决战2021届高考数学全真模拟黄金卷08（理）（新课标Ⅰ卷解析版）

黄金卷08（新课标I卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知A={xeN|x-x2+220},8={1,2,3,45},则AUB=().

A、{-1,0,1,2}

B、{1,2}

C、{123,4,5}

D、{0,123,4,5}

【答案】D

【解析】A={xe^|x-x2+2>0}={xeA^|x2-x-2<0}={xe?/|(x-2)(x+l)<0}={0,l,2},

又3={123,4,5},AUB={0,1,234,5},故选D,

2.已知a+=-2+4(。、b&R),则复数z=野~从=()。

V5+21

A、—2+Vs/

B、-i

C、i

D、1

【答案】C

【解析】・・・。+/^=—2+6且a、beR,则。=—2,b=5

._-2+V5/_(-2+75/)(75-20_9i坨冲「

V5+2/(V5+20(V5-2z)9

【解析】函数的定义域为R,又〃-x）=-sm：+x=_/*）,则f（x）为奇函数，排除C、D,

「sinx—尤vO在工£（0,+8）上，恒成立，而>0在]£（0,+8）上恒成立,

・••当xf(T时，/(x)<0,故选B。

22

4.已知双曲线C：2r=l（a>0,8>0）的一个焦点坐标为（2,0）,且两条渐近线的夹角为色，则双曲

abL3

线。的标准方程为（）。

222

xyIT

A、-------=1或-%---V2=1i

333

22))

xy1—y一厂1

B、-----=1»K-------=1

3333

y2X22

C、-------=11或TX2---y-=11

333

22

D、与-丁=1或*4=]

【答案】D

【解析】两条渐近线的夹角为巴，=Q或2=正，又。=2,c2=a2+h2,

3aa3

a-1/222

解得4一L或.•.双曲线C的标准方程为小一匕=1或二_/=],故选D。

b=y/3b=133

5.如图所示，三棱锥O—A3C中，0（0,0,0）,A(4,0,2),5(0,4,4),C(0,0,3),则三棱锥O—ABC的正视

图与侧视图的面积之和为（）。

A、10

B、12

C、14

D、16

【答案】C

【解析】正视图面积为上x3x4=6,

2

侧视图面积为」x4x4=8,

2

则面积之和为14,故选C。

6.已知等差数列｛4｝的通项公式为=31-加（/wZ）,当且仅当〃=10时,数列｛%｝的前〃项和S〃最大,

则当&二—10时，k=（）o

A、20

B、21

C、22

D、23

【答案】A

【解析】由题意可知，解得卫</<卫，又fez,则f=3,...a“=31-3”,

%=31-11/<01110

.0_(59-3«>._(59-3母_⑺

••3”---------------------»••*j/.-----------------------——1U»

"22

即女2-59^-20=0,%=20或女=—4（舍），故选A。

3

7.某商业区要进行“5G”信号测试，该商业区的形状近似为正六边形ABCDM,某电讯公司在正六边形的

对角顶点A、。处各安装一个基站，达到信号强度要求的区城刚好是分别以A、。为圆心，正六边形的边

长为半径的两个扇形区域，未达到倍号强度要求的区域为“5G”信号盲区。若一游客在该商业区域内购物，

则他刚好在“5G”信号盲区内的概率约为（）。

BI扃

D>1-----

9

C、1一匝

18

D14后

27

【答案】D

【解析】如图，阴影部分为达到信号强度要求的区域,

设正六边形ABCDE尸的边长为a，

则Sp月影=2*券*/=与。2，

c_A12V3_3A/32

S正六边形48CDEF=6X]XqX—=,

则该游客刚好在“5G”信号盲区内的概率约为:

27r2

—"我一二1一T^=l-半，故选D。

1

S正六边形ABCDEf3A/30227

F

8.（x+l）・（f一x—2）3的展开式中，含"项的系数为（）o

A、—18

B、-12

C、-6

D、18

【答案】C

【解析】(X+1)•(X?—x—2)3—(x+1),(x—2)3•(X+1)3=(X+1)4,(x—2)^,

的通项公式的通项公式，3k

•••(x+1)4Tr+I=C；-/-，，(x—2)3+1=C”x--(-2)*,

(x+l).(x2-x-2)3的通项公式为C]x4-r-C*-x3-*•(-3)"=Cj--C*-出i.(-2/,

.•.令7-r-%=5，

可取r=0、&=2,此时系数为CHC1(—2)2=12,

r=1、k=l,此时系数为=-24,

r=2、k=0,此时系数为2)°=6,

(x+l>(x2—x—2)3的展开式中，含V项的系数为12-24+6=-6,故选C。

JT5

9.已知函数f(x)=cos@x+2)的图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为士，关于x的方程/(%-1)+

62

2a=0在xe[O,l]上有两个不同实根，则实数a的取值范围是()。

【答案】B

TT

【解析】・・・/(x)=cosgx+—)的最大值为1,最小值为一1,

6

其图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为9,

2

・,・+夕=',解得丁=3,.・・8=亨，・•・/(%)=COS今X+弓)

/./(x-l)=cos(^x--^)=sin(-^x),当xw[0,l]时，方程/。一1)+2。=0有两个不同实根,

/.<-2a<1,/.,故选Be

224

10.已知双曲线C：5-方■=l（a>0,力>0）的左焦点为F,过原点的直线/与双曲线左、右两支分别交

于点P、Q.且满足|QF|-|PF|=8,虚轴的上端点8在圆W+（y—3y=1内，则该双曲线离心率的取值

范围为（）。

B、(72,73)

C、(等,2)

D、(^1,2)

2

【答案】A

【解析】设双曲线C的右焦点为尸连接尸尸、QF',如图所示，

由对称性可知，P、Q关于原点对称，则IOPROQI，

又|OF'|=|OF|，，四边形PFQF'为平行四边形，

...|依|=|。尸'],则产|一|PF|=|。尸|一|。尸'|=2。=8,...a=4,

,/虚轴的上端点5（0,杨在圆f+（y-3猿=1内,

/.02+0-3)2<1,解得2</?<4,则2<Jc2-q2<4,即2<“2-16<4,

得2后<c<4忘，e=£6（夸,后），故选A。

11.如图为一个正方体与一个半球。।构成的组合体，半球。|的底面圆与正方体的上底面

A5G。的四边相切，球心。।与正方形A4GA的中心重合，将此组合体重新置于一个球。中（球。未画

出），使正方体的下底面A88的顶点均落在球。的表面上，半球01与球。内切，设切点为P,若四棱锥

P—ABC。的表面积为4+4丽，则球。的表面积为（）o

A、9兀

9

C、14兀

D、叫

6

【答案】B

【解析】设球。、半球。1的半径分别为R、r,

则由正方体与半球。।的位置关系易知正方体的棱长为2,

设正方体的下底面的中心为G,连接尸G,则四棱锥尸—A3CD的高PG=3r,

易知该四棱锥为正四棱锥，则其斜高为J(3r)2+,=同「,

由题意得(2r)2+4xgx2rxV15r=4+4Vny,得厂=1,

根据几何体的对称性知球。的球心0在线段QC匕连接OC、CG,

在RfAOGC中，OC=R,OG=3-R,CG=1x后x2=V^,

2

则(3-R)2+(JI)2=R2,解得R=J1,

6

二球。的表面积5=4兀/?2=4兀x([)2=l^E,故选B。

12.已知函数/(x)=eT与函数g(x)=f+6(_e4xW」)的图像上存在关于直线丁=一3对称的点，则实

e

数。的取值范围是()。

A、[e——,e]

e

B、[e--,e+—]

ee

C>[1,e--]

e

D、[1,c-\—]

e

【答案】D

【解析】设g(%)上的点(X,—+奴)，则该点关于y=r对称的点为(_12一3一l)一定在/(X)上，

则一X=即。=蚂2上匚在—eWxW—J•上有解，

xe

设力(幻二蚂土匕，则〃，(幻=]一/1nJ©,

XX

111

iS<p(x)=1-x2-ln(-x),且(p(—1)=0,<p'(x)=-2x——，当xc[-e,——]时中'(工)>。，

xe

当X£[-e,-l)时(p(x)<0,hf(x)<0,/z(x)在[一6,-1)上单调递减，

当xe[-e,-3时(p(x)>0,/(x)>0,力⑴在[-e,二]上单调递增,

ee

，当％=-1时h(X)取极小值也是最小值，/2(-1)=1，

又〃(_e)=e_L,h(-—)=e+—>S.e+->e-—^

.•"")在[-6,」]上的值域为口，e+-],故选D。

ee

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知向量。=(2,-1),b=(1,1),若向量+B与向量c=(-2,3)共线，则％=。

【答案】-3

8

【解析】•/2ka+b=(4A:,-2k)+(1,1)=(4k+l,-2k+l),：.(4左+1)x3=(—22+1)x(—2),

12Z+3=4Z-2,解得&=-9，

8

14.为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者''闯关

活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼。已知某学生通过第一关的概

率为0.8,在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为0.5,则该同学两关均通过的概率为。

【答案】0.4

【解析】设该学生通过第一关为事件A,通过第二关为事件8,

在通过第一关的前提下通过第二关的概率为P(B|A),

P(B|4)=卡普P(AB)^P(B\A)P(A)=0.5x0.8=0.4

x+2y>0

15.已知实数无、y满足约束条件，且目标函数z=x+y的最大值为6,则上的取值范围

x+3

0<y<k

是一

【答案】(-OO,-l]U[0,+8)

【解析】作图，目标函数2=%+旷改写为y=T+z,作直线y=-x,

目标直线斜率为负，且截距最大时z也最大,

则Zmax=6时目标函数过(0,6)点，目标直线为y=—X+6,

与x—y=0交于点A(3,3),则％=3,3(-6,-3)、C(0,0),

设/=上，表示点。(-3,0)到点(x,y)的斜率，

x+3

其在为正数时范围为[%p+8),在负值时范围为(-8,%。]，又，8=0，

则上的取值范围为(-8,-l]U[0,+8)。

x+3

16.已知数列｛4｝的前〃项和S,与满足：当”22时，/、S“、成等比数列，且q=1,则

1,n=1

【答案]--2

n>2

(2〃-1)(2〃-3)

【解析】•.•当〃N2时，a“、S”、5”-（成等比数列，，5：=%（'一；）,

又..•当〃N2时a”=Sn-*,，染=⑸一S,i）（5,,-；）,

则1（5,1-5,）=5“-5,”|,，」——匚=2,数歹ij{'}是以1为首项，2为公差的等差数歹（I,

2S〃Sn_}Sn

—+2(/z-l)=2w-l,BPS=—!—

SnS["21

当2时—“击1-2

经检验〃=1时不合符,

2〃-3-(2〃-1)(2〃-3)

1,n=l

则a=<:-2

n，n>2

(2〃一1)(2〃-3)

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(12分)

如图所示，在A48c中，AB=6,ZC=120°,点。在AC上，且BC=CE＞。

(1)若BD=4,求sinZBAC；

(2)若5O=6A。，求BC的长。

【解析】⑴.../C=120°,BC=CD,：.NBDC=30°,则NBCH=150°,2分

64

在ME）中,/.sinZBAC=-,5分

sinl50°-sinZBAC3

(2)设AO=，〃，BD=6m,：ABC。中，BC=CO,且/BCD=120°,i&BC=CD=x,

在ABCZ)中，由余弦定理得，x2+x2-2x-x-cos120°=3m2,x=m,8分

在MBC中由余弦定理可知,

m2+4/n2-2m-2m-cos120°=36.即m2+4m2+2m2=36,10分

解得加=空，8。=辿

12分

77

18.(12分)

如左图，在边长为3的菱形ABCO中，AF=CE=\,且将梯形A5EF沿直线EE折起，使BE，

平面COFE,如右图，M是A£>上的点，AO=3AM。

(1)求证：直线AE〃平面MCF；

(2)求平面ABD与平面COEE所成角的余弦值。

【解析】(1)证明：如图，连接。E,交C尸于点G,连接MG,1分

■:CEHDF、DF=2CE,：.DG=2GE，2分

AD^3AM,二—=—.AEUMG,3分

DADE

平面MCR,MGu平面MCF，，AE〃平面MCT；4分

(2)解：以点F为原点，以FE、FD、E4所在直线为x、y、z轴建立空回直角坐标系，

如图所示，且)=正-产=2JI,则£(2立0,0),5分

又A(0,0,l)、8(2心0,2)、£>(0,2,0),则M=(2&,0,1)、AD=(0,2,-1),6分

设平面ABO的法向量为机=(x,y,z),则｛_____.,8分

m•AD=2y-z=0

令x=-l,则旷=五，Z=2y[2,则蓝=(-1,四,2后)，9分

又平面COFE的法向量为7=(0,0,1),10分

设平面与平面CDEE所成角的平面角为0,11分

...八，-一,,mn.2V22>/22…八

贝IIcos0=|cos<m1n>|=|————1=-7=-=-------。12分

\m\-\n\VI111

19.(12分)

前不久，社科院发布了2020年度“全国城市居民幸福排行榜”，北京市成为本年度最“幸福城”。随后，某师

大附中学生会组织部分同学，用“10分制''随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16

名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位数字为叶)。

730

86666778899

(1)指出这组数据的众数和中位数;97655

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”。求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极

幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数众多）任选3人，记自表示抽到“极幸

福”的人数，求&的分布列、数学期望及方差。

【解析】⑴众数为中位数为超=

8.6,H8.75；2分

（2）设4（i=0、1、2、3）表示所取3人中有i个人是“极幸福”,

至多有1人是“极幸福”记为事件A,

则P（A）=尸（4）+24）=/+萼=鲁

5分

C|6C16I,。

（3比的所有可能取值为0、1、2、3,则。〜6分

P&=0)=各=|Z,%=1)=c；.L(3)3=工

464"34464

1o1

P(^=2)=C^-(-)2«-=—,P(^=3)=(-)3=—8分

344647v464

自的分布列为:10分

0123

272791

P64646464

，E(&)=np=0.75,=叩(一〃)=0.5625。12分

20.（12分）

22

已知椭圆G：*+表■=1（。＞人＞0）,椭圆短轴的端点与、人与椭圆的左、右焦点片、尸2构成边长为2的

菱形，MN是经过椭圆右焦点外（1,0）的椭圆的任意一条弦，点P是椭圆上一点，且OP，MN（O为坐标原

点）。

（1）求椭圆G的标准方程；

（2）求|MN|・|OP『的最小值。

【解析】（1:•椭圆短轴的端点用、与椭圆的左、右焦点匹、F2构成边长为2的菱形，

a-2,1分

又•.•椭圆的右焦点B（l,o），；.c=l,一°2=3,2分

22

•••椭圆G的标准方程为二+乙=1；3分

43

2〃2

(2)①当MN，x轴时，|AW|=——=3,\0P\=a=2,此时|MN|-|OP『=12,4分

a

②当MN不垂直于x轴且斜率不为0时，设直线MN的方程为y=々(x-1)(&工0),

联立并化简得(422+3)/—8%2彳+4/_12=0,A>0恒成立，5分

[3X2+4/=12

8后24女2_12

设〃(孙y)、N(xvy2),则.+々=.4g+3，.飞=,必2+3'

2

二|MN\=J1+&2.J(X,+X2)-4X.-X2=,6分

4k+3

：OP，MN,...直线OP的方程为卜=—

1

y-~12k2标号…。爪宣

联立4k可解出耳=7分

3/+4

3—+4/=12

12(1+公)12^+12

\MN\-\OP^=

4公+3>3必+4

144(1+A:2)2144

8分

(422+3)(3八4)

+3)(4-

令一^=r,:左片。且ZwR，.,.0<f<l.

1+Z：2

144144_144

\MN\-\OP\2=9分

«+3)(4T)…二7^

...当时，尸产取最小值，且是，

f=g|MN|­|O(|MN|-|0P|2)min=10分

③当MN的斜率为0时，|M/V|=4,|OP|2=〃=3,此时|MN|」OP『=12,11分

由①②③可知，(|MN|・]。尸|2)mm='/12分

21.(12分)

己知函数/(X)=x・e"i(awR)。

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若函数/(x)的图像经过点(1,1),求证:—+ln/(x)>0(x>0)»

xe

【解析】(1)由题意知，函数/(处的定义城为R,

当a=0时，/(%)=-,函数/(x)在R上单调递增，

当a/0时•，/"(x)=e“i+ax-ewT=e“i・a-(x+,)，令/'(x)=O,得x=-1，2分

aa

①当a<0时，在区间(一8,-')上/'(x)>0,/")单调递增，

a

在区间(一L+8)上r(x)<o,/(x)单调递减，3分

a

②当a>0时，在区间(―8,—L)上尸(尤)<0,/(X)单调递减，

a

在区间(一工,+8)上ff(x)>0,f(x)单调递增，4分

a

(2)若函数/⑺的图像经过点(1,1),则/⑴=/T=1,得〃=1,则/⑶=公小，

则一r+In/(x)=---bln(x・e'T)=--——Flnx+x-1»5分

x-exx-exx-ex

设g(x)=-^7+lnx+x—l(x>。)，贝Igf(x)=--牛^r+)+]=a+，)y：一、,6分

x-exexx•e

设h(x)=x-ex-l,则h!{x}=ex+x-ex,

显然当x>0时，〃'(x)>0,故/x)在(0,+8)上单调递增，7分

又〃(0)=—1<0,/?(1)=^-1>0,・••当x£(0,+oo)时〃(x)在(0,1)上有唯•的零点，

不妨设皿>o)=。，则与-1=0，，，(%)二0，9分

当xw(0,%。)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当X£(Xo，+8)时，g\x)>0,g(x)单调递增，10分

故(与•/。)-分

g(x)min=g(Xo)=-^+lnx0+x0-l=-^-+In1=1-1=0，11

・•・g(x)之0恒成立，即」一+ln/(x)20(x>0)恒成立。12分

x-ex

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目

计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

Y—0CCS0

~'(。为参数)，直线/的方程为x+y=l。以O为极点，x

{y=sm。

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求曲线C和直线/的极坐标方程；

(2)已知射线的极坐标方程是0=1,且与曲线C和直线/在第一条限的交点分别为P、Q,求|P0的

长。

丫2

24

【解析】⑴曲线C