杭州市2022学年第一学期高三数学期中测试

2022学年第一学期期中测试

高三数学试题卷

锤子数学解析

考生须知：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号

3.所有答案必须写在答题卷上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题卷

选择题部分

一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合/={x|x<5},8={x[l<x<7}，则(4力)08=

A.[5,刀B.[5,7)C.(5,7]D.(5,7)

【答案】B

【解析】(；4={x|xN5},B={x|l<x<7},Q⑷D，={X[54X<7},选B.

2.已知复数二=-1+£i,则，+二等于

22二

A.—1B.0C.—y/iiD.-1—>/3i

【答案】D

]11G.-1V3.1-i,ztc

【解析】一=------L=一二---------1，~=----1,—+"=-l-v3i,选D.

z1V3.22221

-----H--------1

____________22

3.已知£=(2,4),1=(1,1),则£在方上投影向量为

A.3应B.(3,3)C.|72D.忑锤子勃学研究

【答案】B

63M--I«|cos6>_

【解析】cos"/=3上,。在6方向上的投影向量LL^6=3(1,1)=(3,3),

2V5-V2106

选B

4.正整数2160的不同正因数的个数为

A.20B.28C.40D.50

【答案】C

【解析】2160=24x5x3?可看作三个盒子48,C,/中放4个2号球，共5种取法(不取

时数字记为“1”)，8中放3个3号球，共4种取法；。中放1个5号球，共2种取法

5x4x2=40，选C.

5.“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件随着

管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类!以甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气

候产生灾难性影响假设海水中某种环境污染物含量P(单位：mg/L)与时间/(单位：天)

间的关系为：P=P.Qk,,其中凡表示初始含量，〃为正常数令〃=为&4]之间

海水稀释效率其中匕鸟分别表示当时间为/,和〃时的污染物含量某研究团队连续20天不间

断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即(0,5],(5,10],

(10,15],(15,20]分别记为I期，II期，m期，IV期，则下列哪个时期的稀释效率最高

A.I期B.II期C.m期D.IV期

【答案】A

【解析】小义展2,5小户晨从

同理〃4<〃3<〃2，；•选A.

6.已知。=log,3,Z>=log35,c=log48，则。力,c的大小关系是

、七锤子勃学班究

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】B

【解析】c=log48=g,a=log23>log22V2=j,即。〉c

a

b=log35<log33/="，即bvcvi，选B.

7.设函数/(x)=2x-cosx,设｛%｝是公差为J的等差数列，

o

/⑷+/(%)+…+/(%)=5万，则[/(%)『-%%=

113

A.0B.—nC.-7TD.—K

16816

【答案】D

【解析】方法一：由已知，/(a,)+/(a2)+-+/(a5)

=2(%+。2+・・・+Q5)-(COSQ]+cosa24----+cosa5)

n

1八-cos%-cosfa3+—-cosfa3+，卜5兀,

=10a3-cosla3--一冲甘

冗式

化简得10。3-ZcOS/COS1-2cos。3cos了-COS%=5乃，①

令g(x)=10x-2cos—cosx-2cos^-cosx-cosx,

贝！|g'(x)=10+2cos^-+2cos?+1sinx>0,所以g(x)单调递增,

由g(、j=5万，得g显然是方程①的Y解，

所以方程①有且只有为=/一个解，

n7Tnn

则/(%)=/万，所以［/(%)『一6。5=开2—+—

2~724

.一生二生

1616＜箜子物学明究

方法二：/(x)=2(x-?+sin(x-1')+力

令x-§=»,设g(/)=2/+sin,,:.f(x)=g(i)+7r，令=4

g(tt)++g(t2)+7C+■­■+g(t5)+=5TT

ng(G+g(/2)+…+g”5)=。(*)

显然g")在R上/,g(f)为奇函数关于(0,0)中心对称

+t5=t2+t4=2t3，若4>0=>g(/1)+g05)>0且g“2)+g&)>0

=>g(/l)+g“2)+…+g«5)>0，这与(*)式矛盾，舍去

若，3<0,同理也舍

cnn3冗、3TT213万2

/=0=>a=y=>t/j=~,a=—，:=乃--^-=

33516

x

8.已知实数X,),满足:x+2=2,2y+log2y=l,则x+2j的值是

3

A.1B.2C.-D.V3

2

【答案】B

【解析】方—：2y+log2(2y)=2,^log,(2y)=Z，则/+2，=2,

由.f(x)=x+2'显然为增函数可知x=，=log2(2y),从而x+2y=/+2'=2.

x

方法二：x+2=2,2j+log2(2^)=2,log22"+2*=2

构造/(x)=x+log2x,/(x)在(0,+oo)上/

•.•/(2x)=/(2y),2x,2y>0,dZy,.。+2蚱2,选B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.直线/经过抛物线/=4x的焦点口，且与抛物线相交于48两点，连接点/和坐标原点。

的直线交抛物线准线于点。，则

'石锤子物学研究

A.尸坐标为(2,0)B.|力4最小值为4

c.一定平行Tx轴D.△408可能为直角三角形

【答案】BC

【解析】F(l,0),A错

2p4

^=-^=—3—<4,B对.

sinasurer

4

弘),B(x2,y2),48过f,y,y2=-4,:.y2=----

%=%=乌=*,0A=y=—x,，x=-l时,yD=-—

玉江"y<y!

4

yD=yB,BD〃x轴，c对.

若△408为直角三角形，则只有乙4。8=90。，而刀•砺=七七+M%=一3#0

.•.N/08为钝角，△/OB为钝角三角形，D错.

10.四边形ABC。是边长为2的正方形，E、E分别为BC、CO的中点，分别沿力£、AF

及后厂所在直线把△ZEB、△AED和△£人7折起，使8、。、。三点重合于点P,得到

三棱锥P-/即,则下列结论中正确的有

2

A.三棱锥尸一/跖的体积为j

B.面/PE1面EPE

C.三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱,则三棱推尸-/EE中有三组对棱相互垂直

D.若M为4F的中点，则过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球，所得截面的面积的

最小值为彳三1；锤子数学研究

【答案】BCD

【解析】—“=夫（；xlx1}24,A错

APLPE,APLPF,;.”1面PEF,ZPu平面/P户',

平面APF1平面PEF,B对.

APLEF,同理.•.有三组7搬相互垂直，C对.

PA,PE,PF两两垂直补成一个长方体

/x

外接球半径火=层工斤"=半，球心O0,g,；）,,0M=^

过A/截面圆半径的最大值、,s=-^-,D对

V44V4max4,石锤子物学明究

11.已知函数/(x)=Asinex+8(力>0,。>0)

A.若/(x)在区间以享上单调，则0<040

_44_

B.将函数丁=/(x)的图象向左平移/个单位得到曲线C，若曲线。对应的函数为偶函数，0

最小值为2

2

913

C.函数y=/(x)在区间(0,7)上恰有三个极值点，则：

44

J25

D.关于x的方程f(x)=-A+8在(0,乃)上有两个不同的解，则2<。4一

22

【答案】B(D

【解析】对于A,当0=(时，YJVXW孚,—<<yx+-<—

244848

显然/(x)不单调，A错.

对于B,y(x)向左平移金个单位ng(x)=/sin[dx+"+7+B(曲线C)

，。为偶函数，，三0+三二三+人乃,AeZ,:.a)=-+2k,keZ,

2422

=B

>0，令A=0时，<ymjny'正确.

对于C,当0<x。时，-<(ox+-<(D7r+-，要使/(x)有三个极值点，

444

5TTnIn9,13八一0

则—<(j)7tH—W—一<<y<—,C正确.

24244

对于D,由/(x)=走力+8n<sin[0x+工]+8="/+8,$访(*+工)=也

2\4J2\4/2

♦.•0<工<万，%.方程个不同的解，.......,

444、之襄子数字斫究

9771Ibrc5

—<0乃+—W=>2<<y<—D正确.

44~4~2

选：BCD.

12.已知/(x)和g(x)都是定义在R上的函数，则

A.若/(x+l)+/(l-x)=O,则/*)的图象关于点(1,0)中心对称

B.函数歹=/(x-l)与y=/(l—幻的图象关于直线x=0对称

C.若/(x)是不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有灯(x+l)=(x+l)/(x),则

小电卜。

D.若方程x—/[g(x)]=0有实数解，则g[/(x)]不可能是f+x+g

【答案】ACD

【解析】对于A,•.•/(x+a)+/(6—x)=2c，贝!l/(x)关于(管,c)中心又制

由f(x+1)+/(I—x)=0=>/(x)的图象关于(1,0)中心对称，A正确.

a—b

对于B,易推得)，=f(a-x)与y=f(x+6)关于x=-对称，

1-(-1)

»=/(X-1)与歹=/(I+X)的图象关于X==1对称，B错

对于C,在4(x+l)=(x+l)/(x)中令x=_；=_；/(；)=；/

=°且/⑼卜0”《卜。，

.•./(/(|)]=/(0)=0,C正确.

对于D,设X。是x-/[g(x)]=0的一个解,，x<)=/[g(x0)]

，g(x())=g(/[g(Xo)])，令g(3)=/,=t

2i

意味着g(/(x))=X有解，但当g(/(x))=/+X+《时，X2+X+-=X-^旗子缴字册究

即》2+：=0无实数解，故g"(x)］不可能是f+x+：,D正确.

选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(24-亡］的二项展开式中/的系数为.

【答案】-192

(2&-白)展开式第厂+1项人=鼠(2五尸(-亡)

【解析】

=晨27=C：2

r=l时，C^25(-l),?=-192r,.lx?的系数-192.

14.已知圆C:x2+y2=/上怡有2个点到直线3x-4y-25=0距离为2,当r为正整数时，

写出f可能的/'的值为.

【答案】4,5,6

25

【解析】圆心到直线的距离d=y=5，圆上有两个点到/的距离为2,

/.5-2<r<5+2,3<r<7,r可取4,5,6

15.已知/(x)=x3-x，过点(1,1)可作曲线y=/(x)的三条切线，则/的范围是.

【答案】(-1,0)

【解析】方法一：设过P(1J)的直线与y=/(x)切于P(Xo，x：-x。),f\x)=3x2-\

.•/=3x：-l,切线方程为y=(3x：_l)(x_xo)+x；_xo,它过(l,f)

t=(3XQ-1)(1-x0)+XQ-x0=-2XQ+3XQ-1

令g(x)=-2/+3x2-l,y=/与y=g(x)在R上有三个不同的交点

g,(x)=-6x2+6x=0=>x=0s£l,g(x)在(-8,0)上、；(0,1)上/;(l,+oo)±\

作出g(x)大致图象如下，七镂子缴学研究

g（o）=-i,g（i）=o，要使y=i与尸g（x）有三个不同的交点，则-y<o.

方法二：借助拐点背景

.•・/(X)的拐点为(0,0)

/(0)=-1,打印版请加Q群：783054539考察/(x)在拐点处的切线/：y=-X

它与x=l的交点为，记N(0,l).

方法三：切点(Xo，x；-Xo),f\x)=3x2-1,k=3x：-1

切线:y-(x；--)=(3片-Da-%)过(1J)

f_(父一a)=(3x；_1)(1_/)，.•」=_2x；+3x：-l

令g(x)=-2x'+3x2-1,g'(x)=-6*2+6x=0,x=0或1二：箜子绥字研究

g(x)在(-oo,0)\,(0,1)/,(l,+oo)\

g(x)极小值=g(°)=T，g(x)极大值=g(l)=°«

要使过P(1J)可作y=/(x)三条切线可知P在线段MN上运动,不含端点，-1</<0.

16.已知双曲线。:一一丁=1,过点8(0,2)的动直线与C交于两点P,。，若曲线C上存在

某定点A使得kPA+kQA为定值义，则公的值为.

4

【答案】|

【解析】方法一：设/(也〃),lPQ:y=kx+2,尸(玉,凹),0*2,必)，则=1,

\l-.y=kx+l2cA4k-5

P,Q2,-

)x--4kx-5=0,X,+X2=---T,XCX2=--T,

[A--y=\1-ki-k

Lz_M।%_2kxix2+(2-n-mk)(^+JV2)-2m(2-n)

kpA+^QA=+=7'7^2

xx-mx2-mxyx2-m(x]+x2)+m

_(-2mn)k2+(-2-4n)k-2m(2-n)、

-Mk2-4〃7k4-w2-5

—2/w〃-2—4/7-2/7?(2—n)

要使得(A)为常数，则---=一二a,

-m"-4mm"-5

，旦有122TV51.2珀,4

22V522<55

方法二：考察极限位置,当过点8的直线/与双曲线渐近线4:y=x平行时，可看作直线与双

曲线一个交点为尸，另一交点。在无穷远处，且/。〃4,设4小,我)，口声徼字储究

3

:二；\nx—=lnP53

联立,此时a=一1+1

454

x°+4

53

当过8的直线与双曲线另一条渐近线4:y=-x平行时，同理可得P且心。T-I

4'4

333

.•/=一,故一^+1=

5

/一彳%+彳

4

11Q

n一10%+3=0n%=］或1,显然比=不可能（舍去）

石13

；，此时毛=土菖,当，xo=3"

2时,

1好二5

^0=2T-4

小

X。=--丁2^54

当2时，2=--,/.22=-（艇©fi秒杀）

155

%=5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知数列也“｝中，q=l,成公差为1的等差数列.

镂子勃手册究

（1）求数列｛叫的通项公式；

(2)求数列｛a,,｝的前〃项和.

【解析】(1)易知bn=含成等差数列，即4=〃，从而=〃•3彳1

(2)令S〃=q+%+…+4,贝U3S〃=3+2x3?+,・・+〃x3",

可知一2s“=1+(3+32+…+3>i)-〃x3",即S,,=^^3"+；

1+sin2B-cos2B

18.(12分)锐角。中，已知=6

1+sin2B+cos2B

(1)求角8;

(2)若a=2，求△4BC的面积S的取值范围

,皿…,.、=即」+5皿28­(：0$282sinB(cosB+sinB)八八n

【解析】(1)易知-----------------=--------------------°=tanB,可知8=一

1+sin2B+cos2fi2cosB(cosB+sinB)3

(2)S=-acsinB=—a——sinC•sin8=6sme

22sinAsinA、22tanJ?

Q<A<-

c2可得9</<g,从而Sw

由锐角三角形知《2

c2乃，”62冬后

0<------A<—

32

19.(12分)三棱台48。一同与G中，△/8C为正三角形，BC=2,CG=百，耳G=1,

CC,IBC.

(1)求证：BC1AB,；

(2)若二面角B.-BC-A的平面角大小为60°,且在线段CG上有点D使得平面DAB平

分四面体的体积，求8。与面88//所成角的正弦值

【解析】（1）证明：如图，取8c中点M

•.・由4ABC为正三角形一•.AM1BC

■：4GH且BC=MC,B、MCC\为平行四边形，.IBtM1BC

n4MM面AMB-：.BC1AB.

（2）方法一：

由（1）可知二面角B.-BC-A的平面角即4AMBi=60。，作用。_L,

•••8C_L平面4M4，BC^ABC，，面/BC_1面.4%4

•.•面/BCD面/Mg=/〃，.•.片。1面N8C

以。为原点，0。为二轴，O/为x轴，平行于为y轴，

则4（0,0，m）,•B--^-,1,0,C-^-,-1,0,M--^-,0,0

⑸-nA/3X-y=0

-BA-n=0

设平面法向量〃=（x，w）,则_____，即Ji3

BBn=0——x-v+—s=0

itI22

取.=,由平面。力8平分四面体/BCG的体积可知。为CG中点，

即£）（一立，一I2],=-2,-.

I44jI44j缝子勤学历究

BDn

设BO与面88/4所成线面角为0,从而sin。=

方法二：如图，•.・平面D48平分四面体”BCG的体积，

D为CG的中点，,BD=^DC2+BC2=平，

设BQ与与M交于点N，则N为片河的中点，

.•.AN1平面BgqC,•;AM=B、M=6,

由（1）知，乙4〃4为二面角片一8C-月的平面角，

/.AAMB,=60°,4AMB、为正三角形，；.4V=g,

在AABBi中，BB]=AB=2,AB[=布，

设点D到平面的距离为h,由VD_ABBi=嗫叫得：

1,亚133班,9屈

—x//x----=—X—X----,h-------,

3432426

h9d247

设8。与平面88//所成的角为。，则5吊。=壶=若厂

20.（12分）某大学有48两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和

晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚餐）(44)(48)(B,A)、三爵勒学研究

甲30天20天40天10天

乙20天25天15天40天

假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率

(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择/餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择8餐厅就

餐的概率；

(2)记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E(X);

(3)假设M表示事件“力餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，

P(M)>0,一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会I:匕不推出优惠套餐

的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：P(M|N)〉P(M|N).

【解析】(1)设事件。为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择力餐厅就餐”,

事件。为“乙员工午餐和晚餐都选择8餐厅就餐”.

因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择/餐厅就餐的天数为30,

乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40,

所以P©嗯=0.3,P⑷噎=04

(2面题意知打印版请加Q群783054539甲员工午餐和晚餐都选择8餐厅就餐的概率为0.1

乙员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2,

记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为k2,

所以尸(X=l)=O.3xO.2+O.lxO.4=O.l,尸(X=2)=l-P(X=l)=0,9,

所以X的分布列为:

X12

P0.10.9

所以X的数学期望为所X)=1x0.1+2x0.9=19.

P(NM)P(NM)P(N)-P(NM)

(3)由题知P(N|M)>P(N|M),即

P(M)>P(M)~~l-P(f)镂子变(字硼究

即P(NA/)>P(N)-P(M),

即P(NM)-P(N)P(NM)>P(N)-P(M)~P(N)尸(NM),

——P(NM)P(NM)

即P(NM).P(N)>P(N)P(NM),即赢)〉；(而，

即P(M|N)>尸也用.

X2y2

21.(12分)如图，已知M是椭圆;+J=1的左顶点，过A/作两条射线，分别交椭圆于

43

点4,B,交直线x=4于点C,。.

(1)若4〃8=45。，求|CO|的最小值；

(2)设/(不弘),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),^-+—=—+—，求证：直线4?

yy2y3必

过定点

【解析】(I)由tan45。=，厂什可得6(必_居)=36+必然,即居=6%一.,

I+MBM必+6

即必一居=必_"二=必+6+士工-12212(应_1),

打印版请加Q群：783054539当且仅当必=6(0■-1)取得

22

(2)设J：x=(y+/w，代入+可得：(3J+4)歹*+btmy+3/w2-12=0,

〜日-6tm362一12

可得乂+必=铲盲M.必=

3『+4

设心：户当7。+2)可得：必=%，同理居=四・

从而J_+_L=改+2+x?+2=2%必+(/»+2)(凹+乃)=y+为

必必6M6y26yM乂必

即2)］为+(6-4)(乂+%)=0，即"?=I,从而直线过定点(1,0).

22.(12分)已知函数/(^)=alnx-x2-x.

至镂子物学哥阮

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若a=-\,函数/")=/。)+工+1,且V/n,A/e(0,+oo),m^n,

\mF(n)-nF(m)\>2.\m-n\,求人的取值范围

a—x+a

【解析】(I)易知/'(x)=?-2x—l=—2A~—(x>0),

XX

当。40时，f\x)<0,〃x)在(0,+oo)上递减；

当a>0时，-2x?-x+a=0有正根/=如细」，且易知当xe(0,x0)时/'(x)>0,

4

/(X)递增，当X€(Xo，+oo)时,/'(x)<0,/(X)递减

综上所述当。40时，/(x)在(0,+oo)上递减;当a>0时，/*)在(0品)上递增在(x0,+8)

上笳成

(2)方法一：由题知：不妨设"?>〃>0,