重庆缙云教育联盟2024届高三高考第一次诊断性检测一模数学试卷及答案

数学答案第数学答案第页2024CEE-01数学重庆缙云教育联盟2024年高考第一次诊断性检测数学试卷考生须知：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．，则的共轭复数等于（

）A． B． C． D．3．已知函数满足：，，成立，且，则（

）A． B． C． D．4．已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列说法正确的是（

）A．则 B．则C．则 D．则5．已知，，则（

）A． B． C． D．6．已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（

）A．0 B．3 C．6 D．127．已知，，，，，则的最大值为（

）A． B．4 C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，少选择1个正确选项得3分，少选择2个正确选项得1分，否则得0分。8．已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．E．a9．已知为坐标原点，抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两个不同的点，为线段AB的中点，则（

）A．若，则到准线距离的最小值为3B．若，且，则到准线的距离为C．若，且，则到准线的距离为72D．若AB过焦点，，为直线AB左侧抛物线上一点，则△ABC面积的最大值为E．若，则到直线AB距离的最大值为410．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（

）A．函数为偶函数B．函数的值域是C．对于任意的，都有D．在图象上不存在不同的三个点，使得△ABC为等边三角形E．在图象存在不同的三个点，使得△ABC为等边三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11．已知为圆：上一点，则的取值范围是.12．已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为．13．椭圆上的点P到直线的最大距离是；距离最大时点P坐标为.14．我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是.四、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（10分）记△ABC的内角的对边分别为.已知．(1)求；(2)若为的中点，且，求．16．（10分）已知正项数列的前n项和为，且．(1)求证：(2)在与间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．17．（15分）已知函数（a为常数）.(1)求函数的单调区间；(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.(3)若有两个零点，，证明：.18．（15分）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，设的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)已知点，，，在上，且直线与相交于点，记，的斜率分别为，．(i)设的中点为，的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，；(ii)若，当最大时，求四边形的面积．19．（15分）某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.(1)为评估设备对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系，现取了8对观测值，求与的线性回归方程.(2)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.(3)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望.附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；②参考数据：，，，.20．（15分）本题分为Ⅰ、Ⅱ两部分，考生选其中一部分作答.若多选，则按照第Ⅰ部分积分.Ⅰ.把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的动点，为上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）．(1)求证：当为的中点时，平面(2)若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的取值范围．(3)求三棱锥的体积的最大值．Ⅱ.如图1，已知，，，，，.(1)求将六边形绕轴旋转半周（等同于四边形绕轴旋转一周）所围成的几何体的体积；(2)将平面绕旋转到平面，使得平面平面，求异面直线与所成的角；(3)某“”可以近似看成，将图1中的线段、改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积.2024CEE-01数学重庆缙云教育联盟2024年高考第一次诊断性检测数学参考答案一、选择题1．A 2．D 3．C 4．C5．A 6．C 7．A二、多项选择题8．BCD 9．ACDE 10．ACE三、填空题11． 12．13． 14．四、解答题15．解：（1）由余弦定理形式和，因此．又，即，由正弦定理得：，整理得：，．，，，．（2）由，得，得．在△ACD中，由余弦定理得，为的中点，，即，（其中），．由正弦定理得，，，即．，由，可得；，．16．解：（1）因为，，所以即，①当时，②②①得：即，当时，，所以，所以是以2为首项，为公比的等比数列，所以，又因为，所以当时，；当时，，综上所述：.（2）因为，，由题意知：，所以，假设在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则，即化简得：，又因为m，k，p成等差数列，所以，所以即，又，所以即，所以，这与题设矛盾.所以在数列中不存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.17．解：（1）由，得函数的定义域为，又，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得；令，得；所以，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）由，得，故欲证，只需证：，即证，又，，，不妨设，，等价于，令（），等价于（），，所以在单调递增，而，所以，当时，恒成立.所以，所以.（3）函数有两个零点，，所以，，不妨设，，即，要证：，需证：只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，令，只需证：，令，，所以在上单调递减，所以，即，故.也可由对数均值不等式（），即，令（），则，即，所以.18．解：（1）由题意得，易知，

由椭圆定义可知，动点在以，为焦点，且长轴长为的椭圆上，又不能在直线上，∴的方程为：．（2）（2）(i)（法一）设，，，易知直线的方程为，联立，得，∴，∴，，即，同理可得，，∴，欲使，则，即，∴，∴存在唯一常数，使得当时，．（法二）设，，，易知的斜率不为零，否则与重合，欲使，则将在轴上，又为的中点，则轴，这与过矛盾，故，同理有，则，可得，易知，，且，，∴，即，同理可得，，欲使，则，∴，∴，∴存在唯一常数，使得当时，．(ii)由(i)易知，且，∴，即，同理可得，，∵，∴，记，∴，当且仅当，即时取等，由椭圆的对称性，不妨设此时，，且直线和的夹角为，则，不难求得，此时，易知，且，∴四边形的面积为．19．解：（1），，，，，，所以与的线性回归方程为；（2），，，，，，，，，设备M的性能等级为丙级.（3）样本中直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件，所以样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.由题意可知从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为Y1，则，于是；从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y2，由题意可知Y2的分布列为：Y2012P故.则次品总数Y的数学期望.20.Ⅰ.解：（1）由题设，长轴长，短轴长，则，所以分别是中点，而柱体中为矩形，连接，由，故四边形为平行四边形，则，当为的中点时，则，故，面，面，故平面.（2）由题设，令，则，又，所以，，则，所以，根据椭圆性质知，故.（3）由，要使三棱锥的体积最大，只需面积和到面距离之和都最大，，令且，则，所以，显然时，有最大；构建如上图直角坐标系且，椭圆方程为，设，联立椭圆得，且，所以，，而，所以，令，则，由对勾函数性质知在上递增，故；综上，.Ⅱ.解：（1）和绕轴旋转半周所围成的几何体可以得到两个底面半径为1，高为2的圆锥，体积之和为；正方形绕轴旋转半周所围成的几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱，体积为.所以，总的体积.（2）如图3，取中点为，连接，则.因为，中点为，所以.又平面平面，平面平面，所以，平面，即平面.以点为坐标原点，如图3建立空间直角坐标系，由已知可得，，，，所以，，，，，，所以，，，所以，，所以，异面直线与所成的角的余弦值为，所以，.（3）由已知可得，圆心为点，则半径.六边形绕轴旋转半周所围成的几何体的体积，等于直角梯形绕直角边所在的直线旋转一周得到的几何体体积的2倍.直角梯形绕直角边所在的直线旋转一周得到的几何体，为一个上、下底面半径分别为1、3，高为1的圆台，体积；剩下的两部分为全等的弓形，先研究弓形绕轴旋转半周，得到的几何体为球缺.现在用祖暅原理来求解该球缺的体积，如图5，半球的半径和圆柱的底面半径均为，且圆柱的高，且，在半球中，高度为，且平行于底面的截面圆的半径，面积为.在圆柱中