解析几何（教师版）-2022高考黄金30题系列之数学选择题压轴题（新高考专用）

备战2022高考黄金30题系列之数学选择题压轴题【新高考版】

专题5解析几何

1.(2022•山东济南•一模)已知直线履7+2左=0与直线》+6-2=0相交于点P,点4(4,0),

O为坐标原点，则tan/。4P的最大值为()

A.2-73B•岸C.1D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

根据给定条件求出点尸的轨迹，再借助几何图形，数形结合求解作答.

【详解】

直线依一y+2%=。恒过定点M(-2,0),直线x+6-2=0恒过定点N(2,0),

而“1+(-1)•k=0,即直线依-y+2k=0与直线x+h-2=0垂直，nP与N不重合时，

PM±PN.PMPN=0>

当p与N重合时，PM-PN=0,令点P(x,y),则丽=(-2-x,-y),PN=(2-x,-y),

于是得-+>2=4,显然点P与“不重合，因此，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的

圆(除点例外)，如图，

观察图形知，射线”绕点4旋转NOAPe。》'与旋转到与圆O：f+y?=4相切时，ZOAP

最大，tanNOAP最大，

因|O4|=4,AP为切线，点P'为切点，I。昨2,NO巴4=90,则NO4P'=30。,

所以N04尸最大值为30,(tanZOAP)max=tan30°=与.

故选：B

【点睛】

思路点睛：涉及在垂直条件下求动点的轨迹问题，可以借助向量垂直的坐标表示求解，以简

化计算，快捷解决问题.

22

2.（2022・山东•潍坊一中模拟预测）己知环、心分别为椭圆C：„=lgb>0）的左、

右焦点，P是椭圆C上的一点，直线I：》=土亘，且尸。，/,垂足为Q点.若四边形。「耳用

a

为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A.佟,1）B.（>/2-1,1）C.（0,^-1）岑）

【答案】B

【解析】

【分析】

设则由题意可得|「。|=|耳用由此可得％=色叱-2c=2,2-02-2ac,再由

aa

x0G（-a,a）,可求出离心率的范围

【详解】

<2r2、

设P（x。，%），则。

回四边形。尸大名为平行四边形，团-。|=忻6|,

_6!+b~〜a~+b~_2.cr—c~—2<zc/、

0-------------------X=2C,BPX=-------------2c=------------£（-〃,〃），

aQ0aa

,2cr—d—2ac.

团一1<------------<1,

a

团-1<2-/-2e<1>得5/2—1<6?<1•

故选：B

3.（2022・山东烟台•一模）过直线x-y-%=0上一点尸作圆M：（x-2y+（y-3『=l的两条

切线，切点分别为A,B,若使得四边形的面积为近的点尸有两个，则实数，〃的取

值范围为（）

A.-5<m<3B.-3<m<5C.加<一5或/n>3D.a<-3或，〃>5

【答案】A

【解析】

【分析】

利用圆的性质可得S=g|PA||M4|+g|尸功M8|=|R4卜近，进而可得|尸”|=2直，结合题意

|2-3-n?|「

可得际?<2应，即得.

【详解】

由圆M：（x-2y+（y-3/=1可知，圆心M（2,3）,半径为1,

0|M4|=|MB|=1,

回四边形PAMB的面积为5=^\PA\\MA\+^\PB\\MB\=|PA|=@,

131PMi==业+田/=272,

要使四边形办MB的面积为"的点P有两个，

|2-3-77t|

<20

则"+（一］）-

解得-5<〃?<3.

故选：A.

4.（2022•山东•昌乐二中模拟预测）PQ为经过抛物线V=2px焦点的任一弦，抛物线的准线

为I,PM垂直于/于M,QN垂直于/于N,尸。绕/一周所得旋转面面积为以MN为直

径的球面积为Sz，则（）

A.E>S2B.S,<5,C.£>S2D.St<S2

【答案】C

【解析】

【分析】

解：设设尸。与x轴夹角为凡令|「耳=%，目=〃，根据抛物线的定义可知归闸=加,

\QN\=n,再根据圆台的侧面积公式及球的衣面积公式得到S,=乃（相+〃）2、

S2-7t{m+ri^sar0,即可判断；

【详解】

解：设尸。与x轴夹角为仇令|「可=，"，|Q尸卜〃，则1PM=人，|例=〃,则

222

5,=7v[\PM\+\QN\）-\PQ\=7v{m+n^,S2=^|MW|=^（w+w）sin6,所以SR邑当且仅当

。=90。时等号成立；

故选：C

5.（2022•山东•济南一中模拟预测）已知直线/：x+y-l=0与圆C：（x-a）2+（y+a-l）2=l

交于A,B两点，。为坐标原点，则砺.丽的最小值为（）.

A.-B.C.5/2D.g

222

【答案】A

【解析】

【分析】

uii'uun,uuinuiruuumr.min.2

J咫意力统/n园心c，、.OAOB=（OC+C4jx.（oc+c/?x）=|oc|--l,"iOC>]；；"直线/肘，

|（?C|取得最小值得出答案.

【详解】

圆C的圆心。（〃,1一〃）,满足4+（1—〃）一1=0,所以直线/过圆心C,

uiruun/uuuiuir八儿即uir皿皿uruniuir[Uuup

所以QAOB=（OC+C4x）（OC+C8x）=（0C+C4x）.（z0C-C4x）=|0q-1,

iuun|2.1l-llJ2

当oc垂直直线/时，pq取得最小值，所以|oq的最小值为-

所以|UUoUc|2|的得最小值1为故0UU40ULU3的最小值为-1

故选：A

6.（2022•山东省实验中学高三阶段练习）如图，已知F为双曲线C:二-与=1（“>0力>0）的

a~b~

右焦点，平行于x轴的直线/分别交C的渐近线和右支于点AB,且

NOAF=90。,NOBF=NOFB,则C的渐近线方程为（）

【答案】c

【解析】

【分析】

设仇由题意求出〃='，利用Q卸=|0耳解得a=b,即可求出渐近线

方程.

【详解】

双曲线c：W-W=l（。>°，z^>°）的渐近线方程为y=±纥•

a~b~a

_b（、

设3（团川，则由a，解得

ab

因为I30AF=90。，所以砥L%=-1,即ma，得”=一

----cc

b

99J>>04

又点B（孙〃）在双曲线C上，所以[-[=1,将〃=丝代入，得病="-丁.

屋Z?cC

2249,•）

又自所以侬=防.所以〃/+“即/C-*+学_=化简得j,即

08F=E）0F6,2=02,02,2a2=

c~c~

a=b,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.

故选：c

7.（2022•山东荷泽・一模）已知两条直线4：2x-3y+2=O,，2：3x-2y+3=0,有一动圆（圆

心和半径都在变动）与34都相交，并且44被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,

24,则动圆圆心的轨迹方程为（）

A.(y-1)--x2=65B.x2-(y-1)'=65

C.j2-（x+1）'=65D.(x+1)--y2=65

【答案】D

【解析】

【分析】

利用点到直线距离公式与圆内弦长与半径关系即可求解.

【详解】

|2x-3y+2|

设动圆圆心尸（x,y）,半径为r,贝I」尸至此的距离4=产到4的距离

713

|3x-2y+3|

用因为44被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,

2产毋=26,2产丁=24,化简后得，=169,r-d；=144,相减得6^=25,

氏2"段一•3|代入后化简可得同+1）2一名

将4==65.

VI3

故选：D.

22

8.（2022•山东临沂•一模）已知K分别为双曲线C：=一与=1（。>0,&>0）的左,

arb~

右焦点，点P在第二象限内，且满足恒P|=a,（哥+EK）•可=0,线段”尸与双曲线C

交于点。，若用"=3|耳。.则C的离心率为（）

△百730,而D.运

A・-----DR.------L•-----

35610

【答案】C

【解析】

【分析】

取耳P的中质E,由已知得玛由三线合一得136Gp是等腰三角形，表示出各边长,

再由余弦定理表示cos在6E,再由双曲线的定义表示内。，在国&中由余弦定理列式,

得关于4c的等式关系，即可求得离心率.

【详解】

取线段4P的中点E,连接巴E，

因为（呼+而）.哥=0,所以g耳P,

所以回EKP是等腰三角形，且怩"=|6用=2c,

在MA4％中,山同一万=a,

COSZF2F{E=

\FtF2\2c4c

连接心。，又比。|=£，点。在双曲线c上，由优。一忻。=2%则优0=T，

忻用'IRQ『一优Qf(2c『+(?-(/)[”

在团6。0中,cosZF2FiQ=,整理得

2|甲讣闸2x2cx-4c

3

12c2=17/,

所以离心率e=£=画.

a6

9.(2022•山东荷泽•高三期末)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、

重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作

AABC,AB=4C,点5(-14),点C(3,5),过其“欧拉线"上一点P作圆O：=+y2=4的

两条切线，切点分别为M,N,则|肱V|的最小值为()

A.72B.2拒C.&D.2-73

【答案】B

【解析】

【分析】

求中垂线方程，结合点线距离判断"欧拉线”与圆O的位置关系并求出圆心到直线的距离,

由几何关系判断|MN|的最小时P的位置，进而求的最小值.

【详解】

由题设，8,C中点为(1,3),"欧拉线"斜率为％=-7L=-l,

kBC

所以“欧拉线"方程为y-3=-(x-l),即x+y-4=0,

4

又。到x+y—4=0的距离为”=志＞2,即“欧拉线"与圆。相离，

要使|MM|的最小，则在与Rl^PN。中NMOP=NNOP最小，即NMPN最大,而

仅当QP，"欧拉线"时AMPN最大，

所以d=|0P|=2点，则|MN|=2rsinzWP,且圆。半径r=2,cos/VOP='=立，

d2

所以sinZNOP=当，BPIMN\min=2&.

故选：B

10.（2022•广东广州•一模）设抛物线E：V=8x的焦点为F,过点M（4,0）的直线与E相交于

A,B两点,与E的准线相交于点C,点B在线段AC上，|BF|=3,则△BCF与“ACF的面

积之比1班=（）

3AAe/

1111

A.—B.-C.—D.一

4567

【答案】c

【解析】

【分析】

根据抛物线焦半径公式得到8点横坐标，进而利用抛物线方程求出8点纵坐标，直线A8的

SBC必一y

方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用产nrr=弁=一上r求

SgAC%-），c

出答案.

【详解】

如图，过点B作3D垂直准线x=-2于点。，则由抛物线定义可知：|8尸|=|砒＞|=3,

设直线AB为x=my+4,A（X1,yJ,8（々,%），。（一2,人），不妨设”?＞0,则%＞。，％＜。，

所以丑+2=3,解得：x2=l,则父=8占=8,解得：y2=-2yf2,则8（1,-20）,

所以一2""+4=1,解得：机=逑，则直线A8为x=±&y+4,

44

所以当x=_2时，即里y+4=-2,解得：%=Y也，则C（-2,-4五），

联立x=my+4与y2=8x得：）3—8加）」32=0,则y1y2=-32,

所以止浴其中考=爷=日=急4

11.（2022•广东茂名•高三阶段练习）已知双曲线C：斗-营=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分

别为《，尸2,双曲线的左顶点为A,以环心为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,。两

点，其中点。在y轴右侧，若恒。？2|明，则该双曲线的离心率的取值范围是（）

A.（1,6]B.[6,+co）C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先由题意，得到以£鸟为直径的圆的方程为公+/=,不妨设双曲线的渐近线为y=2万，

a

求出点P,Q的坐标，结合条件求出a,c之间的关系，即可得出双曲线的恩心率的取值范围.

【详解】

h

由题意，以耳心为直径的圆的方程为V+y2=c2,不妨设双曲线的渐近线为y=?x,

SQ（a,b）,P（-a,-b）.

又A为双曲线的左顶点，则A（-40）,

叫AQ|=+a?+"2,\AP\=+b2=b，

&\AQ\>2\AP\,

0^（a+a）2+/?2>2b,即44223d-/）,

7

^e2<-,又e>l,

回ee（l呼]•

故选：C.

12.（2022•广东•金山中学高三阶段练习）已知双曲线C：£-*=1（。>0,〃>0）的右顶点为A,

OB=5OA，若在双曲线C的渐近线上存在点M,使得&AM8=90。，则双曲线C的离心率的

取值范围为（）

A.~~^+°0B.L3，]C.[4,+8）D.（1,5/5]

【答案】B

【解析】

【分析】

求出AB点坐标，以AB为直径的圆£）,问题转化为双曲线C的渐近线与圆。有交点，利用

点到直线距离得到不等关系，求出离心率的取值范围.

【详解】

依题意，A（a,0）,8（5“，0）,则以4B为直径的圆D：（x-3a）2+/=4a2；flnZAAffi=90°,

故双曲线C的渐近线与圆。有交点，故圆心。（3小0）到百线云-殴=0的距离〃=%,,2a,

则3”,2c,故9c2—9次,4c2,故5c2,,9/,则i<e=£”也，故双曲线C的离心率的取值

故选：B.

二、多选题

13.（2022・重庆八中高三阶段练习）已知双曲线C：三-X=l和点A（0/2）,Ft,巴分别

916

为双曲线的左、右焦点，尸为双曲线上在第一象限内的点，点/为△尸耳工的内心，则下列

说法正确的是（）

B_$41g___5

A.|PA|+|P周的最小值为25=

S4PIR.S4晔3

3_,_______

C.e（0,20）D.若「用=可归身，Pl=xPF\+yPF[,则

【答案】BC

【解析】

【分析】

首先根据双曲线方程求出焦点坐标，根据双曲线的定义判断A,设△PKE的内切圆的半径

为『，利用面积公式及双曲线的定义计算即可判断B,设/（x”yj在耳鸟上的垂足为“，根

据切线长定理可得|班|=。+*即可得到H的坐标，记渐近线y=；x的倾斜角为。，则

tan*,记少"=。则2。40,左一6）,利用临界值求出tana40,2）,即可求出必的取

\PF,\\PI\3

值范围，即可判断C,延长P/交耳K于点由角平分线定理得到祸=端=,，即可

求出X、y,即可判断D；

【详解】

解：因为双曲线C：兰一£=1,所以a=3,b=4,c=行万=5,则耳（-5,0）、玛（5,0）,

双曲线的渐近线为y=±gx,因为A（0,12）,所以国=6+（-12『=13,所以

\P^+\PFl\=\PA\+\PF2\+2a>\AF2\+2a=l9,当且仅当A、P、玛在同一直线且P在A玛之

间时取等号，故A错误；

S-忻用|一I1717Io勺

设△「/=；5的内切圆的半径为小则^^—=--2---------=/'2、=

S4PIR-S&PIF?J.|p/7|r_J.|p/7|r|「耳|-|尸引2a3

故B正确；

设在KB上的垂足为"，根据双曲线的定义及切线长定理可得

\PF\-\PF^=2a=\HF\-\HF^,又12cdHj+lHE，所以1"国=。+。，所以”3。），记

44,x

渐近线y犬的倾斜角为凡则tan"g,记N/E4=a,则2a£（0,乃一6）,当

tan2a=tan（乃一8）,即一白；,：,解得出。=2,所以tana«0,2）,则

y=|，段tanae(O,4),所以以仍=g僧用《0,20),故C正确;

|「耳|=3忸工|

1121/用=18

延长P/交耳用于点M，由，"2解得•由角平分线定理可知

尸用=12'

JPMHP闾=6

蜀|PF|=阖\MF\=53,所以.1岫卜,4,又由角平分线定理知\PF鬲,\=\扁Pl\=『3过点」作NG/阴用

交尸小尸鸟分别于点N、G点，则PN所3以=NI=：3，所以—P/="2P__N_+；3—PG,因为

rO2ICJ255

3

x——

_,____3x2103

PI=xPFy+yPFz,所以x+y=:又一=§,解得；,所以y—x=4,故D错误;

丁y=—

V20

14.(2022•重庆八中模拟预测)己知圆M：x2+(y-2)2=l,点P为x轴上一个动点，过点

P作圆例的两条切线，切点分别为A,B,直线AB与MP交于点C,则下列结论正确的是()

A.四边形周长的最小值为2+2道B.|AB|的最大值为2

C.若「(1,0),则△RW的面积为1D.若。(乎,o),则|CQ|的最大值为:

【答案】ACD

【解析】

【分析】

对A,可将四边形出MB周长转化为2+2|A”,结合勾股定理可求最值；对B,由圆内最长

的弦为直径可判断错误；对C,由几何关系先求出由等面积法可求出BC,CP,结合面

积公式可求久.相；对D,分点户是否与原点重合分类讨论，当点尸不与原点重合时，求出

切线长方程和直线MP方程，联立可求动点C轨迹，由点与圆的位置关系可求|C0a.

【详解】

如图所示，对于选项A,四边形以M8的周长为2+怛”+恒儿

因为怛P|=|AP],所以四边形B4MB的周长为2+2|AP|,设|MP|=（22）,当尸与原点重合

时最小，则|4@=户工，则四边形以MB的周长为27FZ+2,则当f取最小值2时，四边

形以用8的周长最小，为2G+2,故A正确；

对于选项B,因为圆M：¥+（k2）2=1的直径为2,所以|>15卜2,故B错误；

对于选项C,因为P（LO）,所以|阴=逐，|朋=2,由等面积法可得=•忸C|,

求得取|=卡，|AB|=2，|PC|=-^,所以△as的面积为:网¥0=],故C正确；

对于选项D,当点P与原点重合时，|网=2,则|用=6,则|MC|=；,则C（0，T）,则

|C2|=J-+—=—：当点P不与原点重合时，设P（肛O）（mrO）,则切点弦A3的方程

11y4164

为如-2y+3=0（利用结论：过圆外一点夕伍,几）的切线弦方程为

2

5-。）（*-。）+（.%-。）（丫-/0=/求得），直线MP的方程为y=-'x+2,联立两方程，可得

tn

c（总彳等善），消去m,得动点C的轨迹方程为X2+。-\J=gj.又因为。[乎,0）

所以|CQLX=J-乎）+（（）+；='，故口正确.

故选：ACD.

15.（2022•重庆市第十一中学校高三阶段练习）曼哈顿距离（或出租车几何）是由十九世纪的

赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇,是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，

点,%）和点。（孙％）的曼哈顿距离为：40Txi-引+|乂一%|.若点尸（与，y）为

C：j?+y2=4上一动点，。（%2，%）为直线/：履一y-2&-4=0（上e[-g,2]）上一动点，设

为P,。两点的曼哈顿距离的最小值，则心伏)的可能取值有()

A.1B.2C.3D.4

【答案】ABC

【解析】

【分析】

直线/恒过定点(2,-4),画出图形，对人分类讨论并借助导数求出的取值范围即可作答.

【详解】

直线/：6一丫一2左—4=0(女€[-；,2])恒过定点42，-4),

|2k+4|汽3

由点(0,0)到直线履—y-2Z-4=0的距离I——>2得4>__,即直线/：履_y_2k_4

Vl+224

=0(Aw[-；,2])与圆相离，

⑴当/的斜率k满足由<1时，作出一条纵截距为负数的直线平行于/,如图：

要使得”?最小，尸应位于切点处，作轴交直线/于点C,过Q作直线。施PC于点B,

当。位于点C的左方时，LPQ=\PB\+\QB\>\PC\=LPC,当Q位于点C的右方时，同理也有

LpQ>Lpc,于是有L(k)=Lpc,

设直线y=^+r与圆相切，则有-/$=2=，=-2拒至，即切线的纵截距r=_2jB，

7、+k~

而直线/的纵截距为-2后-4,

2

L(k)=LPC=-2J1+2-(-2k-4)=2)t-2jl+k+4

24ii

m=2—^^=>0,L⑹在[-不1]上递增，L(l)=6-2^,Z,(--)=3->/5；

■J\+k222

⑵当/的斜率k满足上e(l,2]时，作出一条纵截距为负数的直线平行于/,如图：

要使得最小，尸应位于切点处，作PC0），轴交直线/于点C,过。作直线QS0PC于点B,

当Q位于点C的左方时，LPQ=\PB\+\QB\>\PC\=LPC,当。位于点C的右方时，同理也有

LPQ>Lpc,于是有L伏）=LPC,

设直线y=区+f与圆相切，则有7里〒=2=，=-27i7正，即切线的横截距一上=2一+*,

J1+公kk

4

而直线/的横微距为2+丁，

k

L(k)=L=2+----------------

PCkk

42

L'(k)=淳+可寿L/）在口,2］上递减,

£(1)=6-272,L(2)=4-石,

综上得L（k）e［3-75,6-2应］,则选项ABC满足.

故选：ABC

【点睛】

思路点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几

何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.

16.（2022•辽宁・大连二十四中模拟预测）已知抛物线C：V=2px,C的准线与x轴交于K,

过焦点厂的直线/与C交于A、B两点，连接AK、BK,设A8的中点为P,过P作A8的垂

线交x轴于Q,下列结论正确的是（）

A.|AF|.|B/C|=|^|.|BF|B.tan乙4依'=cosNPQF

C.AAKB的面积最小值为fD.|A^=2|F2|

【答案】ABD

【解析】

【分析】

设直线A8的倾斜角为a,即财&=a,设4（为乂），矶毛,%），/如为）.可根据角平分线

的性质判断A；

过A作4。取轴，垂足为。，表示出tan/AKRcos/PQF,即可判断B；

S&AKB~S-AKF+SABKF，数形结合即可判断C；

求出也方程，令尸。求出。的横坐标，求出|的卜|网2|即可判断它们的关系，由此判断D.

【详解】

设直线A8的倾斜角为a,即MEt=a,设P&,%）,

AFIAK\

①若则谒=扇，则根据角平分线的性质可知，*轴为MKB的

角平分线，设直线/：x=my+],代入抛物线方程得y2-2pwy-p2=0,

所以y+%=2pm,月力=_p2,

k4-"-‘I____|_2i_।%_2如，|%+。（必+丫2）_0

所以+

p.£+Pmy+p（町+p）（，佻+p）

X|+'r2

・2

所以x轴一定是财K8的平分线，故A正确;

②过A作月皿轴，垂足为。，

71

ZAKF=-^―cos/PQF=cosa=sina=-网r^—=超---,

则tan,p,*J

x+—

12

r.tan/AKf=cos/PQ/7,故B正确;

③S.AKB=S.AKF+S’B"=giKFUy-，-加-必|…曰•2p=",当初-%|=I明=22，

即ABSv轴时，取等号，故八4/®的面积最小值为故C错误;

4M7f心-%）=2,（…），则匕山房十

对于D：,

团尸。方程为：丫-%=-旅（X-毛）,

令y=0得，-%=-&（》-%）=》=0+与，团Q（p+^,O）,

pP

&\FQ\=p+xn--=-+x0

团[43|=玉+赴+/?=2玉）+2=2忻。,故D正确.

故选:ABD.

V-y2

17.（2022•辽宁葫芦岛•高三期末）已知耳,尸2分别为椭圆C:>方=l（“>b>0）的左、右

焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），耳心外接圆的圆心为H,耳心内切圆的

圆心为/,直线P/交X轴于点M,。为坐标原点.则（）

A.存在2eR,使得。了=。户+九+|丝旬成立

两屈的最小值为！

B.

C.过点/的直线/斜率为吊，且与椭圆相交于A,B两点，线段AB的中点为N,直线ON

2

的斜率为勾，则—b

IM

D.椭圆C的离心率e=:

PI

【答案】ABD

【解析】

【分析】

所PF2

对A,根据篇表示与所同向的单位向量，第表示与而同向的单位向量，进而判断

—>—>

PFPF

出丁}十丁2与由共线，最后判断答案;

PF】PF2尸I

对B,根据局>=而+凡）然后结介平面向量数量积的几何意义与基本不等式求得答

案;

对C,利用"点差法”即可求得答案；

对D,运用角平分线定理即可求得答案.

【详解】

—»—>—»—>

P居PF；PF2

对A,T及示与PG同向的单位向量,丁表示与京同向的单位向量，所以一

2

PF2WPF,

—>—>

与防共线,而O/=OP+Ao6l-OP=PI=

对B,鬲.丽=；研曲+无）=鬲.曲+鬲诙），取线段PK的中点G,则HG0PK

212.2

由平面向量数量积的定义可知，PHPF^PG=-PFt，同理鬲•展」年，所以

TT1->2-2、

PHPO=-PF{+PF?=:1|诙『+|成『

4/

由基本不等式易得/叫+时,用田啊n|而山出2T|居;|+|而|J=2/,

\7

当且仅当|而|=|屈;|=°时取B正确；

对C,设力&，M）,B（W，%），贝l|N（f，巴上）,所以：=丛三&

I22）-+—v%）+x,

2

<+2L=i

有因力/b2=(』+々)(%一—)।(1+%)(1-%)一°二%一丫2X+X、，即

或父/护…2%+々

L2b2

斗2=_勺£错误;

对D,易知，阴，低分别是/尸耳鸟,/尸鸟耳的角平分线，由角平分线定理可知:

向=m=也=|£M|+|F2M|=空,一

\PF,\+\PF\2aa

\PI\1^1I”I2

故选：ABD.

18.（2022・辽宁・沈阳市第一二O中学高三阶段练习）已知点尸是抛物线V=2px（p>0）的焦

点，AB,CQ是经过点尸的弦且AS0CQ,A8的斜率为A,且％>0,C,A两点在x轴上方.则下

列结论中一定成立的是（）

____3

A.OCOD=--p2B.四边形ACBO面积最小值为16P2

4

111...

C.西+西=而D,若|4斗忸川（=4p2,则直线CD的斜率为

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用抛物线的极坐标方程求出|AF|,忸尸然后即可计算求解，判断出各选项的真

假.

【详解】

|AB|=^J-,|CD|=——里~^=-^—111

设AS的倾斜角为夕，则有sin-。sin2（e+X）。，所以须^+叵|=而，

C正确；

\AF\=—^—,\BF\=—^—,若|4尸HBF|=4P。贝人吊，=（，tan6=且，

直线CC的斜率为-6，D正确；

S=^B\\CD\^.y=-^―..8p2，所以B不正确；

ABCD2sin；。cos。sm20

2

设C（%,yJ,Z）（X2，y2），由抛物线过焦点弦的性质可知，砧=gyg=-p2,

_,3°

OC-OD=XjX2+yly2=--p^'所以A正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质应用，抛物线的极坐标方

程的应用，考查学生的数学运算能力，属于较难题.

19.（2022•江苏南京•高三开学考试）已知直线/过抛物线C：一=4）,的焦点「，且直线/与

抛物线交于4B两点，过A,B分别作抛物线C的切线，两切线交于点G,设4（不耳）,巩々,%），

则下列选项正确的是（）

A.x,-x,=-4B.以线段4尸为直径的圆与），=-1相切

C.GF^ABD.当而==2而时，直线/的斜率为±20

【答案】AC

【解析】

【分析】

A选项，直接联立韦达定理求解；B选项，计算出圆心到〉=-；的距离和半径进行比较；C

选项，写出A,8两点处的切线方程，联立求出点G坐标，

通过向量检验垂直关系；D选项，利用/=2万，求出A，8两点坐标，直接计算斜率.

【详解】

对于A,抛物线的焦点厂（0,1）,准线方程y=-l,设直线/的方程>=h+1,与抛物线方程

联立得x?—4fcr—4=0,；・X|多=-4,止确；

对于B,Ap=y+1,以线段AF为直径的圆圆心为佟，铝、至恒线y=-［的距离为"9

、乙乙）LL

A/?a

力芋，所以以线段AF为直径的圆不与丫=-；相切，错误；

对于C,y==点A处的切线方程为y-兀=今卜-/），即了:5工-今，

点8处的切线方程为y=亨，联立得G（后强，牛）

即G（2A,-1）,GF=[-2k,2）,AB=（x2-xl,y2-yl）=（x2-xl,kx2-kxiy齐•丽=0,故GF^AB,

正确；

对于D,AF=2FB^一再=2/，x,-x2=-4,解得赴=±及，当％=加时，%=—2a,

-2一%「

4_）‘2一>1_4_入2+X__V2,错误.

x2-%,/-&44

故选：AC.

【点睛】

本题关键在于选项C和D的判断，C选项要通过导数写出A,B两点处的切线方程，进而联

立求出点G坐标，D选项将标=2方转化成坐标关系，

求出A,B两点坐标.

22

20.（2022•江苏扬州•高三期末）在椭圆C：二+与=1（a>b>0）中，其所有外切矩形的

a~b

顶点在一个定圆八/+产=层+济上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家

G.Monge（1745-1818）最新发现.若椭圆C：y+/=1,则下列说法中正确的有（）

A.椭圆C外切矩形面积的最大值为4点

B.点尸（x,y）为蒙日圆「上任意一点，点〃卜26,0）,%（0,2港），当回PMN最大值时，

tan回产MN=2+G

C.过椭圆C的蒙日圆上一点P,作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点。，若kOP,kOQ存

在，则kOPkOQ为定值

D.若椭圆C的左右焦点分别为F/,尸2,过椭圆C上一点P和原点作直线/与蒙日圆相交于

33

M,N,且则=5

【答案】BCD

【解析】

【分析】

先求得椭圆C的蒙日圆，然后根据外切矩形的