吉林省长春2023年高考数学考前最后一卷预测卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知非零向量£,另满足（Z—夜（b-y/2a）lb,则Z与坂的夹角为（）

71

AA・-B.-C.-D.—

6432

4/4._4

2.若函数/(x)=MX满足/(a)=/(。)，S.O<a<b,则,今的最小值是（

4a+2。

3

A.0B.1C.-D.20

2

3.已知集合用={（工/）|%+丁<4,小yeN*},则集合”的非空子集个数是（）

A.2B.3C.7D.8

xvl是工+,<-2的（）条件

4.

X

A.充分不必要B,必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

Xy

~-^—=l（a>0,b>0

5.已知双曲线b-）,其右焦点尸的坐标为CO）,点」是第一象限内双曲线渐近线上的一点，。为坐标

2

C

1041=—

原点，满足。，线段"交双曲线于点M若心为."的中点，则双曲线的离心率为（）

244

A.4B.2C.3D.3

004

6.设a=logoo8（）.04,b=log030.2,c=O.3»则“、b、c的大小关系为（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

7.已知函数f（x）=2sin（ox-Jr；）（A>0,@>0）,将函数/（x）的图象向左平移TT百个单位长度，得到函数g。）的图象，若

函数g（x）的图象的一条对称轴是X=二，则①的最小值为

8.（x-l）3（y—2户的展开式中，满足加+〃=2的x"'y"的系数之和为（)

A.640B.416C.406D.-236

9.已知M是函数f（x）=lnx图象上的一点，过M作圆/+；/一2）,=0的两条切线，切点分别为A,B,则加.砺

的最小值为（）

572

A.272-3B.-1C.0

■F

10.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，

又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（D）,

类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个

大正六边形，设A'户'=2户幺，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）

C.柜D,

77

13

11.已知a=logi213=，c=logI314,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>a>bC.h>c>aD.a>c>h

3

12.已知。，b,。分别为AA3C内角A，B,C的对边，a=l,4csinA=3cosC,AABC的面积为一，则c=（

2

A.272B.4C.5D.3啦

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/（x）=cosx-«在［0,+oo）的零点个数为.

2x-y<6

14.设X,y满足约束条件,若z=x+3y+a的最大值是10,则。=.

15.如图所示，在AABC中，AB=AC=2,AD=DC，DE=2EB，AE的延长线交5c边于点F,若AFBCn-g,

贝!I立•祝=____■

B

J/hh~4-1

16.若双曲线C：:一与=1（。＞0，b＞0）的顶点到渐近线的距离为一，则十一的最小值_____.

a2b22y/3a

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图,在三棱柱ABC—A旦G中，AC_L3C,AB_L，AC==8与，。为A3的中点，且C。，.

（2）求锐二面角。一。4一。1的余弦值.

18.（12分）已知等比数列｛%｝,其公比4＞1,且满足4+%=12,%和%的等差中项是1.

（I）求数列｛%｝的通项公式；

（II）若bn=na„,7；是数列也｝的前«项和，求使Tn-n-22+14=0成立的正整数〃的值.

r2V23-------9

19.（12分）已知椭圆C:三+方=1（。＞。＞0）的左右焦点分别是耳，鸟，点Al,］）在椭圆C上，满足尸

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线4过点P,且与椭圆只有一个公共点，直线4与4的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N,与

直线x=l交于点K（K介于”,N两点之间），是否存在直线右，使得直线4,l2,的斜率按某种排序能构

成等比数列？若能，求出4的方程，若不能，请说理由.

20.(12分)如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,AD±AB,AB=3C=2AD=2,四边形EDCF为矩形,

CF=5平面EDCV，平面ABCD.

⑴求证：||平面ABE；

(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.

⑶在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为电，若存在，求出线段BP的长，若不

4

存在，请说明理由.

21.(12分)已知椭圆C：4+4=1(a>Z>>0)的左、右焦点分别为K，F,,离心率为工，且过点

a'b-21

(1)求椭圆C的方程；

TF

(2)过左焦点士的直线/与椭圆C交于不同的A,8两点，若NAF,B=二,求直线/的斜率化

2

x=i+Jocose

22.(10分)在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为｛(。为参数)，以原点为极点，X轴的非负

半轴为极轴建立极坐标系，射线4的极坐标方程为夕=a1-BwawBl，射线/，的极坐标方程为。=a+工.

VOoy2

(I)写出曲线C的极坐标方程，并指出是何种曲线；

(II)若射线4与曲线C交于0、A两点，射线4与曲线。交于。、8两点，求AABO面积的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得〃与E的夹角.

【详解】

根据平面向量数量积的垂直关系可得(«-^b)-a=a-yFia-b=O,

—=b'-yfla-b=0,

rr

所以鼠=斤=及4-坂，即“=忖，

由平面向量数量积定义可得@=闾4怫05(词,

所以cos卜,3)=£",而句,

即。与B的夹角为了.

4

故选：B

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.

2.A

【解析】

由〃a)=/3)推导出b=L且0<a<l,将所求代数式变形为二=也心一_i_

4利用基本不等式

求得2a+8的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.

【详解】

函数,f(x)=|lnx|满足/(〃)=/(/?),.,.(lnQ)2Bp(lntz-ln/?)(ln<74-ln/?)=0,

\*0<a<b9/.Ina<In/?,.\\na+\nb=0f即ln(a/?)=0n而=1,

/.\=ah>a29则0<av1,

由基本不等式得2a+Z?=2a+，22、2a-'=2血，当且仅当。=’时，等号成立.

a\a2

4a2+h2-4(2tz+/?)2-4ab-4(2。+万『-82a+b4

4a+2b2(2a+b)2(2a+Z?)22a+b

+00

-4/+〃2-42724

所以，当2a+b=2近时，今取得最小值工_：=0.

4a+2。22V2

故选：A.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.

3.C

【解析】

先确定集合以中元素，可得非空子集个数.

【详解】

由题意M={(1,1),(1,2),(2,1)},共3个元素，其子集个数为23=8,非空子集有7个.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有〃个元素的集合其子集个数为2",非空子集有2"-1个.

4.B

【解析】

利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

【详解】

设P：x<l对应的集合是A=(-8,l),由X+,<-2解得x<0且X。—1

X

q：工+­<—2对应的集合是8=(-8,-1)0(-1,0)，所以8.A,

故x<l是x+L<-2的必要不充分条件，故选B。

X

【点睛】

本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。

设4={小”},B={x|xeq},

如果AqB,则P是夕的充分条件；如果A则，是4的充分不必要条件；

如果BqA,则〃是9的必要条件；如果8-A,则〃是4的必要不充分条件。

5.C

【解析】

计算得到格'甘')2%代入双曲线化简得到答案.

【详解】

bc

y=~x\OA\——

双曲线的一条渐近线方程为。，力是第一象限内双曲线渐近线上的一点，G

£二/e一步

A

,Me。）,故'2

故,代入双曲线化简得到：4a，故03.

故选：c

【点睛】

本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

6.D

【解析】

因为"log0080.04=210go0802=log痂02>log麻1=0,b=log030.2>log031=0,

所以'=logQ2V0.08,-=log。，0.3且y=log02x在（（）,+<»）上单调递减，且V0.08<0.3

ab

所以所以b>a,

ab

又因为a—log血^。,2〉log血获A/O.08=1,c=0.3°'"<0.3°=1»所以4>c,

所以b>a>c.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间

值“0,1”比较大小.

7.C

【解析】

将函数Ax）的图象向左平移9个单位长度，得到函数g（x）=2sin（ox+卷-1）的图象，因为函数g（x）的图象的一条

对称轴是》=工，所以sin（?+W—弓）=±1,即等+?一：=5+%兀,%£%,所以。=g+2NAeZ,又。>0,所以

663363323

。的最小值为|.故选C.

8.B

【解析】

fm=0|m=lm=20.

“+〃=2,有〈八，＜[{c三种情形，用。一1）3=（-1+彳）3中产的系数乘以（丫一2）c5=（-2+丁）5中>"

n=2=In=0

的系数，然后相加可得.

【详解】

当m+〃=2时，(x-l)3(y-2)5的展开式中X",的系数为

C"£"(—1产'•GV(-2产=C；.《•(―1产研")-25-nx"'yn-25-"6"'•£，)".当加=0,〃=2时，系数为

23xlxl0=80;当m=1,〃=1时，系数为24x3x5=240；当加=2,〃=()时，系数为x3xl=96;故满足

机+〃=2的x"'y"的系数之和为80+240+96=416.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键.

9.C

【解析】

先画出函数图像和圆，可知若设NAMB=26,则|沃卜|旃卜熹，所以

MA-MB^MA^cos2^=2sin2^+—!y--3,而要求福.痂j的最小值，只要sin。取得最大值，若设圆

sin0

父+y一2》=0的圆心为C,贝代山。=两，所以只要|MC|取得最小值，若设M(x』nx),贝ij

|MC|2=x2+(lnx-l)2,然后构造函数g(x)=f+(1x7)2,利用导数求其最小值即可.

【详解】

记圆/+9一2)，=0的圆心为c,设Z4MC=e,贝切==而，设

A/(x,Inx\|MC|2=x2+(Inx-1)2,记g(尤)=Y+(所工一1)2,贝！J

i?

gr(x)=2x+2(lnx-1)•—=—(x2+Inx-1),令/2(犬)=/+mx-l,

xx

r

因为/z(x)=x2+m九一1在(0,y)上单调递增，且〃(1)=0,所以当Ovxvl时，/i(x)</z(l)=0,<?(x)<0；当了>1

时，Mx)>MD=0,^(X)>0,则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,内)上单调递增，所以g(X)min=g6=2,即

|MC|m/2,0<sin^也，所以曲•砺=|两12cos26=2sin2e+^^一320(当sin。=立时等号成立).

112SHT。2

故选：C

此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.

10.D

【解析】

设Ab'=a,则AF'=2a,小正六边形的边长为A'尸'=2a,利用余弦定理可得大正六边形的边长为AB=J7a,再

利用面积之比可得结论.

【详解】

由题意，设W=a,则A'F=2a,即小正六边形的边长为4尸=加，

所以，FF'=3a,ZAF'F=2,在AAF户中，

3

由余弦定理得AF2=AF'2+FF'?-2AF'-FF'cosZAF'F，

即AF2="+(3〃)2_24.3。.cosg,解得AF=yHa,

所以，大正六边形的边长为=

所以，小正六边形的面积为S]--x2ax2axx2+x2y/3a=6y/3a2,

大正六边形的面积为工二白耳乂血”去2+近ax®ai，

S,4

所以，此点取自小正六边形的概率n尸=肃=亍.

故选：D.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

11.D

【解析】

由指数函数的图像与性质易得。最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较。和c的大小关

系，进而得解.

【详解】

13

根据指数函数的图像与性质可知()<6=(空］“<1，

U3J

由对数函数的图像与性质可知Q=logi213>l,c=logt314>l,所以匕最小；

而由对数换底公式化简可得a-c=logl213-log1314

Igl3_lgl4

lgl2lgl3

Ig213-lgl2-lgl4

Igl2-lgl3

j(lgl2+lgl4)

由基本不等式可知lgl2Jgl4V,代入上式可得

g213(lgl2+lgl4)

lg-13-lg12.1g14；-[i

Igl2-lgl3>Igl2-lgl3

fi、

lg213--lgl68

_____\2__2

Igl2-lgl3

IVI"l

Igl3+-lgl68-lgl3-lgl68

2八2)

Igl2-lgl3

(lgl3+lg网.(lgl3-1g网

Igl2-lgl3''

所以&>c,

综上可知a〉c〉

故选：D.

【点睛】

本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.

12.D

【解析】

3413

由正弦定理可知4csinA=4〃sinC=3cosC,从而可求出sinC=-,cosC=《.通过=—^bsinC=°可求出

b=5,结合余弦定理即可求出c的值.

【详解】

解：v4csinA=3cosC,即4csinA=3acosC

4sinAsinC=3sinAcosC9即4sinC=3cosC.

34

,.,sin2C+cos2C=1，则sinC=《，cosC=《.

222

c-a+02-labcosC=l+5-2xlx5x^=18,c=3\/2

故选:D.

【点睛】

本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过

正弦定理结合已知条件，得到角C的正弦值余弦值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

本问题转化为曲线y=cos=4(xe[0,+8))交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数

y=cosx,y=6(xe[0,+s))的图象，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】

问题函数/(x)=cosx-«在L0,+00)的零点个数，可以转化为曲线y=cosx,y=4(XG[0,+oo»交点个数问题.

在同一直角坐标系内，画出函数y=cosx,y=4(xe[0,+s))的图象，如下图所示:

故答案为：1

【点睛】

本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想.

7

14.——

2

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.

【详解】

画出不等式组表示的平面区域如下所示：

97

故可得10=一+9+。，解得一一.

22

7

故答案为：一彳.

2

【点睛】

本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.

【解析】

11—►4—►1—►A2

过点。做。G||AF,可得EE=—AE,BF=—BC,A/=—AB+—AC由A尸BC=-1可得cos/84C=—,可

655533

umuuu54umiuuuuura

得AE・AC=-(—A3+—AC)・AC,代入可得答案.

655

【详解】

解：如图，过点。做。G||A尸，

易得：-^—^-,EF^-DG,

DGBD33

DGCD1“八尸1,.一但“1”.

----==—，故Z)G=—AF,可得：EF——AF,

AFAC226

BFBE\FGAD\一出以1

|R］理：-——,-——，可得BF——BC,

FGED2GCCD15

AF^AB+BF^AB+-BC^AB+-(AC-AB)^-AB+-AC,

5555

iAFBC=-4,-ain(-AB+-AC)-(AC-AB)=-AC2--AB+-AB-AC^--,

5555555

14?42

可得：-x4——x4+—x2x2cosABAC-——，可得：cosABAC-—,

55553

AE-AC=-AF-AC=-(-AB+-AC)-AC=-AB-AC+-AC2^-x2x2x-+-x4^—,

6655353369

22

故答案为：

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG\\AF是解题的关键.

16.2

【解析】

根据双曲线的方程求出其中一条渐近线y顶点（a,0）,再利用点到直线的距离公式可得c=2a,由

b2+1_c2+\

,利用基本不等式即可求解.

6a

【详解】

2

由双曲线C：二=1（。>0,b>0,

ab2

可得一条渐近线y=一个顶点（。,0）,

a

\ab\\ab\b

所以=」=：；，解得c=2a,

ylJa.2+।b2c2

2222

n,b+1c-a+13a+1/r1

当且仅当4=正时，取等号,

3

,2〔

所以写]的最小值为2.

y/3a

故答案为：2

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）证明见解析；（2）叵,

5

【解析】

（1）证明CDJ■他后可得CO_L平面B4AA,从而得CO1BB],结合已知得线面垂直；

（2）以C为坐标原点，以C8为“轴，CG为＞轴，。为z建立空间直角坐标系，设CG=2,写出各点坐标，求

出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值.

【详解】

（1）证明：因为AC=BC,。为3C中点，

所以又COLOA，ABC\AtD=D,

所以CD_L平面例与8,又8月u平面A4g6,

所以又B]B1AB,ABQCD^D,

所以用BJ.平面ABC.

(2)由已知及(1)可知CB,CG，C4两两垂直，所以以C为坐标原点，以C8为x轴，CG为丁轴，C4为二建

立空间直角坐标系，设。&=2,则

C（0,0,0）,B（2,0,0）,A（0,0,2）,C,（0,2,0）,A（0,2,2）,£＞（1,0,1）.

设平面。ca的法向量)=(x，x，zj,则

n,•CD=0西+马=0—/、

即《小+210'令【7则―

小区=0’

设平面0GA的法向量后=(%，%，Z2)，则

%,CD-0-2y+=0一.、

t即《"°9」’令％"则〃2=（2,1,0）,

%•GA=o

_勺?_3_715

所以cos（〃|,〃2

=丽=7^=丁

故锐二面角C-DAt-C,的余弦值为叵.

5

【点睛】

本题考查证明线面垂直，解题时注意线面垂直与线线垂直的相互转化.考查求二面角，求空间角一般是建立空间直

角坐标系，用向量法易得结论.

,,

18.（I）an=2.（II）n-3.

【解析】

(I)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；(n)2=〃a“=〃-2”,

由数列的错位相减法求和可得刀,，解方程可得所求值.

【详解】

(I)等比数列{%},其公比q>1，且满足4+%=12,出和义的等差中项是H)

即有aq+qq?=12,20=%+/=々©+4/

解得：a、=q=2an=2"

(II油(I)知：b"=na,,=n-2"

则7；=1・2+2・22+3・23+―+〃.2”

27；,=1-22+2-23+3-24+•••+«-2n+,

23,,+|22+

相减可得：_7=2+2+2+---+2"-«-2=^-^-n-2"'

"1-2

化简可得：1=2+(“-1)2用

7],一〃・2向+14=0,即为16—2向=0

解得：〃=3

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于中档

题.

22

19.(1)工+1=1；(2)不能，理由见解析

43

【解析】

(1)设耳(—c,O),g(c,O),则尸片，鸟=1一。2+[=1,由此即可求出椭圆方程；

311

(2)设直线4的方程为y-/=%(%-1),联立直线与椭圆的方程可求得攵=-5,则直线，2斜率为5,设其方程为

y=^x+t,M(xi,yt),N(x2,y2),联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得关于％=1对称，可求得

k,=一±勺假设存在直线/,满足题意，没kpM=-k,kpN=k,可得上=’,由此可得答案.

222

【详解】

解：(1)设耳(—c,O)，E(c,O),则PE•产后=1一。2+:=(，

C=1,4=2力2=39

22

所以椭圆方程为L+二=1;

43

3

(2)设直线4的方程为y—万=%(尤一1),

22

与L+匕=1联立得(3+4k2)x2+4左(3-2Z)x+(3—262-12=0,

43

・，・△=0,左=——,

2

因为两直线的倾斜角互补，所以直线斜率为:，

设直线的方程为了二3工+£,加(％,乂),乂*2，%)，

联立整理得x~+Ex+广—3=0,A>0,t~<4,%+x7——/,=t~-3,

_3,_3

，2+乃2=XW+(r-2)(x+w)—(2f—3)=0,

-k4-k

・•八PM丁UN

Xj-1%2—](X1—1)(%2—1)

所以PM,PN关于1=1对称，

由正弦定理得PM_MKPN_NK

sinZPKMsinNMPK'sinNPKNsinZNPK'

因为NMPK=NNPK/PKM+NPKN=180°,所以|©V|=|。叼|KAZ|,

由上得勺

2­2

假设存在直线4满足题意，

没kpM=-k,kpN=k,—g,按某种排列成等比数列，设公比为公则“=一1,

所以％则此时直线PN与/,平行或重合，与题意不符，

2

所以不存在满足题意的直线儿

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题.

20.(I)见解析(II)笔1(III)|丽|=2

【解析】

试题分析:

(I)取。为原点，DA所在直线为x轴，所在直线为二轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面ABE的法向量

万=(6,0,1),且力F=(-1,2,百)，据此有正.为=0,则DF//平面/WE.

ih-nsh]

(H)由题意可得平面BEF的法向量比=(273,石,4),结合(I)的结论可得|cos6|=力一，即平面ABE

I研同

与平面EEB所成锐二面角的余弦值为上包.

31

（卬）设价=2前=（—2e[0,l],则丽=[”1,22一2,疯），而平面ABE的法向量

万=（6,0,1）,据此可得sin。=gs而，亢卜/，解方程有/l=g或％=；.据此计算可得|而|=2.

试题解析:

（I）取。为原点，D4所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A（l,0,0）,3（1,2,0）,

£(0,0,^),F(-l,2,73),ABE=(-1-2,73),AB=(0,2,0),

设平面ABE的法向量”=(x,y,z),=不妨设万=(后,0」)，又房

ADF-n=-73+73=0.--DFLn>又；平面ABE，二。尸//平面ABE.

(II)•.•布=(-1,一2,6),BF=(-2,0,73),设平面BEE的法向量身=(x,y,z),

m-n105国

说:『不妨设访"疯小

J；：=R\m\-\n\-2-731-31

二平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值为反包.