五年级数学上册 第14讲 行程问题五（教师版）

第14讲行程问题五内容概述运动过程中，速度大小或方向有变化的行程问题．掌握分段计算和估算的方法，注意两个不同运动过程之间的对比与计算．典型问题兴趣篇1．邮递员早晨7点出发送一份邮件到对面的村里，从邮局开始先走12千米的上坡路，再走6千米的下坡路．上坡的速度是3千米／时，下坡的速度是6千米／时，请问：(1)邮递员去村里的平均速度是多少？(2)邮递员返回时的平均速度是多少？(3)邮递员往返的平均速度是多少？【答案】（1）3.6km/h;（2）4.5km/h;（3）4km/h【解析】(1)去村里时上坡时间=12÷3=4（h）下坡时间=6÷6=1（h）总路程=12+6=18(km)总时间=4+1=5（h）平均速度=18÷5=3.6（km/h）（2）返回时上坡时间=6÷3=2（h）下坡时间=12÷6=2（h）总路程=18km总时间=2+2=4（h）平均速度=18÷4=4.5（km/h）（3）往返总路程=18*2=36（km）总时间=5+4=9（h）平均速度=36÷9=4（km/h）2．费叔叔开车回家，原计划按照40千米／时的速度行驶．行驶到路程的一半时发现之前的速度只有30千米／时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少才能准时到家？【答案】60km/h【解析】设总路程为240km总时间=240÷40=6（h）前半段用的时间=120÷30=4（h）后半段用的时间=6-4=2（h）后半段的速度=120÷2=60（km/h）3．一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米／时，那么A、B两城相距多少千米？【答案】360km【解析】汽车行驶到中间时行驶时间为3H剩余时间为6-3=3小时由于中途休息0.5小时所以后半段路程的实际行驶时间=3-0.5=2.5h2.5小时行驶的路程比计划2.5小时多行驶=2.5*12=30km这30km就是计划速度休息0.5小时行驶的路程所以计划速度=30÷0.5=60（km/h）总路程=60*6=360km4．甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛，两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米．当甲每次从后面追上乙时，甲的速度就减少1米／秒，而乙的速度增加0.5米／秒，直到乙比甲快．请问：领先者到达终点时，另一人距终点多少米？【答案】333m【解析】甲第一次追上乙时耗时400÷（8-6）=200s此时甲跑了200*8=1600m，乙跑了200*6=1200m此时甲的速度为7m/s,乙的速度为6.5m/s甲第二次追上乙时又耗时400÷（7-0.5）=800s此时甲共跑了1600+800*7=7200m乙一共跑了1200+800*6.5=6400m此后甲的速度为6m/s乙的速度为7m/s甲到达终点还需（10000-7200）÷6=s已到达终点还需（10000-6400）÷7=s所以甲先到达终点，此时乙距终点（－）*7=333m5．一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头，如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔依次是1秒，3秒，5秒，…，即是一个由连续奇数组成的数列．问：两只蚂蚁爬行了多长时间才能第一次相遇？【答案】49s【解析】1.26m=126cm如果两只蚂蚁不掉头的往前爬，那么他们第一次相遇所需的时间为126÷2÷（5.5+3.5）=7秒。在本题中，我们知道蚂蚁往一个方向爬的时间为1秒，5秒，9秒，13秒……，而向另一个方向爬的时间是3，7，11，15秒……，那么当往其中一个方向比另外一个方向多跑7秒钟时，他们第一次相遇。（1+5+9+13）-（3+7+11）=7秒，此时他们第一次相遇。爬行的总时间为（1+5+9+13）+（3+7+11）=49秒。6．龟兔赛跑，全程1.04千米．兔子每小时跑4千米，乌龟每小时爬0.6千米．乌龟不停地爬，但兔子却边跑边玩，兔子先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟……请问：先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？【答案】13.4分钟【解析】乌龟到达终点所需时间为5.2÷3×60=104分钟．兔子如果不休息，则需要时间5.2÷20×60=15.6分钟．而兔子休息的规律是跑1、2、3、…分钟后，休息15分钟．因为15.6=1+2+3+4+5+0.6，所以兔子休息了5×15=75分钟，即兔子跑到终点所需时间为15．6+75=90．6分钟．显然，兔子先到达，先乌龟104-90.6=13.4分钟达到终点．7．如图14-1所示，甲、乙两人绕着一个正方形的房子玩捉迷藏．正方形ABCD的边长为24米，甲、乙都从A点出发逆时针行进，甲出发时，乙要靠在A点的墙壁上数10秒后再出发，已知甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，且两人每到达一个顶点都需要休息3秒钟．请问：乙出发几秒后第一次追上甲？【答案】25s【解析】将游戏开始后甲乙在四个点的时刻列出来ABCD甲06-915-1824-2733-36乙0-1014-1721-2428-3135-38当乙第一次回到甲时在第33s离开甲时在第36s乙第一次到达甲时在第35s此时甲还没有离开所以此时乙追上甲此时距乙出发35-10=25s8．刘老师从家到单位时，前的路程骑车，后面的路程乘车；从单位回家时，前的路程乘车，后面的路程骑车．结果去单位的时间比回家的时间少2分钟．已知刘老师骑车每小时行8千米，乘车每小时行16千米，请问：刘老师家到单位的距离是多少千米？【答案】12.8千米【解析】刘老师去单位时乘车路城市总路程的比回来时多乘-=这段距离骑车比乘车多用2分钟路程为2*8÷60÷（16-8）*16=千米所以总路程=÷=12.8千米9．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，6小时后在中点相遇；若甲每小时多走4千米，乙提前1小时出发，则仍在中点相遇．那么两地相距多少千米？【答案】240千米【解析】两人同时出发，6小时后在中点相遇，说明两者的速度相等；而在第二个条件时两者也在中点相遇，我们知道乙的速度是没有改变的，那么乙走的时间还是6小时，甲走的时间是5小时。把他们原来的速度用V表示,那么甲两次走的路程相等，6V=5（V+4）,V=20千米/时，所以两地相距（20+20）×6=240千米。10．如图14-2所示，A与B、B与C之间的公路长度相等，且每段公路上都有限速标志（单位：千米／时）．甲货车从A出发，乙货车从C出发，并且两车在A、C之间往返行驶．结果当甲车到达C后再返回到B时，乙车刚好第一次到达B．已知甲、乙两车在各段公路上均以所能达到的最快速度行驶（不会超过车子本身的最高时速，也不能超过公路上的最高限速），且甲车的最高时速是乙车的4倍，那么甲车的最高时速是多少？【答案】60【解析】设：AB长度为1假设甲的最高时速小于40那么要想家到达B时乙也到达B甲的速度是乙的3倍，与题意不符假设甲的时速大于或等于70则乙的时速至少为17.5这样乙到达B点时用时最多为1÷17.5=甲用时为1÷70+2÷40=大于乙的用时所以甲的速度介于70和40之间，同时乙的速度小于40所以甲行驶AB用的是自己的最高速，行驶BC时速度是40当甲第一次到达B时；乙行驶了BC的那么甲行驶从B到C再从C到B的过程就用了他全部时间的甲行驶第一次到达B与第二次到达B的路程比为1:2；时间比为1:3则速度比为3:2则假的实际速度为40÷2*3=60千米／时拓展篇1．如图14-3所示，一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，在三条边上它每分钟分别爬行50厘米、20厘米、40厘米．蚂蚁由A点开始，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少？如果顺时针爬行了一周半，平均速度又是多少？【答案】【解析】把边长设为单位1，1×3÷（1/50+1/20+1/40）=600/19=厘米/分；1.5×3÷（1/50+1.5/20+2/40）=厘米/分2．甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以4千米／时的速度走了路程的一半，又以6千米／时的速度走完了另一半；乙班在比赛过程中，一半时间以4千米／时的速度行进，另一半时间以6千米／时的速度行进．问：甲、乙两班哪个班将获胜？【答案】乙班【解析】甲班前一半路程每千米用了1/4小时，后一半路程每千米用了1/6小时，

则甲班的平均速度为(1+1)÷(1/4+1/6)=4.8千米/小时；

而乙班的平均速度为(4+6)÷2=5千米/小时，比甲班快，

所以，乙班获胜3．甲、乙两地相距100千米，小张先骑摩托车从甲地出发，1小时后小李驾驶汽车从甲地出发，丽人同时到达乙地．摩托车开始速度是每小时50千米，中途减速后为每小时40千米．汽车速度是每小时80千米，汽车曾在途中停驶10分钟．请问：小张驾驶的摩托车是在他出发多少小时后减速的？【答案】小时【解析】方法一:（方程）设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后小时,有50×+40×,解得.所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后小时.方法二:（鸡兔同笼）如果全程以每小时50千米的速度行驶,需100÷50=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶,需100÷40=2.5小时.依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了的路程,即行驶了100千米的路程,距出发小时.4．男、女两名田径运动员在长120米的斜坡上练习跑步（如图144所示，坡顶为A，坡底为剐．两人同时从A点出发，在A、B之间不停地往返奔跑，已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．请问：两人第一次迎面相遇的地点离A点多少米？第二次迎面相遇的地点离A点多少米？【答案】96米；米【解析】开始下山时，男运动员的速度大于女运动员的速度，有男运动员到达坡底B所需时间为120÷5=24秒，此时女运动员才跑了24×3=72米．现在女运动员的速度不变，还是每秒3米，而男运动员将从B上坡到A，速度变为每秒3米．男、女运动员的距离为120-72=48米，所以当男运动员再跑48÷(3+3)×3=24米后男女运动员第一次迎面相遇，相遇点距A地120-24=96米;所以当女运动员到达坡底B时，男运动员又跑了24米，即到达距B地48米的地方，此后，女运动员从坡底B上坡到A，速度变为每秒2米，男运动员的速度还是每秒3米，所以当男运动员再跑120-48=72米到达坡顶A时，女运动员才跑了72÷3×2=48米，即距离坡底B地48米的地方，这时，女运动员的速度不变还是每秒2米，而男运动员的速度变为每秒5米，男、女运动员相距120-48=72米，所以当男、女运动员第二次相遇时，男运动员又跑了72÷(2+5)×5=米，即第二次相遇的地点距A点米．5．小明和小强从400米环形跑道的同一点出发，背向而行，当他们第1次相遇时，小明转身往回跑；再次相遇时，小强转身往回跑；以后的每次相遇分别是小明和小强两人交替调转方向．两人的速度在运动过程中始终保持不变，小明每秒跑3米，小强每秒跑5米．试问：当他们第99次相遇时，相遇点距离出发点多少米？【答案】200米【解析】两人相向运动，设都从A出发，出发时小明逆时针走，经过400÷（3+5）＝50秒相遇，第一次相遇点距出发点A50*3=150m,之后小明转身顺时针运动，两人做追及运动。经过400÷（5-2）=200秒第二次相遇，小明共走了200*3=600，小明先顺时针走150m回到出发点又走了一圈，第二次相遇点顺时针方向距出发点50m；接着两人又做相向运动，经过50秒再相遇，小明又顺时针走了50*3=150m,第三次相遇点距出发点A是50+150=200m；接着小明转身逆时针，再做追及运动，经过200秒相遇，小明又逆时针走了3*200=600，回到出发点为第4次相遇；之后重复，相当于4次相遇为一个周期，99÷4=24个……3次，则第99次相遇点和第三次相遇点是一个,即据出发点200米。6．在一条南北走向的公路上有A、B两镇，A镇在B镇北面4.8千米处．甲、乙两人分别同时从A镇、B镇出发向南行走，甲的速度是每小时9千米，乙的速度是每小时6千米，甲在运动过程中始终不改变方向，而乙向南走3分钟后，便转身往回走2分钟，接着按照先向南走3分钟，再向北走2分钟的方式循环运动．请问：两人相遇的地点距B镇多少千米？【答案】0.96千米【解析】依题意，两人速度分别为150米/分，100米/分，以下计算所涉及单位均为米或分，分情况讨论如下：若两人相遇时，乙在向南走，则可设此时两人所用时间为5n+t，，此时，甲向南走了150*（5n+t）米，乙向南走了100n+100t米，所以，，解得，n=7，t=5.但这不符合的要求；若两人相遇时，乙在向北走，则可设此时两人所用时间为5n+t，，此时，甲向南走了150*（5n+t）米，乙向南走了米，所以，，解得，n=7，t=3.4，符合要求！此时，两人距B镇的距离即为乙向南走的距离，为100*7+100*（6—3.4）=960（米）=0.96（千米）7．如图14-5所示，正方形边长是100米，甲、乙两人同时从A、B沿图中所示的方向出发，甲每分钟走75米，乙每分钟走65米，且两人每到达一个顶点都需要休息2分钟，求甲从出发到第一次看见乙所用的时间．【答案】分钟【解析】分析易知，当甲第一次看见乙时，甲必刚到达某边的一个端点，而乙正在另一个端点上休息，（甲要看见乙，则甲应该追上乙一条边到两条边，甲第一次看见乙时，必是甲追上乙一条边时，而此时只能甲刚到某边，而乙还未离开该边）设此时甲走了a条边（a为正整数），则有化简得，，解得，显然，当a=8时，所用时间最少，此时所用时间为2（8—1）+=分钟。8．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，20分钟后在某处相遇，如果甲每分钟多走15米，而乙比甲提前2分钟出发，则相遇时仍在此处．如果甲比乙晚4分钟出发，乙每分钟少走25米，也能在此处相遇．那么A、B两地之间相距多少千米？【答案】5.7千米【解析】甲每分钟多走15米时，到相遇用了20—2=18分钟，对甲根据时间比18:20，则速度为20:18所以甲原来的速度为=135（米/分），当乙每分钟少走25米，到相遇时乙要用20+4=24分钟，对乙，根据时间比24:20，则速度为20:24，所以乙原来的速度为（米/分）。所以，甲乙两地距离为（135+150）*20=5700（米）=5.7（千米）9．小明准时从家出发，以3.6千米／时的速度从家步行去学校，恰好提前5分钟到校．某天，当他走了1.2千米，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课，后来算了一下，如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早15分钟到学校．那么他家离学校多少千米？小明跑步的速度是每小时多少千米？【答案】1.8千米7.2千米∕时【解析】依题意有，小明跑步走后半路程时，所用时间比平时走路快10-5=5（分钟），而若小明前半段路也跑步，则比平时走全程快15分钟，所以前半段路跑步比走路快15-5=10（分钟），依比例关系知，前半段的路程是千米，则全程为1.2+0.6=1.8（千米）。所以小明的速度为（千米/时）10．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米．请问：A、B两地间的距离是多少千米？【答案】420千米【解析】记甲车速度为a千米/时，乙车速度为b千米/时，则依题意有两式相加得，解得a+b=70，所以两地距离为70*6=420千米。11．李刚骑自行车从甲地到乙地，要先骑一段上坡路，再骑一段平坦路，他到乙地后，立即返回甲地，来回共用了3小时．李刚在平坦路上比上坡路每小时多骑6千米，下坡路比平坦路每小时多骑3千米，还知道他在第1小时比第2小时少骑5千米，第2小时比第3小时少骑3千米．其中，第2小时骑了一段上坡路，又骑了一段平坦路，请问：(1)李刚骑上坡路所用的时间是多少分钟？(2)李刚骑下坡路所用的时间是多少分钟？(3)甲、乙两地之间的距离是多少千米？【答案】（1）70分钟（2）40分钟（3）24.5千米【解析】依题意可知，第一小时骑的全部是上坡路，第二小时骑的是上坡路和平坦路，第三小时骑的是平坦路和下坡路，记平坦路速度为a，则有上坡路速度为a-6，下坡路速度为a+3.设第二小时内，走上坡路用时间x，则依题意列方程得，解得x=，所以李刚骑上坡路用了1+=（小时）=70（分钟）；再设第三小时内，走下坡路所用时间为y，则依题意列方程得，解得y=，所以李刚骑下坡路用了小时，即40分钟；上坡路和下坡路的路程应该是相等的，所以有，解得a=18千米/时，又李刚从甲地到乙地时，走平坦路时间为（小时），则有甲乙距离为（千米）。12．如图14-6所示，有4个村镇A、B、C、D，在连接它们的3段等长的公路AB、BC、CD上，汽车行驶的最高时速限制分别是60千米／时、20千米／时和30千米／时．一辆客车从A镇出发驶向D镇，到达D镇后立即返回；一辆货车同时从D镇出发，驶向B镇．两车相遇在C镇，而当货车到达B镇时，客车又回到了C镇，已知客车和货车在各段公路上均以其所能达到且被允许的最大速度行驶，货车在与客车相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了套，求客车的最高时速．【答案】40千米∕时或25千米∕时【解析】记客车最高时速为v千米/时，货车在CD段速度为a千米/时，在BC段速度为b千米/时，则可分情况讨论如下：1.，则有，所以，而a，b都在区间[0,10]上，这说明货车原来的最大速度为a，这与货车遇到客车后最大速度提高矛盾！这种情况不可能！2.，则有，所以，因为a在区间[10,12]上，b在区间[10,15]上，所以货车原来的最大速度为a，提速后最大速度为b，依题意有，解得v=25；3.，则有，所以，b=15，因为a在区间[12，15]上，所以货车原来的最大速度为a，依题意有，解得v=40；4.v>60，则有，解得a=15，b=15，这与货车遇到客车后最大速度提高矛盾！这种情况不可能！综上，客车的最高时速为40千米/时或25千米/时。超越篇1．学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七点回到学校．已知他们的步行速度平地为4千米／时，上山为3千米／时，下山为6千米／时．请问：同学们一共走了多少千米？【答案】24千米【解析】同学们上山、下山所走路程应该是相等的，所以上山，下山时间比为1:2，所以上山、下山平均速度为（千米/时），这与平地步行速度是一致的，所以同学们走完全程的平均速度是4千米/时，所以同学们一共走了4*（7—1）=24（千米）2．男、女两名运动员在长350米的斜坡AB（A为坡顶、B为坡底）上跑步，二人同时从坡顶出发，在A、B间往返奔跑，已知速度如图14-7所示，那么男运动员第二次追上女运动员的位置距坡顶多少米？【答案】280米【解析】记两人男生第二次追上女生时男生走过的总路程为s，则可记，分情况讨论如下：若a为奇数，则男生下坡350*，男生上坡350*+b；女生下坡，上坡+b，依题意有，解得a=11，b=70，此时相遇地点距坡顶350—70=280（米），符合要求；若a为偶数，则男生下坡+b，上坡；女生下坡+b，上坡，则依题意有，解得a=11，显然不符合假设！综上知，男生第二次追上女生的地点距坡顶280米。3．甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，5小时相遇；如果乙车提前l小时出发，则在不到中点13千米处与甲车相遇；如果甲车提前1小时出发，则过中点37千米后与乙车相遇，求甲车与乙车的速度差．【答案】10千米∕时【解析】记甲、乙车速分别为b千米/时，a千米/时，则总路程为5（a+b）千米，依题意有，即，（1），即，（2）（1）—（2）得，5（b-a）=50，所以b—a=10，即甲乙速度差为10千米/时。4．如图14-8，在一条马路边有A、B、C、D四个车站，甲、乙两辆相同的汽车分别从A、D两地出发相向而行，在BC的中点相遇．已知它们在AB、BC、CD上的速度分别为30千米／时、40千米／时、50千米／时．如果甲晚出发1小时，则它们将在B点相遇；如果乙在每一段上的速度都减半，而甲的速度不变，它们的相遇地点离B点65千米，请求出A，D之间的距离．【答案】240千米【解析】记AB、BC、CD段的路程分别为a千米，b千米，c千米，则依题意有，，解得a=5t，c=3t，（t>0），b=40，因为b=40<65，所以若乙车在每段速度减半，有，解得a=75，c=125，所以全程为75+125+40=200千米。5．如图14-9，正方形ABCD是一条环形公路．已知汽车在AB上时速是90千米，在BC上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米，在DA上的时速是80千米．从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇，如果从PC的中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点Ⅳ相遇，问：AN占AB的几分之几？【答案】【解析】记正方形每段边长为“1”，设DP段为a，则依题意有，，解得a=，设AN段为b，则有，，解得b=。所以,AN占AB的。6．在400米环形跑道上进行10000米赛跑，乙始终保持一个固定的速度前进；甲刚开始的速度比乙慢，但一直没有被乙追上．计时到30分0秒时甲开始加速并保持这个速度；36分0秒时甲追上乙，46分0秒时甲再次追上乙，47分40秒时甲到达终点．问：计时到几分几秒时乙到达终点？【答案】50分0秒【解析】设甲速度为a米/分，乙速度为b米/分，甲加速后速度为c米/分，则依题意有，30a+6c-36b=0（1）30a+16c-46b=400（2）30a+c=10000（3）联立上述三式，解得a=192，b=200，c=240，所以，乙跑到终点用时分，即计时到50分0秒时乙到达终点。7．圆形跑道的40%是平路，60%则设置了跨栏（如图14-10中粗线部分）．甲、乙两人的平路速度分别为5米／秒和6米／秒，跨栏速度分别为4米／秒和3米／秒．第一次两人从A点出发逆时针跑，甲先跑了5秒钟，然后乙再出发．结果两人在跑第一圈的时候相遇了两次，且两次相遇的间隔为15秒，问：(1)跑道总长为多少米？(2)如果两人从A点出发顺时针方向跑，而且在跑第一圈的时候也相遇了两次，且两次相遇时间间隔为45秒