卷03（天津卷）-2021届高考数学冲刺模拟测试卷（解析版）

卷03(天津卷数学)-2021届高考数学冲刺模拟测试卷

第I卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

•如果事件A与事件B互斥，那么P(A3)=P(A)+P(8).

•如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(8).

•球的表面积公式5=4»A?,其中R表示球的半径.

1.己知全集。={—1,0,1,2,3},集合4={0,1,2},8={—1,0,1},则&力八3=()

A.{-1}B.{0,1}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

【答案】A

【分析】

本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】

C"={-1,3},则(QA)B={-1)

故选：A

【点睛】

易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2.设x,yeR,贝!|“x>y”是“Inx>Iny”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】

由对数函数的单调性，可得x>y>0,进而可得充分性和必要性.

【详解】

解：lnx〉lnyox〉y>0,

则“x>y”是Tnx>lny”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查充分性和必要性的判断，考查对数函数单调性的应用，是基础题.

3.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为

[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数

是()

A.45B.5()C.55D.60

【答案】B

【解析】

根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，

2

在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005,0.01,每组数据的组距为20,

则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)x20=0.3.

又因为低于60分的人数是15人，

所以该班的学生人数是15+0.3=50.

本题选择B选项.

4.已知定义在R上的函数f(x-l)的图象关于x=l对称，且当x>()时，f(x)单调

递减，若a=f(k)gos3),b=f(0.5-'3),c=f(0.76),则a,b,c的大小关系是(

)

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

【答案】A

【分析】

先根据对称性将自变量转化到了>0上，再根据尤>0时/(X)单调递减，判断大小.

【详解】

•••定义在R上的函数/(x—l)的图像关于x=l对称，...函数4％)为偶函数，

lo3<1

go.5^gos=0,/(log053)=/(log23),,1=log22<log23<log24=2,

0.5-6=26>2，0<0.76<l.:当x>0时，/(x)单调递减，c>a>从故选

A.

【点睛】

比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整

到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小

5.三棱锥的棱长均为4伤，顶点在同一球面上，则该球的表面积为()

A.367rB.727rC.1447rD.2887r

【答案】C

【解析】试题分析：因为三棱锥的棱长均为4在，所以该三棱锥为正四面体，其外接球

的半径R=渔x4>后=6,所以其外接球的表面积为S=4n/?2=4兀x6?=144兀，故选

4

C.

考点：1.正多面体的外接球与内切球；2.球的表面积与体积.

【名师点睛】本题考查正多面体的外接球与内切球、球的表面积与体积，属中档题；与

球有关的组合体的类型及解法有：1.球与旋转体的组合通常通过作出它们的轴截面解题;

2.球与多面体的组合，通常通过多面体的一条侧棱和不球心，或切点、接点作出轴截面，

把空间问题转化为平面问题.

22

6.已知双曲线二一4=l(a>A>0)的右焦点为尸，虚轴的上端点为B,P为左支上

a~b~

的一个动点，若4PBF周长的最小值等于实轴长的3倍,则该双曲线的离心率为()

A.叵B.叵C.V10D.V2

25

【答案】A

【分析】

先通过分析得到当且仅当BP,共线，?即周长取得最小值，且为

2a+2\lb2+c2,可得6a=2。+2”?+c2,解方程即得解•

【详解】

由题意可得8(0,b),F(c,0),

设尸'(-c,0),由双曲线的定义可得|班卜|尸「|=勿，|尸尸|=|PF|+2a,

\BF\=\BF'\=y/b2+c2,则BPF的周长为

归用+|尸盟+忸耳|=仍四+忸0|+勿+|所,但2忸?|+2均当且仅当5,P,尸'共

线，取得最小值，且为2a+2庐Z7,

4

由题意可得6a=2a+2启+c?,即+c2=2c2_,即5a2=2c，2；

【点睛】

本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学

生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

7.已知a>（）,h>0,并且,，‘成等差数列，则a+9b的最小值为（）

a2b

A.16B.9C.5D.4

【答案】A

【分析】

根据题意，由等差中项的定义分析可得，+:=l,进而分析可得a+9b=（a+汕）（,+!）

abab

9ba

=10+吆+3,由基本不等式的性质分析可得答案.

ab

【详解】

解：根据题意，a>0,b>0,且,，L,1■成等差数列，

a2b

111

i--

q82

则a+96=(a+96)(-+-)=10+—+->10+2/—x-=16；

ahab\ab

9bu4

当且仅当一=即a=4,b=一时取至ij等号,

ab3

的最小值为16；

故选A.

【点睛】

本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，关键是分析得到'+'=

ab

1.

8.设〃?，〃是两条不同的直线，明仅是两个不同的平面，则下列命题正确的是()

A.若m//a,nl/a,则B.若a//月，mua,nu0,则加〃〃

C.若a(3=m,nua,n±m,则〃J_/D.若加_La,mJIn,nu/3,则

【答案】D

【分析】

根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可

找出正确选项.

【详解】

选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；

选项8错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；

选项C错误，•个平面内垂直于两平面交线的直线，不•定和另一平面垂直，可能斜交：

选项。正确，由m_La，/〃〃〃便得“_1_。，又nu(3、：./3工a,即。1■4.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简

单证明，

属于基础题.

6

2X-X2,X>0

9.己知函数〃x)=<1，若函数且(无)=|/(刈-％+6恰有三个零点，则

一,x<0

IX

实数加的取值范围是()

A.(-oo,-2)(2,+co)

一B.

5,2)[0,+oo)

C.-2--[0,+oo)D.

，4

【答案】A

【分析】

转化为y=|/(x)|与函数y=的图象恰有三个交点，再利用图象可得结果.

【详解】

因为函数g(x)=|/(x)卜x+加恰有三个零点，所以方程V(x)|=x-m恰有三个实根,

所以y=|/(x)|与函数y=x一加的图象恰有♦个交点,

作出函数y=|/(x)|的图象，如图：

当直线y=x一帆与y=」-(x<0)相切时，

-X

x—m——,即X?—〃zx+i=。只有一个根，所以

x

△=-4=0，得〃，=—2或加=2(舍去)，

此时两个函数的图象有2个交点，

当直线y=X一机与y=2x—/相切时，

x—m=2x—x2>即x?—x—0只有一个实根，所以/=1+4m=0,得利=—1,

4

此时两个函数的图象有2各交点，

当直线丁=为一机经过原点时，m=Q,此时两个函数的图象有3个交点,

观察图象可知，一一〈加40或机＜一2.

4

故选:A.

【点睛】

本题考查了函数的零点，考查了数形结合思想，考查了函数图象的应用，属于中档题.

第n卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1

个的给3分，全部答对的给5分.

10.(3X2--'尸］的展开式中x3的系数为一.(用数字作答)

IXy/x)

【答案】270

【解析】

【分析】

先根据二项式展开式通项公式求V的项数，再代入得结果.

【详解】

因为刀,1=禺(3%2)5-，(一丈)，=仁(3)5-「(—1)4'"下，所以由10一2=3得==2-

因此的系数为C；⑶5-2(-1)2=27().

【点睛】

本题考查二项式展开式求特定项系数，考查基本求解能力，属基础题.

11.现有A，8两队参加关于“十九大''知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题,

2

答对者为本队赢1分，答错得。分；A队中每人答对的概率均为3队中3人答对

221

的概率分别为一，一，一，且各答题人答题正确与否之间互不影响，若事件”表示“A

333

队得2分”，事件N表示“3队得1分“，则P（MN）=.

4

【答案】—

27

【分析】

事件"为A队三人有一人答错，其余两人答对，计算其概率P（M）,事件N为3队

三人2人答错，其余一人答对，计算其概率P（N）,再根据独立事件同时发生的概率公

式求出「（MN）.

【详解】

A队总得分为2分，即事件〃为A队三人有一人答错，其余两人答对,

其概率P（M）=C；x1|11—|4

9

“8队得1分，即事件N即为8队三人2人答错，其余一人答对,

则

A队得2分B队得一分，即事件同时发生，则

414

P（MN）=P（M）P（N）=-x-=—.

4

故答案为：—.

27

【点睛】

本题考查了独立事件同时发生的概率计算，还考查了学生的分析理解能力，运算能力,

属于中档题.

12.在平行四边形ABC。中，已知A8=2，AD=1.ABAD=60°，若CE=ED，

DF=2FB，则.

【答案】-

2

【分析】

判断可知，E为8上二等分点，尸为30上靠近5的三等分点，结合向量线性运算

UUUUUU

的加法与减法公式，将斜向量4旦A厂分别代换为以AB,AO为基底的向量，再结合向

量的数量积运算即可求解

【详解】

由题意，如图所示，

设==则|a|=2,|/?|=l，

又由CE=ED，DF=2FB，所以E为CD的中点，F为8。的三等分点,

1?21

则力七=4。+。E=6+万。，AF^AD+DF^b+-(a-h)=-a+-b,

所以4石.4/=\—a+h\\—a=—a2+—a-h+—h2

(2J\33J363

=-x22+—xlx2cos60+-xl2=—.

3632

故答案为：一.

2

【点睛】

10

本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性

运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键,

着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

13.圆/+丁=2与圆％2+,2-4》+4)，—4=0的公共弦长为.

而

【答案】

2

【分析】

两圆方程相减得公共弦据直线方程，然后求出一个圆心到该直线距离，由勾股定理得弦

长.

【详解】

两圆方程相减得4x—4y+2=0,即2x-2y+l=0,

|1|V2

原点到此直线距离为d=圆f+丁=2半径为

6+(-2尸V

.故答案为：叵.

所以所求公共弦长为2』(夜＞-

2

【点睛】

本题考查两圆公共弦长，解题关键是求出公共弦所在直线方程.

14.已知抛物线的焦点为点P(l,r)在抛物线上，则点/＞、尸的距离为

【答案】1

【分析】

根据焦点可得抛物线的标准方程，将点P(1J)代入可求出人再利用焦半径公式即可求

解.

【详解】

抛物线的焦点为尸则抛物线的标准方程为：/=—2y,

因为点尸(U)在抛物线上，所以1=—2/,解得/=—,，

2

所以|「产|=-g+5=g+g=L

故答案为：1

【点睛】

本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，需熟记抛物线的标准方程的四种形式，焦

半径公式，属于基础题.

15.曲线丁=产-，在点(1,/(1))处的切线的斜率为,在该点处的切线方程为

【答案】e+1y=(e+l)x-2

【分析】

求出函数的导数，代入x=l,得到切线的斜率，x=l代入函数解析式可得切点，点斜

式即可得出结果.

【详解】

曲线y=可得y=eX+'7，

XX

所以曲线y=e'在点(l,f(1))处的切线的斜率为：/(I)=e+1.

因为/6=即切点为(1,e-1),所以在切点处的切线方程为：

(e—1)=(e+l)(x—1),RPy=(e+l)x-2

12

故答案为：e+1；y=(e+l)x-2.

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法及切点处的切线方程，考查计算能力,

属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分14分)

在A4BC中，内角A、B、C的对边分别为。，b,c,

>/2cosC(acosB+bcosA)+c=0.

(1)求角。的大小；

(2)若a=6，b=2.求：

(i)边长c；

(ii)sin(28-C)的值.

【答案】(1)C=—；(2)(i)c=VlO;(ii)sin(2B-C)=--.

410

【分析】

(l)利用正弦定理化筒已知条件，求得cos。的值，由此求得角C的大小.

(2)(i)已知两边和夹角，用余弦定理求得边c；

(ii)由两角差的正弦公式求得sin(2B-C)的值.

【详解】

解：(1)由已知及正弦定理得'伤cosC(sinAcosB+sinBcosA)+sinC=0

「•y/2cosCsinC+sinC=0，「•cosC=~~~，

0<C<^»•0-C=—

4

(2)(i)因为。=y/2,b=2,C——,

4

22

由余弦定理得/=«+/?-2^COSC=2+4-2X>/2X2X(-^-)=10,Ac=V10

(ii)由/^=/-nsin6=@，因为3为锐角，所以8$8=矩

sinCsinB55

22

sin28=2x—=—»cos2B=cosB-sinB=—f

5555

A历0行7s

sin(2B-C)=sin28cosC-cos2BsinC=—x(--—)-^x=———

【点睛】

本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式,

二倍角公式以及两角差的正弦公式.

17.(本小题满分15分)

四棱锥产一A3CD中，B4_L平面ABCD，四边形ABCD是矩形，且/%=AB=2,

A£>=3,E是线段5C上的动点，F是线段PE的中点.

(1)求证：平面ADE；

(2)若直线OE与平面AZ序所成角为30，

①求线段CE的长；

②求二面角P—EZ)—A的余弦值.

14

【答案】（I）证明见解析；（2）①2②士叵

17

【分析】

（I）以点A为原点，A8为了轴，AO为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

利用数量积证出依，4），PBLAF，再利用线面垂直的判定定理即可证出.

（2）①求出平面尸的一个法向量，利用cosgDE）=|।।।=即可求线段

CE的长；②求出平面阻＞的一个法向量，再根据AP=（0,0,2）为平面ADE的一个

法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

【详解】

（1）依题意，以点A为原点，A3为x轴，AD为＞轴，AP为z轴，

可得A(0,0,0),5(2,0,0),C(2,3,0),。(0,3,0),

E(2,w,0)(0<w<3),F(l,-,1),P(0,0,2).

2

m

PB=(2,0,-2),AD=(0,3,0),AF=(l,-,l),

PBAD=0,PBAF=0，.

即P8_L/W，PB±AF'AFAD=A,.

所以依，平面

(2)①设〃=(x,y,z)为平面4DF的法向量,

y=o

ADn=0

则《，即《m,

AFn=Qxd——y+z-0

2-

不妨令％=1,可得〃=(1,0,-1)为平面AZ"7的一个法向量,

DE=(2,m-3,Q)

于是有3〈/〃力nE后,上\n布-DE丁,i

1

1x2+0x(m-3)+0x(-1)=-

所以V1+0+1-J22+(m-3)2+02得〃2=1或m=5(舍).

£(2,1,0),C(2,3,0),线段CE的长为2；.

②设加=(x,y,z)为平面阻)的法向量，PE=(2,1,-2),PD=(0,3,-2)

PE-m-2x+y-2z=0

PD-m=03y—2z-0

不妨令y=2,可得加=(2,2,3)为平面PED的一个法向量，.

又AP=(0,0,2)为平面ADE的一个法向量，.

m-AP0+0+63>/17

所以cos(加"P

时.网-2后—17

【点睛】

本题考查了空间向量法求二面角、线面垂直的判定定理、根据线面角求长度，考查了运

算求解能力，属于中档题.

18.(本小题满分15分)

16

已知椭圆\+与=1（"＞人＞0）的离心率e=«2,且右焦点到直线x-y+2=0的距

ab~2

离为2起.

（I）求椭圆的方程；

（II）四边形ABC。的顶点在椭圆上，且对角线AC、8。过原点0,若

kAC-kBD=-^，证明：四边形ABC。的面积为定值•

a

22

【答案】（I）土+匕=1;（II）详见解析.

84

【分析】

（I）先根据题意求得c的值，再由离心率可求得。的值，进而可得出。的值，由此可

得出椭圆的方程；

（H）设直线A6的方程为了=区+优，设点A（%,y）、3（*2，%），将直线A8的方

b2

程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由女AC可得出疗=4二+2,再利用

CT

♦角形的面积公式化简计算得出四边形ABCD的面积为定值.

【详解】

（I）因为右焦点（c,0）到直线x-y+2=0的距离为d=W^l=2虚，解得c=2,

e=-=--a1-b1+C1a-2^2，b-2,

2a

22

因此，椭圆的方程为x二+2v-=1；

84

（II）设直线A5的方程为'="+，"，设点A（玉，yj、B（x2,y2）,

y=kx-¥m

联立《22,得左*玄+

xy（2+l）f+462m2-8=0,

下十不一

niI4km2"/—8

则玉+%=一丁FT，X,-X.=-----寸

1+2尸1-1+2%2

因为左心%>=_一得中2=-2%％，即%9=-2（依+m）（心+m），

a

所以,（2k2+1）芭%2+2奶2（玉+尤2）+2>=0,即4机2一8—丝4=0,解得

2*1

nr=4k2+2,

16公疗8.-4）_4，1+公

\AB\=Jl+FJ（X]+%2）-=J1+/•

（1+2如）2.1+2公一&+2父

原点到直线AB的距离为d=制=赳_2_k__2_+1

y/1+k2y/1+k2

2

lx4>/17FJ2（2Z:+1）

因为SAB。=4S.OB，且SA08=g|A@M==2夜‘

Jl+2公xJl+公

所以SABC。=420=80（定值）•

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中四边形面积的计算，考查了韦达定理设

而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.

19.（本小题满分15分）

已知等比数列｛。“｝的前〃项和为S,公比g>1,且。2+1为％，%的等差中项,$3=14.

（1）求数列｛%｝的通项公式

记“=，求数列出｝的前”项和

（2）anlog2anT”.

18

【答案】?；,=(〃—

(1)an=T(2)1)2"T+2

【分析】

(1)由s+1是"3的等差中项，可得2(/+1)=4+/=14—生，乂

4

解得