抛物线与阿基米德三角形（解析版）-【高考总复习】2022高考数学满分突破之解析几何篇

专题04抛物线与阿基米德三角形

【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板1：

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形.阿基

米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明如下结论：

抛物线与阿基米德三角形定理：

抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的

三角形面积的三分之二.

下面来逐一介绍阿基米德三角形的一些推论：

如图，已知。是抛物线/=2刀准线上任意一点，过。作抛物线的切线

QA、分QB别交抛物线于A、B两点，为4B中点，贝心

1.若他过焦点，则AB的端点的两条切线的交点。在其准线上.

2.阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即q=%.

3.45过抛物线的焦点

4.AQVBQ

5.阿基米德三角形面积的最小值为p2

【考点精选例题精析】：

例1.(1)(2021•全国高二课时练习)抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P,称△E4B为“阿基米德

三角形”，当线段A3经过抛物线的焦点产时，△PA8具有以下特征：

①P点必在抛物线的准线上；②PFLAB.

若经过抛物线y?=4x的焦点的一条弦为A8,“阿基米德三角形''为且点尸的纵坐标为4,则直线A8

的方程为()

A.x-2^-1=0B.2x+y-2=0

C.x+2y-l=0D.2x-y-2=0

【答案】A

【分析】

由为“阿基米德三角形“，且线段AB经过抛物线y,=4x的焦点，得到点P(-1,4),进而得到直线尸尸的

斜率，再由PFL45，得到直线A8的斜率即可.

【详解】

设抛物线的焦点为产，

由题意可知，抛物线V=4x的焦点坐标为尸（1,0）,准线方程为x=-1,

因为△R4B为“阿基米德三角形“，且线段AB经过抛物线丁=4x的焦点，

所以点尸必在抛物线的准线上，

所以点P（T，4）,

直线PF的斜率为==-2.

-1-1

又因为PF_LAB,

所以直线A8的斜率为

所以直线AB的方程为y-0=g（x-l）,即x-2y-l=0,

故选：A.

（2）.（2020•云南师大附中高三月考（理））过抛物线V=2PMp>0）的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A、

8两点，M为AB的中点，分别过A、8两点作抛物线的切线4、4相交于点?.△尸/3又常被称作阿基米德

三角形.下面关于△P43的描述：

①P点必在抛物线的准线上；

②AP-L尸8；

③设A（4yJ、3（孙必），则△PA8的面积S的最小值为今；

®PF±AB；

⑤PM平行于*轴.

其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

作出图形，设点A（X，y）、见王,为），设直线AB的方程为*=呐+^，将直线的方程与抛物线方程联

立，列出韦达定理，求出直线4、4的方程，求出点尸的坐标，可判断①的正误；利用直线24、总斜率的

关系可判断②的正误；计算出△248的面积S的表达式，可判断③的正误；利用直线PF、A8的斜率关系

可判断④的正误；求出立线PM的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论.

【详解】

先证明出抛物线丁=2px（p>0）在其上一点（%,%）处的切线方程为%y=px+pxo.

证明如下：

由于点（天,%）在抛物线V=2px上，则y；=2%,

联立，2”,可得2yoy=y2+2p%,即丁-2%y+y；=0,A=0,

[%y=px+px°

1

所以，抛物线y=2Px（p>0）在其上一点（七,％）处的切线方程为yoy=px+px（>.

X=/27V+——

联立，"2,消去x得y2-2〃?py-p2=0,

./=2Px

由韦达定理可得乂%=~P2，凹+必=2mp,

对于命题①，抛物线V=2px在点A处的切线方程为yy=px+pX|,即yy=px+三,

同理可知，抛物线V=2px在点8处的切线方程为%y=px+日，

2

%

一22iA_£

yty=px+x==

解得2p2

联立，2,所以点p的横坐标为

A

»,_弘+>2_mn

y2y=px+2y--~--mp

即点p在抛物线的准线匕①正确；

2

对于命题②，直线4的斜率为尢=2，直线4的斜率为七=上，=T，

%%乂必

所以，AP±PB,②正确；

对于命题④，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点尸为抛物线的准线与x轴的交点，此时

PFYAB-.

当AB不与*轴垂直时，宜线AB的斜率为*=

tn

直线PF的斜率为%=—kAB-*=-1,则P/U4?.

-P

综上，PFYAB.④正确；

对于命题③，|AB\=\l\+m2•|y-%|，

|PF|=Jp2+(%)=^p1+nrp1=p>j\+m2

所以,

2

M-|PF|=gJ"]•|y,-yJpJi+>=夕加+1)-p

y+

\m=0

当且仅当上时，等号成立，③错误；

IK=±0

对于命题⑤,当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点,此时直线PM

与x轴重合，⑤错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的几何性质，考查了抛物线的焦点弦的几何性质以及韦达定理法的应用，考查计算能力，

属于中等题.

【变式训练1-1】.（2020•昆明市•云南师大附中高三（理））阿基米德（公元前287年〜公元前212年）是古

希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之

神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，△R4B为阿

基米德三角形.抛物线犬=20，（p>O）上有两个不同的点4（尤2，）,3（々,%），以48为切点的抛物线的切线

PAPB相交于P.给出如下结论，其中正确的为（）

（1）若弦AB过焦点，则为直角三角形且/4P8=90°;

（2）点P的坐标是（当区,竽）；

（3）△PA3的边A8所在的直线方程为（％+x2）x-2py-xlx2=0；

（4）/XPAB的边A3上的中线与y轴平行（或重合）.

A.(2)(3)(4)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.(1)(3)(4)

【答案】D

【分析】

设%,x,<x2）由导数的几何意义得切线斜率,

利用焦点弦性质得&“L=M=T，正确;

P

写出切线方程，联立求出P点坐标，得（2）错误;

用A8两点坐标表示出心8，写出直线AB方程，并化简可得（3）正确;

设N为抛物线弦A8的中点，立即得（4）正确;

【详解】

2

,由得y=^~则¥=二，所以女户人二-1,kpB=&

由题意设A再,,叫x,/=2py,f

22PpPP

若弦A8过焦点，，x/2=-p2，••・即小与8=/_=-1，，月4，依，故（1）正确;

P'

29

以点A为切点的切线方程为）-在=土3-%），以点8为切点的切线方程为y-m=X（x-X2）,联立消去

2Pp2pp

》得％=>三，将》=笠三代入）「工=土（》-%），得丫=竽，所以P（与三,芋［,故（2）错误；

222pp2P122pJ

设N为抛物线弦AB的中点，N的横坐标为/=上券，因此则直线PN平行于y轴，即平行于抛物线的对

称轴，故（4）正确；设直线48的斜率为卜：力-）1_2/?2〃_*+々,故直线A8的方程为

x2-xlx2-x,2P

y_*=\：&（X7|）,化简得（&+々）》_24_芭々=0，故（3）正确，

2P2p

故选：D..

【点睛】

本题考查直线与抛物线相交，考查导数的几何意义，焦点弦性质，考查学生的推理论证能力，属于中档题.

【变式训练1-21.（2019•福建厦门双十中学高二期中）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形

常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点

的两条切线的交点在其准线上.设抛物线V=2Px（p>0）,弦AB过焦点，MBQ为阿基米德三角形,则△ABQ

的面积的最小值为

A.gB.p2C.2p-D.4P2

【答案】B

【分析】

利用导数的知识，可得心o=T,即三角形△ABQ为直角二角形，利用基本不等式，可得当直线AB垂

直x轴时，面积取得最小值炉.

【详解】

设4%,%）,8。2，%），过A,B的切线交于Q,

直线A8的方程为：x=my+^,

把直线A8的方程代入)尸=2px(p>0)得：y2-2pmy-p1=0,

2222

所以X+必=2pm,y,y2=-p,xtx2=^~,贝U|A31=V1+m>j(yl+y2)-4yty2=2P(1+m),

由导数的知识得："°，⑥o

2网2y]x2

所以.即。=7

所以AQJ.8Q,所以|AQF+|8Q|2=|AB|2,

因为S=1IAQI•I80区:(|AQ『+1BQ『)=口ABF=12p(l+>)『，

2444

当帆=0时，可得S的最大值为/,故选B.

【点睛】

本题是一道与数学文化有关的试题，如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，即当直线A3过抛物线的焦点,

则切线AQ与切线BQ互相垂直，能使运算量变得更小.

【变式训练1-3】.(2021•浙江高三期末)抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米

德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于

阿基米德三角形面积的已知A(-2,1),B(2,1)为抛物线C:/=4y上两点，则在A点处抛物线C的切线的

斜率为;弦A3与抛物线所围成的封闭图形的面积为.

Q

【答案】-1I

【分析】

由y=求得y'=gx,则左=y'(-2),写出在A点处和8点处抛物线C的切线方程，求得交点，再求

得阿基米德三角形面积，再根据弦与抛物线所围成的封闭图形的面积与阿基米德三角形面积的关系求解.

【详解】

因为y=,

4

所以y，

所以&=yk=_2=；x(_2)=T,

所以在A点处抛物线C的切线的斜率为-1,

切线方程为：y-l=-(x+2),即y=-x-l,

同理在B点处抛物线CD切线方程y=x-l,

fx=0

由〈y=-x-I\,解得〈

y=x-\=

所以两切线的交点为p(o,-1),

所以阿基米德三角形面积s=gx4x2=4,

所以弦48与抛物线所围成的封闭图形的面积为S=3x4x2=4x(=g,

故答案为：-1,q

例2.（2020年模拟题精选）已知抛物线E:x2=2py（p>0）的焦点为F,点P在抛物线E上，点P的纵坐标

为8,且月=9。

（1）求抛物线E的方程；

（2）若点M是抛物线E准线上的任意一点，过点〃作直线〃与抛物线E相切于点N,证明：FMYFN.

【解析】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为卜=-勺又点P的纵坐标为8,且忸可=9,于是8+^=9,

2

p=2,故抛物线E的方程为X=4），O

（2）设点,N（x0,y0）,与工°，：N=y'=^-x,切线方程为了一为二^^^一两），即

11丫2_4fr2_4A<r2_4A

>=2_/不一_1/2,令y=_i,可解得加=配二・・.M与，,T,又尸（0,1）,・・・屈=^-,-2,

）

242x012XGJ（2.6

而=（而，％-1）

...丽..成=?―4.%—2%+2="）-4_，3+2=0。:,FM人FN。

2/22

【考点点睛】当点尸在准线上时，AB过焦点，底边AB的中线平行于对称轴，且S%B的最小值为02。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）

设抛物线方程为：V=2px,设P（-多为）由前面步骤可知AB："即过焦点。

A8的中点为（卫生•，江而由上面步骤可知："&=p/n=yp,即底边AB的中线平行于对称

122/2

轴。

-22

Sp4B^|PF||AB|=gJ/??+/A/><卜］+电+p|p^l1+m~\m（yl+%）+2p|=p（l+/n）2,当〃z=0

时，其面积最小为P、

【变式训练2-1】.已知抛物线无2=4y的焦点为尸，A、8是抛物线上的两动点，AB所在直线经过抛物线的

焦点F,过A、8两点分别作抛物线的切线，设其交点为

证明：丽'.Q为定值.

【解析】：由题意，设直线AB的方程为AB:y=^x+l代入f=4y得f一4日—4=0

设A。,M）,B（X2,%）则％+W=4左,xtx2=-4

22

又V=2所以切线方程分别为MA:y=2X—二，MB:y=三%—三

'224-24

从而M（•多•一1）

k一=2,k=2芯+_=]_________________

所以FM%|+x2,故FM内+/4即万狂_|_诟所以由二4月=0为定值.

22

例3.已知抛物线。：/=2°M0>0）的焦点为尸，过点尸的直线分别交抛物线于A3两点.

（1）若以AB为直径的圆的方程为（x—2）2+（y—3『=16,求抛物线C的标准方程；

（2）过点A3分别作抛物线的切线4,4,证明：4,4的交点在定直线上.

【答案】（1）V=4y；（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据抛物线的定义可求圆心到准线的距离为4,从而可求抛物线的方程.

⑵设A（x，x）,3（9,%），利用导数求出45两点处的切线方程，从而可求《的交点的坐标，再联立

宜线和抛物线的方程可得彳/2=-/,从而可得《4的交点的纵坐标为定值，故4,4的交点在定直线上.

【详解】

（I）设A3中点为M，A到准线的距离为4,5到准线的距离为4，

M到准线的距离为d，则M（2,3）且d=%+台3+g

由抛物线的定义可知，4=|4月,4=忸月，所以4+4=|阴=8,

由梯形中位线可得d=4±L=4,所以3+^=4,可得p=2,

22

所以抛物线C的标准方程为f=4y.

2

无右，尤

⑵证明：设4（%,，,）,8（々,%），山V=2py,得了=丁，则y'=一,

2pp

所以直线4的方程为y-y

直线&的方程为丁一%=—{x~x2），

X.

y-y=：工（x-X）x=------

p，解得2

联立得

y-必="^-(x-x2)

12P

即直线41,的交点坐标为土芋，芋.

I2Ip）

因为AB过焦点尸（0,41，

I2J

由题可知直线AB的斜率存在，故可设直线AB方程为y-弓=丘,

代入抛物线V=2py中，得X?-2〃点一=0,

所以X/2=1p2,故j/'=-g'，所以/1，4的交点在定宜线丫=-§上.

【点睛】

关键点点睛：抛物线中过焦点的弦长问题要注意利用定义转化为到准线的距离问题，对于焦点在y轴上的

抛物线的切线问题，可以利用导数来求切线方程，从而简化运算.

【变式训练3-1】.已知动点。在X轴上方，且到定点尸（0,1）距离比到X轴的距离大1.

（1）求动点。的轨迹。的方程；

（2）过点P（l,l）的直线/与曲线。交于A，3两点，点A，3分别异于原点O,在曲线。的A，3两点

处的切线分别为4，4,且4与4交于点M，求证：M在定直线上.

【答案】（1）x2=4y（yw0）；（2）证明见解析

【分析】

(1)设Q(x,y)(y>0),由到定点E(O,1)距离比到％轴的距离大1，可得斤而二斤一丁=1,化简可

得点。的轨迹C的方程；

(2)由题意可知，直线/的斜率存在且不为1，设直线/的方程为丁=伙彳-1)+1/。1)与1=43,联立,

2

设4(石,%)，B(x2,y2),可得%+々，的值，又^=工，所以y'=5,可得切线4的方程，同理

42

可得切线4的方程，求出交点坐标，可得其在定直线上.

【详解】

解：⑴设Q(x,y)(y>0),

则有Jf+(y_l)2_y=i，化简得V=4y(ywO),

故轨迹C的方程为x2=4.y(y工O).

(2)由题意可知，直线/的斜率存在且不为1，

设宜线/的方程为y=%(x-1)+1(%H1)与V=4),

联立得了2一4"+4左一4=0，

设A(%(，y),5(孙力)，

则须+%=4Z,%/=4攵-4,

丫2Y

又>=亍，所以y=3，

所以切线《的方程为y=](x—xJ+X，

即,=工_五，

-24

同理切线4的方程为y=£》—今

联立得x=-、+"=2k,y-土上-k—\.

24

两式消去左得x—2y—2=0,

当k=1时，x=2,y=o.

所以交点M的轨迹为直线x-2y-2=0,去掉（2,0）点.

因而交点M在定直线上.

【点睛】

本题主要考查轨迹方程的求法，宜线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.

例4.已知点P是抛物线。：丁=,尤2-3的顶点，A,3是C上的两个动点，且序.而=-4.

4

（1）判断点。（0,1）是否在直线A3上？说明理由;

（2）设点M是钻的外接圆的圆心，点M到x轴的距离为d,点N（l,0）,求的最大值.

【答案】（1）不在，证明见详解；（2）厢+1

8

【分析】

（1）假设直线方程y="+b，并于抛物线方程联立，结合韦达定理.，计算西・丽=-4，可得力=—1，

然后验证可得结果.

（2）分别计算线段PA,P8中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点M的轨迹方程y=2/,

然后可得焦点F，结合抛物线定义可得|MN|-dW|N司+：,计算可得结果.

O

【详解】

（1）设直线方程＞=依+匕，4（与,乂）,3（工2，%）

根据题意可知直线斜率一定存在，尸（0,-3）

y=kx-\-b

则《1,nf_4米_4(3+0)=0

y=-x--3

I4

X\X2=-4(3+0),玉+工2=4左

△=(—4左＞+16/?+48

PA=(xl,yi+3),丽=(孙必+3)

则必/3=用%2+（X+3）（%+3）

PA-PBx,x2+y1y2+3（^+y2）+9

y]y2+。）（姐+。）=左2平2+姑（石+工2）+匕2

yx+y2=kx}+b+kx2+h=k^x}+x2）+2b

22

PA-PB=[k+1）xix2+（3k+kb）（<xi+x2）+b+6b+9

由那尸方=一

所以（左2+1）%%2+（3左+奶）（玉+为2）+〃+6b+9=-4

将中2=-4（3+8）,%+x2=4左代入上式

化简可得6+2人+1=0,所以人=—1

则直线方程为丁=丘-1,

所以直线过定点（0,—1）,△=（-4Z『+16b+48>0

所以可知点。（0,1）不在直线上.

⑵设

线段Q4的中点为当口）

线段网的中点为G（£,上铲）

v+3

则直线PA的斜率为X」一,

不

直线PB的斜率为*="土^

%2

可知线段E4的中垂线的方程为y-2r=—一三（X-?

2乂+312

14X2

由M=：%；-3,所以上式化简为y——rX+-4—1

4%,8

4x~

即线段R4的中垂线的方程为y=--

X8

同理可得:

4无，

线段PB的中垂线的方程为y=-1工+V—1

x28

4X2J

y=——rx+----------1

X832

则〈2=>

4K1尤］2+/2+X1%2-8

y=——rx+-y

%8M32

由（1）可知：玉+%=4左=-4（3+5）=-8

XM=k

所以《

%-+X,2+%X,―8JM=2内

y

M32

即“9,242）,所以点M轨迹方程为y=2/

焦点为,

I8）

所以|MN|-d=|MN|-（阳一1w+：

当A/,N,E三点共线时，|MN|-d有最大

所以|MN|-d=|MN|-|M/|+1W|NF|+」=辰+i

888

【点睛】

本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处6,第（2）问中关键在于得到点M的轨

迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.

1,

【变式训练4-1】.已知点P是抛物线C:y=-f—3的顶点，A，8是。上的两个动点，且中.而=_①

4

（1）判断点。（0,-1）是否在直线A3上？说明理由；

（2）设点M是△Q43的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程.

【答案】（1）点。（0,—1）在直线AB匕理由见解析（2）x2=^y

【分析】

（1）由抛物线的方程可得顶点P的坐标，设直线A3的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求

出数量积PAgPB，再由题意区.P耳=T可得直线A3恒过（。,-1），即得。在直线AB上；

（2）设A，B的坐标，可得直线P4，PB的斜率及线段Q4，PB的中点坐标，进而求出线段24，的

中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心M的坐标，山（1）可得M的横纵坐标关于参数%的表达

式，消参数可得M的轨迹方程.

【详解】

（1）点0（0,-1）在直线AB上理由如卜，

山题意，抛物线C：y=Lv-3的顶点为尸（0,-3）

4

因为直线与抛物线有2个交点，

所以设直线AB的方程为y="+仇A（石,乂），8（无2,%）

y=—%2-3,

联立丫4得至底一46一4（3+。）=。，

y=kx+h

其中A=16无2+16（3+6）>0,

xi+x2=4k,xtx2=一4s+3）X,X2=-4（/?+3）

2

所以X+必=左（百+x2）+2b-4k+2b,

22

yty2=（依+。）（仁+b^-kx}x2+姑（石+x2^+b

=-4k2（h+3）+4k2b+b1

=-\2k2+b2

因为雨=（为,y+3）,PB=（x2,y2+3）

所以PA•尸5=%/+（y+3）（%+3）

=MW+XX+3（X+>2）+9

=-4（b+3）+（-42左2+/）+3（4.2+乃）+9

=b2+2b-3

=4，

所以〃+2/?+l=S+l)2=0,

解得b=—l,

经检验，满足/>0,

所以直线AB的方程为y=履―1,恒过定点。(0,-1).

(2)因为点M是凶48的外接圆的圆心，所以点〃是三角形RL8三条边的中垂线的交点,

设线段Q4的中点为F,线段的中点为为E，

因为P(0,-3),设4再，乂)，8(马，必)

,>'i+3卜_%+3

所以F(5,甘)，风.，三)，kM=

%）x2

所以线段BI的中垂线的方程为：丁一胃二

y+32

因为A在抛物线上，所以y+3=%：,

r24

F4的中垂线的方程为：y-^-+3=--(x-T），即y=」x+（-i,

2x,8

4J，

同理可得线段PB的中垂线的方程为：y=-

x28

4¥

V=---X+———1X；%七（内+」2）

•x8

联立两个方程《',，解得，32

491x「+x?~+x,x9—8

y=---x+---1%=8

x28

由(1)可得玉+工2=4%,x1x2=-4(Z?+3)=二-8,

所以4=_当"=b)"'士子》2=（士长,）二=2k2,

5/o8

即点M(%,242),所以

即点M的轨迹方程为：x2

【点睛】

本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应用，属于难题.

【变式训练4-2】.抛物线C:Y=2py（p>0）的焦点为尸，过尸且垂直于丁轴的直线交抛物线。于M,N

两点，。为原点，AOMN的面积为2.

（1）求抛物线。的方程.

（2）P为直线/：丁=%（为<°）上一个动点，过点P作拢（物线的切线，切点分别为A8,过点P作的

垂线，垂足为“，是否存在实数月,使点P在直线/上移动时，垂足“恒为定点？若不存在，说明理由；

若存在，求出%的值，并求定点”的坐标.

【答案】（1）X2=4J；（2）存在这样的％,当%=-1时，H坐标为（。，1）.

【分析】

（1）先根据抛物线的性质,结合题中条件,得到|MN|=2p,由三角形面积列出方程求出即可得出抛

物线方程；

（2）先设A@，x）,8（w，%）,P（Xo，%），直线AP的方程为y-X=Mx-%），根据直线与抛物线相切，

得到y+X=芳，进而推出AB的方程为y+%=若，根据得到PH方程，由两直线方程,

即可求出处,确定出结果.

【详解】

（1）由题意得，点的纵坐标均为R,由f=2p-K,解得x=±〃，

22

则|MN|=2〃，

由&CMN=：|MN|-|OF|=g-2p-5=gp2=2,解得〃=2,

故抛物线C的方程为f=4y.

（2）假设存在实数用，使点P在直线/上移动时，垂足〃恒为定点，

设A（N,x）,％）,尸（%,y0），直线AP的方程为y-X=%（x-占），

1*2Y

将抛物线方程变形为y=A，则y=2，

所以％=工,

2

所以AP的方程为y-y=5（x-xJ.

因为片=4%所以直线AP的方程为y+y=芳.

把「（毛,%）代入AP的方程得为+y=岁.

同理可得%+M=竽.

构造直线方程为y+%=W，易知A,B两点均在该直线上，

所以直线A8的方程为＞+%=当.

故A3恒过点（（）,-%）•

因为

所以可设PH方程为x—%=_，（、_%）,化简得*=_三（丁_%_2）

所以PH恒过点（0,%+2）.

当一%=为+2，即为=-1时，AB与尸”均恒过。1），

故存在这样的％,当为=-1时，H坐标为（0,1）.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题第：问的关键在于用片分别表示出直线A3和尸”的方程；根据题中条件，先设点的坐标，以及

直线AP的方程，山直线与抛物线相切，得出直线AP方程，推出AB的方程，进而确定P”的方程，即可

求解.

【达标检测】:

A卷基础巩固

1.（2021•全国高三专题练习（文））数学家阿基米德建立了这样的理论：“任何由直线与抛物线所围成的弓

形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四.”如图，直线y=2与抛物线Y=4），交于M、N两点，M

则该点落在阴影部分的概率为（）

D

535-i

【答案】B

【分析】

求出N两点坐标，由阿基米德理论计算抛物线中弓形，从而得阴影部分面积，然后由几何概型概率公

式计算概率.

【详解】

由题可知，知（-2忘,2）,N（2^2,2）,

S^NM=2x4叵=8叵>

由阿基米德理论可知：弓形面积为S，=&x‘x4四、2=蛆也，5阴=8应-诞=逑

弓323阴33

8隹

二概率人二$阱4

SABNM8>/23

故选：B.

2.（2021•全国高二课时练习）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角

形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其

准线上.设抛物线y2=2px（p>0）,弦AB过焦点，△AB。为阿基米德三角形，则△43。为（）.

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随。位置变化前三种情况都有可能关系

【答案】B

【分析】

本题首先可根据题意绘出图像，然后设出直线AB，与抛物线方程联立得出％%=-/，再然后设出过点A的

切线，与抛物线方程联立得出〃4=»,用同样的方式设出过点B的切线，得出〃&=、2,最后根据《内=-1

即可得出结果.

【详解】

如图，结合题意绘出图像：

设A（±,y）,8（七,必），则y：=2pX1,y}=2px2,

设宜线=x-],

jfjyf=X_—P—

2

联立，'2,整理得了2-2p,/y-p2=0,则x+%=2p，"，yly2=-p,

j2=2px

2

设过点A的切线为勺（y-yj=x-/,

4（）」）1）=X--,整理得尸_2pK），+2p4j_y；=0,

联立

）2=2px

则△=（一2〃尢）2—4（2〃&]必一y：）=0,即pk\=M,

2

设过点B的切线为心（y-%）=x-或，同理可得/的=%,

则/桃2=%%=-P、即A#2=T，S-=T，

K\K2

故△48。是直角三角形,

故选：B.

【点

关键点点睛：本题考查直线与抛物线的相关问题的求解，考查韦达定理和判别式的应用，考查学生对“阿基

米德三角形''的理解，若两条直线的斜率乘积为-1,则这两条直线互相垂直，考查计算能力，是中档题.

3.（2020•全国（理））古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的

弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四.”如图，已知直线x=2交抛物线y2=4x于A,B两

点，点A,B在），轴上的射影分别为£>,C从长方形A8CD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位

于阴影部分的概率为（）

【答案】C

【分析】

求出A8两点坐标，由阿基米德理论计算抛物线中弓形，从而得阴影部分面积，然后由几何概型概率公式

计算概率.

【详解】

把x=2代入抛物线方程得y=±20,即A（2,2夜）,8（2,-2&）,|阴=4&,

必2=40,S皿=2x4血=8a,

S阴影=80-gx4&='

80

二所求概率为p厂S阴影=3=1・

SABCDS\/23

故选：C.

【点睛】

本题考查几何概型，解题关键是求出阴影部分面枳，读懂并能应用阿基米德理论是基础.

4.（2020•云南高三（理））抛物线上任意两点A、3处的切线交于点尸，称为“阿基米德三角形”.当线

段A8经过抛物线焦点F时，△B4B具有以下特征：①尸点必在抛物线的准线上；②△P48为直角三角形,

且③若经过抛物线V=4x焦点的一条弦为A8,阿基米德三角形为△PAB，且点P的

纵坐标为4,则直线A3的方程为（）

A.x-2^-1=0B.2x+y-2=Q

C.x+2y-l=0D.2x-y-2=0

【答案】A

【分析】

由△%B为“阿基米德三角形”，且线段A8经过抛物线V=4x焦点，可得：P点必在抛物线的准线匕可求

出点尸（-1,4）,从而得到直线PF的斜率为-2,又尸尸_LAB,所以直线AB的斜率为再利用点斜式即

可求出直线AB的方程.

【详解】

解：由题意可知，抛物线V=4x的焦点F的坐标为（1,0）,准线方程为：x=-1,山△以8为“阿基米德

三角形”，且线段AB经过抛物线产=4x焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，

二点P（-1,4）,

...直线尸产的斜率为：±9=-2,

-1-1

又・・・PF_LA5,

工直线A3的斜率为

：•直线A3的方程为：y-0=；（x-l）,即x-2y-l=0,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题.

5.（2014年辽宁卷）已知点A（-2,3）在抛物线C：V