说明：P——现值〔PresentValue〕，亦称本金，现值P是指相对

于基准点的资金值；F——终值〔FutureValue〕，即本利和，是指从基准点起第

n个计息周期末的资金值；A——等额年值〔AnnualValue〕，是指一段时间的每个计息周期末的一系列等额数值，也称为年等值；G——等差额，等差系列的相邻级差值〔GradientValue〕；i——计息周期折现率或利率〔InterestRate〕，常以％计；n——计息周期数〔NumberofPeriod〕，无特别说明，通

常以年数计。

〔二〕资金等值计算公式

按照现金流量序列的特点，我们可以将资金等值计算的公式分为：1、一次支付类型2、等额分付类型3、等差系列支付1、一次支付类型

一次支付又称整付，指现金流量无论是支出还是收入，均在某个时点上只发生一次。其典型现金流量如图3－3所示，需要注意的是，P发生在第一年年初，F发生在第n年年末。〔1〕一次支付终值公式第1年末，F1＝P＋P×i＝P〔1＋i〕第2年末，F2

＝F1＋F1×i＝P(1＋i)×(1＋i)＝P(1＋i)2第n年末，Fn＝P〔1＋i〕n－1×〔1＋i〕＝P〔1＋i〕n本金现值P，求n年后的终值F。这个问题相当于银行的“整存整取〞储蓄方式。(1＋i)n称为一次支付终值系数〔SinglePaymentFutureValveFactor〕，常以符号〔F／P，i，n〕表示。该公式的经济意义是：支出资金P，当利率为i时，在复利计算的条件下，求n期期末所取得的本利和。这个公式是资金等值计算公式中最根本的一个，所有其他公式都可以由此公式推导得到。于是，可以得到一次支付终值公式：【例】因工程需要向银行贷款1000万元，年利率为7％，5年后还清，试问到期应归还本利共多少？解：P＝1000万元，i＝0.07，n＝5年，由公式得：因此，5年后的本利和是1402.55万元。该公式的经济意义是：如果想在未来的第n期期末一次收入F数额的现金，在利率为i的复利计算条件下，求现在应一次支出本金P为多少。即n年后的终值，反求现值P。从现值的经济意义可知，一次支付现值公式是一次支付终值公式的逆运算，故有：〔2〕一次支付现值公式式中1／(1＋i)n称为一次支付现值系数〔SinglePaymentPresentValveFactor〕，常以符号〔P／F，i，n〕表示。此处i称为贴现率或折现率，这种把终值折算为现值的过程称为贴现或折现。【例】某人10年后需款20万元买房，假设按6％的年利率〔复利〕存款于银行，问现在应存钱多少才能得到这笔款数？解：F＝20万元，i＝0.06，n＝10年，由公式得:即：年利率为6％时，现在应存款11.168万元，10年后的本利和才能到达20万元。2、等额分付类型从第1年末至第n年末发生的连续且数额相等的现金流序列称为等额系列现金流，每年的金额均为A，称为等额年值，其支付方式那么称为等额屡次支付，其典型现金流量如图3－4所示。需要注意的是，P发生在第1年初〔即0点〕，F发生在第n年年末，而A发生在每一年的年末。该公式的经济意义是：对n期期末等额支付的现金流量A，在利率为i的复利计算条件下，求第n期期末的终值〔本利和〕F，也就是A、i、n求F。这个问题相当于银行的“零存整取〞储蓄方式。公式推导如下:由一次支付终值公式可知：

〔1〕等额分付终值公式利用等比级数求和公式，可得：称为等额分付终值系数〔UniformSeriesFutureValveFactor〕，常以符号〔F／A，i，n〕表示。【例】某防洪工程建设期为6年，假设每年年末向银行贷款3000万元作为投资，年利率i＝7％时，到第6年末欠银行本利和为多少？解：A＝3000万元，i＝0.07，n＝6年，求F。由公式得:因此，到第6年末欠款总额为21460万元；其中，利息总额为：21460－3000×6＝3460万元〔利息为贷款资金的19.2％〕〔2〕等额分付偿债基金公式

可见，等额分付偿债基金公式是等额分付终值公式的逆运算，因此可由该公式直接导出，等额分付偿债基金公式为：等额分付偿债基金公式的经济意义是：当利率为i时，在复利计算的条件下，如果需在n期期末能一次收入F数额的现金，那么在这n期内连续每期期末需等额支付A为多少，也就是F、i、n求A。称为等额分付偿债基金系数〔SinkingFundDepositFactor〕，常以符号〔A／F，i，n〕表示。【例】某厂欲积累一笔复利基金，用于3年后建造职工俱乐部。此项投资总额为200万元，银行利率12％，问每年末至少要存款多少？解：F＝200万元，i＝0.12，n＝3年，求A。由公式得:

=200×0.29635＝59.27〔万元〕【例】某学生在大学四年学习期间，每年年初从银行借款2000元用以支付学费，假设按年利率6％计复利，第四年末一次归还全部本息需要多少钱？F=2000×〔F/A,0.06,4〕×〔1+0.06〕=2000×4.375×1.06=9275〔元〕

(3)等额分付现值公式

由等额分付终值公式和一次支付终值公式联立消去F，于是得到：等额分付现值公式的经济意义是：在利率为i，复利计息的条件下，求n期内每期期末发生的等额支付现金A的现值P，即A、i、n求P。称为等额分付现值系数〔UniformSeriesPresentValueFactor〕，常用符号〔P／A，i，n〕表示。【例】假设有一新建水电站投入运行后，每年出售产品电能可获得效益1.2亿元，当水电站运行50年时，采用折现率i＝7％，其总效益的现值为多少？解：A＝1.2亿元〔假定发生在年末〕，i＝0.07，n＝50年，求P。由公式得：即：50年的总效益现值是16.561亿元。如不考虑时间因素，那么50年的总效益为1.2×50＝60亿元。可见，不考虑资金的时间价值与考虑时间价值的差异很大。【例】某防洪工程从2001年起兴建，2002年底竣工投入使用，2003年起连续运行10年，到2012年平均每年可获效益800万元。按i＝5％计算，问将全部效益折算到兴建年〔2001年年初〕的现值为多少？解：现金流量图如下：A＝800万元，i＝5％，n1＝10年。首先根据等额系列现值公式，将2003～2012年的系列年等值折算到2003年初〔即2002年末〕，得到现值P'：再根据一次支付现值公式，将P'折算到2003年初〔2002年末〕，得到P：所以，全部效益折算到2001年年初的现值为5603.07万元。〔4〕等额分付资金回收公式由其意义可知，资金回收公式是等额系列现值公式的逆运算，于是有：资金回收公式的经济意义是：当利率为i时，在复利计算的条件下，如果现在借出一笔现值为P的资金，那么在今后n期内连续每期期末需等额回收多少本息A，才能保证期满后回收全部本金和利息。也就是P、i、n求A。称为等额分付资金回收系数〔CapitalRecoveryFactor〕，常以〔A／P，i，n〕表示。这是一个重要的系数，对应于工程的单位投资，在工程寿命期内每年至少应该回收的金额。资本回收系数与偿债基金系数之间存在如下关系：〔A/P,i,n〕=(A/F,i,n)+i【例】某人向银行贷款20万元用于购房，合同约定以后每月等额归还，期限为20年，贷款年利率为5.04%。请问每月应归还多少？到期后合计归还数是多少？解：贷款〔本金〕P＝200000元年利率为5.04%，即月利率i＝0.0504/12＝0.0042归还期为20年，即240个月由公式得：到期后合计归还金额为：所以，每月应等额归还银行1324.33元；20年后合计归还金额为546867.46元。3、等差系列类型设有一系列等差现金流0，G，2G，…，〔n－1〕G分别于第1，2，3，…，n年年末发生，求该等差系列在第n年年末的终值F、在第1年年初的现值P，以及相当于等额屡次支付类型的年等值A，假设年利率为i。等差系列类型的典型现金流量如图3－6所示。一般规定，P发生在第一年年初，F发生在第n年年末，而G发生在每一年的年末。需要注意的是，这个等差系列是从0开始的，第n年的现金流量为〔n－1〕G。〔1〕等差系列终值公式〔G求F〕由图3－6可知，该等差序列的终值可以看作是假设干不同年数而同时到期的资金总额，那么第n年年末的终值F可以用下式计算：称为等差序列终值系数，常以符号〔F／G，i，n〕表示。〔2〕等差系列现值公式〔G求P〕将一次支付终值公式代入等差系列终值公式消去F可得：称为等差序列现值系数，常以符号〔