湖南省娄底市2021年中考数学试卷试题真题(含答案解析)

湖南省娄底市2021年中考数学试卷

一、单选题（共12题；共24分）

1.2021的倒数是（）

A2021B.-2021C.表

2021

【答案】C

【考点】有理数的倒数

【解析】【解答】A：倒数是本身的数是1和-1,选项错误.

B：一2021是2021的相反数，选项错误.

C：2021x嘉=1,选项正确.

D：2021x（-^）=-l,选项错误.

故答案为：C

【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此判断即可.

2.下列式子正确的是（）

A.a3—a2=aB.（a2）3=a6C.a3-a2=a6D.(a2)3=a5

【答案】B

【考点】同底数基的乘法，合并同类项法则及应用，基的乘方

【解析】【解答】A、a3-a2=a,因为£和£不属于同类项，不能进行加减合并，故A错误；

232x36

B、（a）=a=a，故B正确；

3235

C、a-a-__a+2=a,故C错误；

232x36

D、（a）=a=a,故D错误•

故答案为：B.

【分析】根据合并同类项、基的乘方、同底数基的乘法分别进行计算，然后判断即可.

3.2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学

爱好者参加.阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风

尚.5万用科学记数法表示为（）

A.0.5X10sB.5X104C.50X104D.5X105

【答案】B

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：5万=50000=5X104.

故答案为：B.

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中n为整数.确定n的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；

当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此解答即可.

4.一组数据17,10,5,8,5,15的中位数和众数是（）

A.5,5B.8,5C.9,5D.10,5

【答案】C

【考点】中位数，众数

【解析】【解答】这组数据按照从小到大的顺序排列为：5,5,8,10,15,17,

因此中位数为：%心=9,众数为：5,

故答案为：C.

【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的

那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数；众数：

是一组数据中出现次数最多的数据，据此解答即可.

5.如图，点E.F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE=DF,则四边形AECF是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】A

【考点】平行四边形的判定，矩形的性质，三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：由题意：

AD//BC,：.ZADB=/CBD,

•••ZFDA=NEBC,

又•:AD=BC,BE=DF,

ADF=△CBE（SAS）,

•••AF=EC,

•••ZAFD=ZCEB,：.AF//EC,

四边形AECF为平行四边形，

故答案为：A.

【分析】证明△4DF=△CBE（SAS）,利用全等三角形的性质得出AF=ECZAFD=/CEB

利用内错角相等两直线平行，可得AFIICE,根据一组对边平行且相等可证四边形AECF为平行四边形.

6.如图，AB//CD，点E.F在AC边上，己知4ED=70°,ZBFC=130,则/B+/D的

度数为（）

D

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】C

【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角及其性质

【解析】【解答】解：取ED.FB的交点为点G，过点G作平行于CD的线MN,如下图:

根据题意：/CED=70°,ZBFC=130°,

•••/EFG=50°，

•••NEGF=180°-50°-70°=60°,

•••MN//CD//AB,

•••/B=/BGN,ND=/DGN,

:./B+/D=/BGN+/DGN=/BGD,

•••ED.BF相交于点G,

•••NEGF=/BGD=60°，

:./B+/D=6Q°，

故答案为：C.

【分析】取ED.FB的交点为点G,过点G作平行于CD的线MN,利用邻补角定义及三角形内

角和求出NEGF=60。，根据平行线的性质得出ND=NDGN,从而可得

/B+ND=/BGN+/DGN=/BGD,由对顶角相等可得4GF=NBGD=60°,继而得出结

论.

7.从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取

一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）

113

AqB.-C,-D.1

【答案】B

【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形，概率公式

【解析】【解答】解：r分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，

其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆；

现从中任意抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为1=1,

故答案为：B.

【分析】由四张形状、大小相同的卡片中分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大

小相同的卡片中，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆，然后利用概率公式计算即可.

8.25m是某三角形三边的长，则7（m-3）2+V（m-7）2等于（）

A.2m—10B.10—2mC.10D.4

【答案】D

【考点】二次根式的性质与化简，三角形三边关系

【解析】【解答】解：:2,3,m是三角形的三边，

5—2<m<5+2,

解得：3<m<7,

:.yj(m—3)2+—7)2=m—3+7—m=4,

故答案为：D.

【分析】根据三角形的三边关系，可得3<m<7,然后根据二次根式的性质求解即可.

9.如图，直线y=x+b和y=k%+4与x轴分别相交于点4(-4,0)，点8(2,0),则解

【答案】A

【考点】一次函数与不等式(组)的综合应用

【解析】【解答】解：..,直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点4(—4,0)，点8(2,0),

观察图象可知或；[]1解集为一4<x<2,

故答案为：A.

【分析】根据图形可得当x>-4时，直线y=x+b的图象在x轴上方，当x<2时，直线y=kx+4的图

象在x轴上方，然后求出x的公共部分即可.

10.如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当。A与直线l-.y=-^x只有一个公

共点时，点A的坐标为()

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

【答案】D

【考点】勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】如下图所示，连接力B,过B点作BC//OA,

此时B点坐标可表示为（x,力），

OC=^\x\,BC=|%|,

在Rt△OBC中，OB=VBC2+0C2=

又半径为5,

AB=5,

BC“0A,

△AOBOBC，

则”=竺="

BOOCBC

045

・•・'

0A=13,

左右两侧都有相切的可能,

A点坐标为（±13,0）,

故答案为：D.

【分析】连接AB,过B点作BC//0A,此时B点坐标可表示为（/得x）,从而求出OC、BC、

OB,证明△A0B-A0BC,可得*=芸=册，代入相应数据可求出OA,由于左右两侧都有相切的可

BuOCBC

能，据此求出点A坐标.

11.根据反比例函数的性质、联系化学中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y=

・（a为常数且a>0,x>0）的性质表述中，正确的是（）

①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③0<y<1；④0<y<1

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】A

【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质

Xx+a-aaa

【解析】【解答】解:-------=1--------_隽+1

y=ma+xa+x-

文:a>0,x>0,

・•.随着x的增大，a+x也会随之增大，

.­.随着x的增大而减小，

a+x

此时u-越来越小，则1-4-越来越大，

a+xa+x

故随着X的增大y也越来越大.

因此①正确，②错误；

,/a>0,x>0,

/.0<-a-<1,

a+x

0<1----<1,

a+x

故。<y<1,

因此③正确，④错误；

综上所述，A选项符合.

故答案为：A.

【分析】利用反比例函数的性质，将原函数进行变形丁=1一怂,由于。>0*>0，可得随着x的

增大,越来越小，贝I1一看越来越大，据此判断①②；由于a>0,x>0,可得0<工<1,

a+xa+xa+x

即得0<1-*<1,据此判断③④.

12.用数形结合等思想方法确定二次函数y=x2+2的图象与反比例函数y=：的图象的交点的横坐标

Xo所在的范围是（）

111133

A.0<x0<-B.-<x0<-C.-<x0<-D.-<x0<1

【答案】D

【考点】反比例函数的图象，二次函数y=ax八2+bx+c的图象

【解析】【解答】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：

由图知，显然|<XO<1，

当X。=：时，将其分别代入丫=/+2与丁=：计算得;

此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，

3

■--<x0<l

故答案为：D.

【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，根据函数图象进行判断即可.

二、填空题（共6题；共7分）

13.函数y=五=！中自变量X的取值范围是.

【答案】x>l

【考点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】根据题意得：x-l>0,

解得：x>l.

故答案为：X>1.

【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-120,解不等式可求x的范围.

14.如图所示的扇形中，已知。4=20,AC=30,痂=40，贝ijC0=.

【答案】100

【考点】弧长的计算

【解析】【解答】解：设扇形圆心角度数为n。，

•••OA=20,脑=40,

在扇形40B中，AB=2n-OA-,

解得：n=V'

・•・在扇形COD中，OC=04+40=20+30=50,

360

n

=27r,OC,=27rx50x=100

360360

故答案为：100.

【分析】先求出扇形圆心角度数料，再求出OC=OA+AC=50,利用弧长公式计算即可.

n

15.如图，AABC中，AB=AC=2fP是BC上任意一点，PE上AB于点E,PFLAC于点F,若

S"BC=1，则PE+PF=.

【答案】1

【考点】三角形的面积，等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：连接AP，如下图，

S&ABC=SMPC4-ShAPB=1

11

S“PC+S&APB=2AC.PE

vAB=AC=2，

S△力pc+S“PB=PF+PE=1»

:.PE+PF=1,

故答案是：1.

【分析】连接AP，EIHSAXPC+ShAPB=^AC-PF+^AB-PE^l,KP

16.已知t2-3t+l=0,贝ijt+1=.

【答案】3

【考点】代数式求值

【解析】【解答】解：1+△=《+[=巴1,

tttt

丈:t2-3t+1=0,

t2+1=3t,

则t+5=±Ll一七=3,

tt-t

故答案为：3.

【分析】先求出t2+l=3t,由t+：,然后代入计算即可.

17.高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行.如

图，用平行四边形ABCD表示一个"鱼骨"，AB平行于车辆前行方向，BE1AB,ZCBE=a，过B作

AD的垂线，垂足为A'（A点的视觉错觉点），若sina=0.05,48=300mm，则44'=

mm,

gg

口

【答案】15

【考点】平行四边形的性质，解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：如图所示，

「ABLAD且四边形ABCD为平行四边形，

A,BLBC-NA'BC=ZABC+'84=90°，

又；BELAB,

/ABE=/ABC+4=90

NABA=>

sinz^/1BA=sina==-0.05>

AB

又；AB=300mm,

AA=AB-sin^ABA=300x0.05=15mm.

故答案为：15.

【分析】根据平行四边形的性质，可求出NZBA=/a）由于sin-4BA=sina="—=0,05

AB

即可求出结论.

18.弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作

lrad.已知a=lrad,£=60°，贝ija与0的大小关系是a0.

【答案】<

【考点】角的概念

【解析】【解答】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作

1rad,

当0=60°时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，

圆心角所对的弧长比半径大，

：.a<p，

故答案是：<.

【分析】当夕=60°时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，从而求出圆心角所对的弧长比半

径大，据此判断即可.

三、解答题(共8题；共68分)

19.计算：(近百一兀)°+磊+(；)-1-28545°.

【答案】解：(V^I—QO+^+epi-ZcosdS。

=1+,巴%—+2-2X—

(后1)(e-1)2

=1+V2-1+2-V2

=2.

【考点】0指数幕的运算性质，负整数指数基的运算性质，分母有理化，特殊角的三角函数值

【解析】【分析】根据零指数幕、分母有理化、负整数指数幕、特殊角三角函数值进行计算即可.

20.先化简，再求值：一若)，其中x是1,2,3中的一个合适的数.

x-1x2-9

【答案】解：一与当)

x-1xz-9

_%—3「％?—92x-10-1

x-1%+3)(4-3)(X+3)(X-3)J

=-x-3•--X-2---2-X-+-1

x-1(x+3)(x-3)

_x-3(4—1)2

x-1(x+3)(x-3)

_x-1

x+3

％H1,%H+3,

x=2,

原式="•

【考点】利用分式运算化简求值

【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再进行乘法运算即可化简，最后选取一

个使分式有意义的值代入计算即可.

21."读书，点亮未来"，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径.学校图书馆计划购进一

批学生喜欢的图书，为了了解学生们对"A文史类、B科普类、C生活类、D其它”的喜欢程度，随机抽取了

部分学生进行问卷调查(每个学生只选其中一类)，将所得数据进行分类统计绘制了如下不完整的统计图

表，请根据图中的信息，解答下列问题：

统计表:

条形统计图

（1）本次调查的学生共人；

（2）m=,n=

（3）补全条形统计图.

【答案】（1）200

（2）0.25；40

（3）解：补全直方图如图所示：

1-

【考点】频数（率）分布表，条形统计图

【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生有：90^-0.45=200（名），

故答案是：200；

(2)m=50v200=0.25,n=200x0.2=40；

【分析】（1）利用B类频数除以其频率，即得调查学生的总数；

（2）利用A类频数除以调查总人数，即得m值；利用调查总人数乘以0.20,即得n值；

（3）利用（2）结论，直接补图即可.

22.我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心.当天舟二号从地面到达点A

处时，在P处测得A点的仰角ZDPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后

到达B处，此时在P处测得B点的仰角ZDPB为45°,求天舟二号从A处到B处的平均速度.（结果

精确到％/s，取遮=1.732,72=1,414）

【答案】解：根据在P处测得A点的仰角NDP4为30°且A与P两点的距离为6千米知；

在RtzMDP中，AP=6,ZDPA=30°,

：.AD=^AP=3（千米），

DP=yjAP2-AD2=3V3«3x1.732=5.196，

又由在P处测得B点的仰角/DPB为45°,

•••Rt△BDP为等腰直角三角形，

BD=DP,

：.AB=BD-AD=2.196（千米），

•••天舟二号从A处到B处的平均速度为：v=^=«29m/s,

答：天舟二号从A处到B处的平均速度为29mls.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【分析】利用含30。角的直角三角形的性质得出力。=：力。=3（千米），由勾股定理求出DP的长，

求出△BDP为等腰直角三角形，可得BD=DP,由AB=BD-AD可求出AB的长，由路程+时间=平均速度计

算即得结论.

23.为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我"演讲比赛，准备购买甲、乙两种

纪念品奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲

种纪念品和5个乙种纪念品共需45元.

（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；

（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？

并求出所花资金的最小值.

【答案】（1）解：设购进甲种纪念品每个需要x元，乙种纪念品每个需要y元，

根据题意得：

解得：。工。；

答：购进甲种纪念品每个需要10元，乙种纪念品每个需要5元；

（2）解：设购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品（100-m）个，所花资金为w元，

w=10m+5（100-Tn）=5m+500,

根据题意得Y黑黑/柒

解得：53.2<m<60.

■■■m为整数，

m=54,55、56、57、58、59或60.

，共有7种进货方案；

5>0,

w随m的增大而增大，

..m=54时,w有最小值，最小值为770元.

【考点】一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用-和差倍分问题

【解析】【分析】（1）设购进甲种纪念品每个需要X元，乙种纪念品每个需要y元，根据"购买1个甲

种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45〃列出方程组，求

解即可；

（2）设购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品（100-m）个，所花资金为w元，利用利润=单件利

润x数量，列出w关于m的函数关系式，再根据“投入资金不少于766元又不多于800元"求出m的范围，

根据一次函数的性质求解即可.

24.如图，点A在以BC为直径的。。上，ZABC的角平分线与AC相交于点E,与。0相交于点

D,延长CA至M,连结BM，使得MB=ME,过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N.

（1）求证：与。。相切；

（2）试给出AC,AD,CN之间的数量关系，并予以证明.

【答案】（1）证明：如图所示，

MB=ME,BD是ZABC的角平分线,

/MBE=NMEB，ZABE=NEBC,

又丁BC为直径，

・•・ZBAC=90°,

NABE+NMEB=90°

・•・NEBC+NMBE=90°

即8M与。。相切.

（2）解：:ZABE=ZEBC,

AD=CD,

・'.AD=CD,

・•.ZDAC=NDCA,

・•・2ADC为等腰三角形，

又;NBDC=90°，

・•・NBDN=90°,

NNJNGD=90°,

又「NNGD=NBGF,且由（1）可得NMBC=90°，NF||BM,

・•・NNFB=90°,

即NN=NEBC=NABE=NDCA,

・•・&NAC为等腰三角形，

在△ADC和ANAC中，

/N=ZDAC^ZDCA,

△ADCs△NAC,

ADDCAC

NAACNC

AC2=DC-NC,

又AD=CD,

故：AC2=AD-NC.

【考点】等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，角平分线的定

义

【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义及等腰三角形的性质，得出"BE="EB,ZABE=

ZEBC，由BC为直径得出NBAC=90。，利用直角三角形两锐角互余可得4BE+4EB=90°,从

而可得NEBC+/MBE=90°="BC，根据切线的判定定理即证；

(2)由4BE=NEBC可得脑=6从而求出4。=CD,继而可求出△ADC、△NAC为等腰三角形，

证明△/We-AM4c,可得*煞，从而求出AC?=DC-NC,继而得出结论.

NAACNC

25.如图①，从F是等腰RtaZBC的斜边BC上的两动点，NEAF=45°,CD1BC且CD=

BE.

图①图②

(1)求证：XABE三△4CD；

(2)求证：EF2=BE2+CF2；

(3)如图②，作AH1BC,垂足为H,设/EAH=a,ZFAH=/?,不妨设AB=近，请利用(2)

的结论证明：当a+0=45°时，tan(a+0)=含二:需成立.

【答案】(1)证明：ABC是等腰直角三角形，

AB=AC,ZBAC=90",

ZABC=ZACB=45",

CD±BC,

ZDCB=90",

ZDCA=900-ZACB=90°-45°=45°=ZABE,

在^ABE和^ACD中，

AB=AC

{ZABE=ZACD,

BE=CD

・•.△ABE2△ACD(SAS),

(2)证明：:△ABEM△ACD,

ZBAE=ZCAD,AE=AD,

•・•ZEAF=45°,

・•.ZBAE+ZFAC=90°-ZEAF=90°-45o=45°,

ZFAD=ZFAC+ZCAD=ZFAC+ZBAE=45°=ZEAF,

在4AEF和4ADF中，

AE=AD

{ZEAF=ZDAF，

AF=AF

AEF号△ADF(SAS),

EF=DF,

在RtZkCDF中，根据勾股定理，

DF2=CD2+CF2,

即EF2=BE2+CF2；

(3)解：将△ABE逆时针绕点A旋转90。到AACD,连结FD,

ZBAE=ZCAD,BE=CD,AE=AD,

•••△ABC为等腰直角三角形，

ZACB=ZB=ZACD=45°,ZDCF=ZDCA+ZACF=45°+45°=90°,

,­,AB=&,

•••AC=AB=五，

在RtAABC中由勾股定理BC=yjAB2+AC2=J(V2)2+(V2)2=2

AH±BC,

BH=CH=AH=-BC=1,

2

EF=EH+FH=AHtana+AHtanP=tana+tan[J,BE=BH-EH=l-tana,CF=CH-HF=l-tan(J,

ZEAF=45°,

ZBAE+ZCAF=90°-ZEAF=45°,

/.ZDAF=ZDAC+ZCAF=ZBAE+ZCAF=45°=ZEAF,

在4AEF和^ADF中，

AE=AD

{ZEAF=ZDAF，

AF=AF

/.△AE碎△ADF(SAS),

EF=DF,

在RtACDF中，DF2=CD2+CF2即EF2=BE2+CF2,

(tana+tan^?)2=(1—tana)2+(1—tan/?)2，

整理得2tana-tan/?=1—2tana+1—2tan£,

即tana-tan/?=1—tana—tan0,

tana_1_tanjS=1—tana♦tan£，

tana+ta叩

=1-tan45=tan(a+0),

1-tanatan/?

tan%叽普摄

【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形，三角形全等的判定(SAS)

【解析】【分析】(1)由△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC,NBAC=90。，NABC=NACB=45。，根

据垂直的定义可得nDCB=90。，从而可求NDCA=900-zACB=45。，根据SAS可证△ABE^△ACD；

(2)证明△AEF空△ADF(SAS),可得EF=DF,在RtACDF中，根据勾股定理=CD2+Cp2,据此

即得结论；

(3)将△ABE逆时针绕点A旋转90。到AACD,连结FD,利用等腰直角三角形及解直角三角形，可求

f±|EF=EH+FH=AHtana+AHtanp=tana+tanp,BE=BH-EH=1-tana,CF=CH-HF=1-tanp,证明

△AEF2△ADF(SAS),