西南财经大学期权期货及其他衍生品第5章

第5章利率利率的种类国债利率(Treasuryrates)bill,Note,bond银行间同业拆借利率(LIBORrates)回购利率(Reporates)

利率的测量方式（1）按时间频率复利(compoundingfrequency)：比如按季度复利或按年份复利（2）连续复利(continuouscompounding)连续复利随着利率复利频率的增加，达到极限的时候就形成了连续复利的利率一个$100的投资，按连续复利形式的收益率R计算，在T时增加到$一个$100的T时收益，按连续复利形式的贴现率R计算，在0时将折现为$转换公式假定：Rc是连续复利计算的利率Rm是每年复利m次的年利率如何进行两种复利频率不一样的利率之间转换呢？零息票债券收益率(ZeroRates\Spotrate，即期利率)零息票债券(Zerocouponbond)：债券存续过程中无利息收益，只有在最终时间点T时才获得现金流的债券。零息债券收益率：各到期期限的零息债券所隐含的利率。附息债券的定价为了对债券的现金流进行定价，需要对每个现金流按相应的零息票利率进行贴现。以上面的表格为例，一种两年期限的债券每半年计算的年利率是6%，支付的利息是3，本金100在最后一期支付，则其理论价格是？附息债券收益率(BondYield)债券收益率：债券现金流贴现成现值，并使现值等于债券市场价格的贴现率。假定上面的债券市场理论价格等于98.39按连续复利计算的债券收益率是通过解下式获得的

通过试错法或者牛顿法得y=0.0676或6.76%.平价收益利率(ParYield)对于一定到期期限的债券，平价收益利率就是促使债券价格等于其面值(parvalueorprincipalvalue)的利息率以上面的例子，它就是零息票债券收益率曲线的确定现实中，有一些零息债券由经纪公司发行(strip)，这些债券的收益率就是零息票债券收益率。如：02进出04，01进出02，12贴现国债02由于实际当中能够观察到的通常是附息票债券的价格，所以，一个重要的问题是如何根据附息债券的价格来计算得出零息票债券收益率曲线通常用所谓“捆鞋带法”(bootstrap)来解决这一问题。这种方法把每一个息票支付看作一个独立的“微小”的零息票债券，这样,附息债券就变成许多零息票债券的组合。考虑下表中6种债券价格的数据(假设所有附息债券都是半年付息)。贴现债券？债券面值($)到期日(年)息票利率(%)债券价格($)1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.61002.751099.8对于前面3种债券，分别有由此得

y0.25=10.12%y0.5=10.47%y1.0=10.54%对于第4种债券，将其看作由3张零息票债券组成：1张6个月期面值4元、1张1年期面值4元、1张1.5年期面值104元。所以有

由此得y1.5=10.68%类似地，对于第5种债券，有由此得

y2.0=10.81%为了求出y2.75

，必须先求出y0.75、y1.25、y1.75和y2.25

。利用线性插值法，求出这三个零息票收益率分别为10.505%、10.61%和10.745%。同样，利用线性插值法，有将第6种债券看作由6张零息票债券组成，有这是一个关于y2.75的方程。利用试错法或诸如牛顿法的数值方法可以解得y2.75=10.87%。至此，根据y0.25，y0.5，y1.0，y1.5，y2.0和y2.75的数据，可以构造出一条零息票收益率曲线。捆鞋带法计算的零息票债券收益率曲线

ZeroRate(%)Maturity(yrs)10.12710.46910.53610.68110.808即期利率和远期利率

即期利率(spotrate)定义为从今天开始计算并持续n年期限的投资的到期收益率。这里所考虑的投资是中间没有支付的，所以n年即期利率实际上就是指n年期零息票收益率(zero-rate)。远期利率(forwardrate)是由当前即期利率隐含的将来某一时期的短期利率。

令y1、y2、y3和y4分别为1年期、2年期、3年期和4年期即期利率，由当前的相应期限的即期利率隐含决定了与这些点利率相对应的远期利率f1、f2、f3和f4

(假设以上的利率都是连续复利)：

……显然，远期利率的计算

n-yearForwardRate

zeroratefornthYearYear(n)(%perannum)(%perannum)13.024.05.034.65.845.06.255.36.5远期利率的计算公式在未来时间区间T1

和T2

的远期利率是则T时刻的瞬时远期利率等于其中，?如何锁定远期利率呢？假定借贷的零息票率是一样的。一个投资者以3%的年利率借入$100一年,并同时把这些钱以4%的利率投资二年。问：远期利率是多少？如果，一个投资者认为未来第一年结束时市场的利率将不同于今天计算的远期利率，他会怎么办？

远期利率协议

远期利率协议(forwardrateagreement,FRA)是一个远期合约，参与者约定在未来某个时期将某个确定的利率应用于某个确定的本金。多头方承诺向空头方提供贷款，空头方承诺向多头方借款，借贷的对象是一笔以特定币种表示的特定金额的本金，借贷的利率在协议中约定，贷款有特定的期限并且在未来某一双方约定的日期开始执行。但实际上FRA通常是在约定的未来某个时期的开始时刻用现金来结算的。

T0T1T2交割X:Y:X:贷款者Y:借款者T2时的现金流走向协议的价值公式假定：第一个FRA可以保证收到以LIBOR远期利率RK

和本金L计算的

T1和T2时间区间内的利息收益。第二个FRA保证收到以LIBOR远期利率Rf

和本金L计算的

T1和T2时间区间内的利息收益。从而，对于贷款者的协议价值就是其中，R2

是T2期的连续时间复利。例给定以上表中的伦敦银行间同业拆借利率(LIBOR)和远期利率。一份远期利率协议规定持有方将以1亿的本金按6%的年频率复利在第一年底和第二年底之间计算所获得的利息。远期利率是5%的连续复利或者5.127%的年复利。这份远期利率协议的现值是多少？久期是债券持有者获得第一次现金流的平均等待时间。假定一种债券在时间点ti支付现金流ci

，则久期等于

其中

B是债券价格，而y

是债券收益率(两者都是连续复利)从而可得 久期(Duration)Time(years)CashflowPresentvalueWeightTime*Weight0.554.7090.0500.0251.054.4350.0470.0471.554.1760.0440.0662.053.9330.0420.0832.553.7040.0390.0983.010573.2560.7782.333Total:13094.2131.0002.653如何计算久期？修正后的久期当债券收益率y

每年复利m

次，则从而久期变为

YX两个具有相同久期的投资组合债券价格的凸性

为什么零息债券收益率曲线是上升的呢？期限结构(Termstructure)理论

(1)预期理论(expectationtheory)该理论认为，远期利率等于市场整体对未来相应期间的短期利率的预期。也就是说，它认为，T1和T2期间的远期利率等于市场整体所预期的T1和T2期间的利率。(2)市场分割理论(marketsegregation)(3)流动性偏好理论(liquiditypreference)该理论认为，远期利率等于市场整体对未来点利率的预期加上一个流动性溢价(liquiditypremium)。之所以如此，是因为市场通常由短期投资者控制，对于这类投资者而言，除非远期利率相对于他们所预期的未来点利率有一个溢价，否则他们不愿意持有长期债券。流动性偏好理论

LiquidityPreferenceTheory假定债券收益率曲线是平的如果你是存款者，你会选择哪个存期?如果你是借款者