九年级(上)期中数学模拟试卷

九年级（上）期中数学模拟试卷

一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的,

请将正确的答案选择出来！

1.（3分）已知一个扇形的弧长为lOricm,圆心角是150。，则它的半径长为（）

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

2.（3分）（2014•临沂）从1、2、3、4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是（）

A.1B.1C.1D.2

6323

过。O内一-点M的最长弦长为12cm,最短弦长为8cm,那么0M长为（）

B.2-\[ScmC.D.9cm

4.（3分）下列命题正确的个数是（)

①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦;

②平分弦的直径平分弦所对的弧；

③垂直于弦的直线必过圆心；

④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（3分）二次函数y=ax?+bx+c的y与x的部分对应值如下表:

X...0134...

-2|...

y•••242

则下列判断中正确的是（）

A.抛物线开口向上

B.抛物线与y轴交于负半轴

C.当x=-1时y>0

D.方程ax2+bx+c=0的负根在0与-1之间

6.（3分）已知点E在半径为5的。0上运动，AB是。0的一条弦且AB=8,则使4ABE的面积为8

的点E共有（）个.

A.1B.2C.3D.4

7.（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+2k和函数y=-kx?+4x+2（k是常数，且kxO）的图象

可能是（）

8.（3分）（2008•潍坊）如图，Z\ABC内接于圆O,ZA=50°,ZABC=60°,BD是圆O的直径，BD交

AC于点E,连接DC,则NAEB等于（）

B.110°C.90°D.120°

9.（3分）二次函数y=ax2+bx+c（axO）的图象如图所示，给出下列结论:

①b?-4ac>0；

②2a+bV0；

③4a-2b+c=0；

@a：b：c=-1：2：3.

10.（3分）（2005•深圳）如图，AB是。O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交

于点C,若CE=2,则图中阴影部分的面积是（

C3-如

二.填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题应将最简洁最正确的答案填在

空格内！

11.（4分）已知三二,贝代型=____________.

y3y

12.（4分）如果二次函数y=ax?+bx+c的图象的顶点坐标是（2,4）,且直线y=x+4依次与y轴和抛物

线相交于P、Q、R三点，PQ：QR=1：3,则这个二次函数解析式为.

13.（4分）（2014•巴中）在四边形ABCD中，（1）AB〃CD,（2）AD〃BC,（3）AB=CD,（4）AD=BC,

在这四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是.

14.（4分）如图，在RtAABC中,ZC=90°,ZA=60",AB=2cm,将AABC绕点B旋转至△A]BC|的

位置，且使A、B、Ci三点在同一直线上，则点A经过的路线的长度是.

15.（4分）如图，平面直角坐标系中，点A（2,9）,B（2,3）,C（3,2）,D（9,2）在。P上，Q

是。P上的一个动点.

（1）点P坐标为;

（2）Q点在圆上坐标为时，4ABQ是直角三角形.

16.（4分）AABC是•张等腰直角三角形纸板，ZC=RtZ,AC=BC=2,在这张纸板中剪出•个尽可能

大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为si（如图1）：在余下的Rt^ADE和Rt^BDF中，分

别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2）；继

续操作下去…；则第10次剪取时，si（）=;第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积

之和是.

三.解答题（共7题，共66分）温馨提示：解答题应完整地表述出解答过程！

17.（6分）在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm,

求油面宽度AB的长.

18.（8分）（2014•重庆）为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某

镇统计了该镇1-5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：

今年1-5月各月新注册小今年1-5月各月新注册小型企业

型企业数量折线统计图数量占今年前五月新注册小型企

业总量的百分比扇形统计图

（1）某镇今年1-5月新注册小型企业一共有家.请将折线统计图补充完整;

（2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽

取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概

率.

19.（8分）（2012•沈阳）如图，。0是4ABC的外接圆，AB是。O的直径，D为。O上一点，OD1.AC,

垂足为E,连接BD

（1）求证：BD平分NABC；

（2）当NODB=30。时，求证:BC=OD.

20.（10分）已知二次函数的图象经过点（0,3）,顶点坐标为（1,4）,

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求图象与x轴交点A、B两点的坐标；

（3）图象与y轴交点为点C,求三角形ABC的面积.

21.（10分）当a>0且x>0时，因为（4-卓）2z0,所以x-峭评0,从而乂谆24（当x=〃

VXXX

时取等号）.记函数尸x+工（a>0,x>0）,由上述结论可知：当时，该函数有最小值为2«.

X

（1）已知函数y尸x（x>0）与函数y2」（x>0），则当X三时，yi+y2取得最小值为一

,求选的最小值

(2)已知函数yi=x+l(x>-1)与函数丫之二(x+1)2+4(x>-1)并指出取得

该最小值时相应的x的值.

22.（12分）如图，^ABC内接于。O,AB是（DO的直径，C是踊的中点，弦CELAB于点H,连结

AD,分别交CE、BC于点P、Q,连结BD

（1）求证：ZACH=ZCBD；

（2）求证：P是线段AQ的中点；

（3）若OO的半径为5,BH=8,求CE的长.

23.（12分）如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B,C两点，抛物线y=-x?+bx+c经过B,C

两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点.

（1）求B、C两点坐标；

（2）求此抛物线的函数解析式；

（3）在抛物线上是否存在点P,使SzXPAB=SacAB，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由.

九年级（上）期中数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的,

请将正确的答案选择出来！

1.（3分）已知一个扇形的弧长为lOncm,圆心角是150。，则它的半径长为（）

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

考点：弧长的计算.

分析：利用弧长公式求半径.

解答：解：嘤『0兀，

loU

解得r=12cm.

故选A.

点评：本题主要利用弧长公式计算半径，所以学生要牢记公式.

2.（3分）（2014•临沂）从1、2、3、4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是（）

A.1B.1C.1D.2

6323

考点：列表法与树状图法.

分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其乘积大于4的情况，再利用

概率公式即可求得答案.

解答：解：回树状图得:

开始

1234

/T\小z4\/T\

234134124123

积23426836124812

••,共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其乘积大于4的有6种情况,

...从1、2、3、4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是：

122

故选：C.

点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的

知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

3.（3分）如图，过。O内一点M的最长弦长为12cm,最短弦长为8cm,那么OM长为（)

.o

A.6cmB.2V5cmC.4V5cmD.9cm

考点：垂径定理；勾股定理.

分析：过M的最长弦应该是。。的直径，最短弦应该是和OM垂直的弦（设此弦为CD）；可连接OM、

0C,根据垂径定理可得出CM的长，再根据勾股定理即可求出0M的值.

解答：解：连接OM交圆O于点B,延长MO交圆于点A,

过点M作弦CDJ_AB,连接OC

•・•过圆O内•点M的最长的弦长为12cm,最短的弦长为8cm,

/.直径AB=12cm,CD=8cm.

VCD±AB,

；.CM=MD」CD=4cm.

2

在RtAOMC中，OC」AB=6cm；

2

OM=7oC2-CM2=Ve2-42=2V5cm.

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

4.（3分）下列命题正确的个数是（）

①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；

②平分弦的直径平分弦所对的弧；

③垂直于弦的直线必过圆心；

④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点：命题与定理.

分析：根据垂径定理及其推理对4个命题分别进行判断.

解答：解：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以①正确；平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧,

所以②错误；垂直平分弦的直线必过圆心，所以③错误；垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以

④正确.

故选B.

点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命

题；经过推理论证的真命题称为定理.

5.（3分）二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:

X0134...

y242-2...

则下列判断中正确的是（）

A.抛物线开口向上

B.抛物线与y轴交于负半轴

C.当x=-1时y>0

D.方程ax2+bx+c=0的负根在0与-1之间

考点：图象法求一元二次方程的近似根；二次函数的性质.

分析：利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程ax2+bx+c=0

即y=0时x的值取值范围，得出答案即可.

解答：解；A、由图表中数据可得HI：x=1.5时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项错误；

B、•.”=0时，y=2,故抛物线与y轴交于正半轴，故此选项错误；

C、当x=-1时与x=4时对应y值相等，故yVO,故此选项错误；

D、,.？=（）时，-1<x<0,...方程ax?+bx+c=O的负根在0与-1之间，此选项正确.

故选；D.

点评：本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对

称性得出是解题关键.

6.（3分）已知点E在半径为5的。。上运动，AB是。O的--条弦且AB=8,则使4ABE的面积为8

的点E共有（）个.

A.1B.2C.3D.4

考点：垂径定理；勾股定理.

专题：动点型.

分析：根据aABC的面积可将高求出，即。。上的点到AB的距离为高长的点都符合题意.

解答：解：过圆心向弦AB作垂线，再连接半径

设4ABE的高为h

S4ABC±xABxh=8

2

可得：h=2

弦心距-（-^X8）=3

V3-2=1,故过圆心向AB所在的半圆作弦心距为1的弦与。O的两个点符合要求；

•••3+2=5,故将弦心距AB延长与相交，交点也符合要求，故符合要求的点由3个.

故选C.

点评：在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题.

7.（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+2k和函数y=-kx?+4x+2（k是常数，且kxO）的图象

可能是（）

A.

考点：二次函数的图象；一次函数的图象.

分析：分两种情况进行讨论：k>0与kVO进行讨论即可.

解答：解：当k>0时，函数y=kx+2k的图象经过一、二、三象限；函数y=-kx2+4x+4的开口向下，

对称轴在y轴的右侧；

当k<0时，函数y=kx+2k的图象经过二、三、四象限；函数y=-kx2+4x+4的开口向上，对称

轴在y轴的左侧，故D正确.

故选D.

点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系以及一次函数的图象，是基础知识要熟练掌握.

8.（3分）（2008♦潍坊）如图，AABC内接于圆O,NA=50。，/ABC=60。，BD是圆O的直径，BD交

AC于点E,连接DC,则NAEB等于（)

A.70°B.110°C.90°D.120°

考点：圆周角定理；三角形内角和定理.

专题：应用题.

分析：因为/A=50。，/ABC=60。，所以利用三角形的内角和可得/ACB=70。，利用同弧所对的圆周角

相等可得/A=/D=50。,又因为ZBCD是直径所对的圆周角，所以等于90。,因此可得/ECD=20。,

利用内角和与对顶角相等可得NAEB等于110。.

解答：解：VZA=50°,ZABC=60°

ZACB=70°

•••BD是圆O的直径

ZBCD=90°

/.ZACD=20°

.,.ZABD=ZACD=20°

；.NAEB=180°-（ZBAE+ZABE）=180°-（50°+20o）=110°.

故选B.

点评：本题重点考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和等知识点.本

题是一道难度中等的题目.

9.（3分）二次函数y=ax2+bx+c（aM）的图象如图所示，给出下列结论：

①b?-4ac>0；

②2a+b<0；

③4a-2b+c=0；

④a：b：c=-1：2：3.

考点：二次函数图象与系数的关系.

分析：根据二次函数与X轴的交点的个数即可判断①；根据对称轴即可得出--殳=1,求出即可判断②;

2a

把x=-2代入二次函数的解析式，再结合图象即可判断③；根据二次函数与x轴的交点坐标，设

y=ax2+bx+c=a(x-3)(x+1),用a把b、c表示出来，代入求出即可判断④.

解答：解：・・•二次函数y=ax?+bx+c(a，0)的图象和x轴有两个交点，

/.b2-4ac>0,/.①正确；

・・•二次函数的对称轴是直线x=l,

即二次函数的顶点的横坐标为x=-至=1,

2a

.\2a+b=O,.•.②错误；

把x=-2代入二次函数的解析式得：y=4a-2b+c,

从图象可知，当x=-2忖，y<0,

即4a-2b+c<0,...③错误；

•.•二次函数的图象和x轴的一个交点时(-1,0),对称轴是直线x=l,

另一个交点的坐标是(3,0),

设y=ax+bx+c=a(x-3)(x+1)=ax-2ax-3a,

即a=a,b=-2a,c=-3a,

.".a：b：c=a：(-2a)：(-3a)=-1：2：3,・■•④正确；

故选B.

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，当b2-4ac>0时，二次函数的图象与x轴有两个交

点，当b?-4ac=0时，二次函数的图象与x轴有一个交点，当b2-4ac<0时，二次函数的图象与

x轴没有交点，二次函数的对称轴是直线x=l时，二次函数的顶点的横坐标是x=-至=1.用了

2a

数形结合思想.

10.(3分)(2005•深圳)如图，AB是。O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交

于点C,若CE=2,则图中阴影部分的面积是()

A

E

B

BD

A-&-盛-2nC.4M-ln

3333

考点：扇形面积的计算.

专题：压轴题.

分析：已知D、E是半圆的三等分点，如果连接DE、OE、0D,那么/XOAE、AODE^AOBD,ACDE

都是等边三角形，由此可求出扇形OBE的圆心角的度数和圆的半径长；由于NAOE=/BOD,

则AB〃DE,SAODE=SABDE5口J知阴影部分的面积=S崩形OAE-SAOAE+S扇形ODE求解.

解答：解：连接OE、OD,点D、E是半圆的三等分点，

・・・ZAOE=ZEOD=ZDOB=60°

VOA=OE=OD=OB

•••△OAE、AODE>AOBD>Z\CDE都是等边三角形，

AAB//DE,

•'•SAODE=SABDE?

2_

，图中阴影部分的面积=S扇形OAE-SAOAE+S扇形ODE=604x2XA/3=-^R~Vs.

36023

故选A.

点评：本题考查了扇形面积公式的运用.关键是将阴影部分面积转化为扇形ODE的面积.

二.填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题应将最简洁最正确的答案填在

空格内！

11.（4分）已矢金贝।匹空=上.

y3y~3-

考点：比例的性质.

专题：常规题型.

分析：根据比例的性质，把也写成2+1的形式，然后代入已知数据进行计算即可得解.

yy

解答：解：，金

y3

.0*+1工+1至

yy33

故答案为：旦

3

点评：本题考查了比例的性质，把上空写成2+1的形式是解题的关键，也是本题的难点.

yy

12.(4分)如果二次函数y=ax?+bx+c的图象的顶点坐标是(2,4),且直线y=x+4依次与y轴和抛物

线相交于P、Q、R三点，PQ：QR=1：3,则这个二次函数解析式为y=x2-4x+8或y=-工？包.

9—9-9—

考点：二次函数综合题.

分析：根据二次函数y=ax?+bx+c的图象的顶点坐标是(2,4),利用顶点法设该二次函数解析式为y=a

(x-2)2+4.根据直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，则可确定P点的坐标,

并设Q、R点的坐标为(xi，y,)和(X2,y2).根据两点间的距离公式与PQ：QR=1：3求得出21

与Ixil的比值.直线y=x+4与抛物线相交于Q、R两点列出方程a(x-2)2+4=x+4,利用一元二

次方程根与系数的关系，可求出xi、X2、a的值.因此抛物线即可确定.

解答：解：•••图象的顶点坐标是(2,4),

.•.所以二次函数解析式为y=a(x-2)2+4①，

•.,直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，

♦P点的坐标是(0,4),设Q、R点的坐标为(xi，yi)和(X2，y2)，则yi=x1+4,y2=X2+4,

IPQ.(x「0)2+6]_4)2=JxJ+x产小xil,

IPRI=222=22=1X21,

-^(X2-0)+(y2-4)^X2+X2^

VPQ：QR=1：3且P在QR之处，__

.\PQ：PR=PQ：(PQ+QR)=1：4,我一止血幻1=1：4,

Alx2l=4lx|l(2),

又xi，X2是抛物线与直线交点的横坐标，

/.a(x-2)2+4=X+4,B|Jax2-(4a+l)x+4a=0,

2

.\a(x-4aHx+4)=0,

a

'XJX2=4；；:③

由韦达定理，｛《a+l_.

xi+x=^—;;;

I'"2a

由③得，Xi、X2同号，再由②得X2=4X|,

X|=+l.X2=±4,从④得a=l,或a=-工

9

/.y=x2-4x+8或y=-/x2+

2

故答案为：y=x-4x+8或y=--1XMX+^.

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公

式和相似三角形的性质、一元二次方程根与系数的关系.解题的关键是利用数形结合的数学思想

方法.

13.(4分)(2014•巴中)在四边形ABCD中，(1)AB〃CD,(2)AD〃BC,(3)AB=CD,(4)AD=BC,

在这四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是

考点：列表法与树状图法；平行四边形的判定.

专题：计算题.

分析：列表得出所有等可能的情况数，找出能判定四边形ABCD是平行四边形的情况数，即可求出所

求的概率.

解答：解：列表如下：

1234

1---(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)---(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)---(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)—

所有等可能的情况有12种，其中能判定出四边形ABCD为平行四边形的情况有8种，分别为(2,

1)；(3,1)；(1,2)；(4,2)；(1,3)；(4,3)；(2,4)；(3,4),

贝IjP普』.

123

故答案为：2

3

点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.(4分)如图，在Rt/XABC中,ZC=90°,ZA=60",AB=2cm,将aABC绕点B旋转至△A]BC|的

位置，且使A、B、Ci三点在同一直线上，则点A经过的路线的长度是_至煞羽_.

3

考点：弧长的计算.

专题：计算题.

分析：由NC=90°,ZA=60°,得至lJ/ABC=9(r-6(r=30。，则/AiBC产/ABC=30°,所以NABAi=180°

-30。=150。，又AB=2cm,然后根据弧长公式即可计算出弧AA(的长即点A经过的路线的长度.

解答：解：VZC=90°,ZA=60°,

ZABC=90°-60°=30°,

，NAiBC尸/ABC=30°,

AZABA]=180°-30°=150°,

而AB=2cm,

.•.点A经过的路线的长度」50义兀X[三H(cm).

1803

故答案为grem.

3

点评：本题考查了弧长的计算公式：1石良，其中1表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数.

180

15.(4分)如图，平面直角坐标系中，点A(2,9),B(2,3),C(3,2),D(9,2)在。P上，Q

是。P上的一个动点.

(1)点P坐标为(6,6):

(2)O点在圆上坐标为(10,9)或(10,3)时,aABQ是直角三角形.

考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理.

专题：数形结合.

分析：(1)根据弦的垂直平分线经过圆心可作CD和AB的垂直平分线，它们的交点为P,然后写出P

点坐标；

(2)根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，则作直径AQ'和BQ,得到aABQ和ABQ'

都是直角三角形，然后写出Q点的坐标.

解答：解：(1)作CD和AB的垂直平分线，它们的交点为P点，如图，

则P点坐标为(6,6)；

(2)作直径AQ'和BQ,则4ABQ和ABQ'都是直角三角形,

此时Q点坐标为(10,9)、(10,3).

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，并且平分弦所对的

两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角定理.

16.（4分）^ABC是一张等腰直角三角形纸板，ZC=RtZ,AC=BC=2,在这张纸板中剪出一个尽可能

大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为si（如图1）；在余下的Rt^ADE和Rt^BDF中，分

别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2）；继

续操作下去…；则第10次剪取时，sio=_±_；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是

oy

考点：相似形综合题.

专题：压轴题.

分析：根据题意，可求得S/\AED+SZ\DBF=S正方形ECFD=SI=1,同理可得规律：Sn即是第n次剪取后剩余

三角形面积和，根据此规律求解即可答案.

解答：解：・・•四边形ECFD是正方形，

.\DE=EC=CF=DF,ZAED=ZDFB=90°,

VAABC是等腰直角三角形，

,ZA=ZC=45°,

:.AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF,

VAC=BC=2,

:.DE=DF=1,

SAAED+SADBF=S正方形ECFD=SI=1；

同理：S2即是第二次剪取后剩余三角形面积和，

Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，

・••第一次剪取后剩余三角形面积和为：2-S1=1=S1，

第二次剪取后剩余三角形面积和为：S,-S2=l-1」=S2，

22

第三次剪取后剩余三角形面积和为：S2-S3'-1」=S3，

244

第n次剪取后剩余三角形面积和为：Sn-,-Sn=Sn=^

2n~1

,1111

则nilS2012=7OT2TT=^OH:

々乙乙

故答案分别是：±和二77.

2922tHi

点评:此题考查了正方形与等腰直角三角形的性质.此题难度较大，属于规律性题目，找到规律：Sn

即是第n次剪取后剩余三角形面积和是解此题的关键.

三.解答题（共7题，共66分）温馨提示：解答题应完整地表述出解答过程！

17.（6分）在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm,

求油面宽度AB的长.

考点：垂径定理的应用；勾股定理.

分析：因为圆柱形油槽装入油后形成弓形，可以考虑用垂径定理解答.

解答：解：由题意得出：OCLAB于点D,

由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2AD,

•直径是52cm,

OB=26cm,

二OD=OC-CD=26-16=10（cm）,

由勾股定理知，

BD=,BC|2-0口2=24（cm）,

点评：此题考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用，圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般

是通过垂径定理转化为解直角三角形的问题.

18.（8分）（2014•重庆）为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某

镇统计了该镇1-5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：

今年1-5月各月新注册小今年1-5月各月新注册小型企业

型企业数量折线统计图数量占今年前五月新注册小型企

（1）某镇今年1-5月新注册小型企业一共有16家.请将折线统计图补充完整;

（2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽

取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概

率.

考点：折线统计图；扇形统计图；列表法与树状图法.

专题：图表型.

分析：（D根据3月份有4家，占25%,可求出某镇今年1-5月新注册小型企业一共有的家数，再求

出1月份的家数，进而将折线统计图补充完整；

（2）设该镇今年3月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙为餐饮企业，根据题意

画出树状图，然后山树状图求得所有等可能的结果与甲、乙2家企业恰好被抽到的情况，再利用

概率公式求解即可求得答案.

解答：解：（1）根据统计图可知，3月份有4家，占25%,

所以某镇今年1-5月新注册小型企业-共有：4+25%=16（家），

1月份有：16-2-4-3-2=5（家）.

折线统计图补充如下：

今年1-5月各月新注册小

型企业数量折线统计图

（2）设该镇今年3月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙为餐饮企业.画树状图

得：

开始

甲乙丙丁

/N/N/K/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

•.•共有12种等可能的结果，甲、乙2家企业恰好被抽到的有2种，

二所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率为：2」.

126

点评：本题考查了折线统计图、扇形统计图和列表法与树状图法，解决本题的关键是从两种统计图中整

理出解题的有关信息，在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心

角的度数与360。的比.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.（8分）（2012•沈阳）如图，是4ABC的外接圆，AB是。O的直径，D为。O上一点，ODJ_AC,

垂足为E,连接BD

（1）求证：BD平分/ABC；

（2）当NODB=30。时，求证：BC=OD.

D

考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理.

专题：证明题；压轴题.

分析：

（1）由ODLACOD为半径，根据垂径定理，即可得CD=AD,又由在同圆或等圆中，同弧或等

弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分NABC；

（2）首先由OB=OD,易求得NAOD的度数，又由ODLAC于E,可求得/A的度数，然后由

AB是。O的直径，根据圆周角定理，可得NACB=90。，继而可证得BC=OD.

解答：证明：（1）VOD1ACOD为半径，

CD=AD,

ZCBD=ZABD,

；.BD平分/ABC：

（2）VOB=OD,

/.ZOBD=Z0DB=30o,

NAOD=/OBD+NODB=30°+30°=60°,

又：OD_LAC于E,

NOEA=90°,

ZA=1800-ZOEA-ZAOD=180°-90°-60°=30°,

又...AB为。O的直径，

二ZACB=90",

在RtZ\ACB中，BC」AB,

2

VOD-AAB,

2

；.BC=OD.

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识.此题难度适中，注意掌握数形

结合思想的应用.

20.（10分）已知二次函数的图象经过点（0,3）,顶点坐标为（1,4）,

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求图象与x轴交点A、B两点的坐标；

（3）图象与y轴交点为点C,求三角形ABC的面积.

考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式.

专题：计算题.

分析：(1)设出二次函数的顶点式y=a(x-1)2+4,将点(0,3)代入解析式，求出a的值即可得到

函数解析式；

(2)令y=0,据此即可求出函数与x轴交点的横坐标，从而得到图象与x轴交点A、B两点的

坐标；

(3)由于知道C点坐标，根据A、B的坐标，求出AB的长，利用三角形的面积公式求出三角

形的面积.

解答：解：(1)设所求的二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4,

把x=0,y=3代入上式，得：

3=a(0-1)2+4,

解得：a=-1,

・•・所求的二次函数解析式为y=-(x-1)2+4,

即y=-X2+2X+3.

(2)当y=0时，0="X2+2X+3,

解得：X1=-1,X2=3,

・・・图象与x轴交点A、B两点的坐标分别为(-1,0),(3,0),

(3)由题意得：C点坐标为(0,3),AB=4,

SAABC=~X4X3=6.

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，利用函数与方程的关系，分别令x=0、y=0,据此即可求出与

坐标轴的交点.

21.(10分)当a>0且x>0时，因为-乎)2?。，所以x-峭+^20,从而x+©z2解(当xS

时取等号).记函数y=x+3(a>0,x>0)，由上述结论可知：当*=4时，该函数有最小值为2匹.

X

(1)已知函数yi=X(x>0)与函数(x>0)，则当x=1时,Yl+〃取得最小值为2.

2X

求”的最小值，并指出取得

(2)已知函数yi=x+l(x>-1)与函数(x+1)2+4(x>-1)

该最小值时相应的X的值.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果.

y2

(2)先得出二的表达式，然后将(x+1)看做一个整体，继而再运用所给结论即可.

解答：解：(1”.•函数尸x+且(a>0,x>0))，由上述结论可知：当x=V£时，该函数有最小值为2〃.

X

，函数yi=x(x>0)与函数y,(x>0),贝lj当x=JT=l,即x=l时，yi+y2取得最小值为2.

乙X

故答案是：1;2.

(2)..•已知函数yi=x+l(x>-1)与函数y2=(x+1)2+4(x>-1),

..逛=(x+］「+£(x+1)+W(x〉T),

y1x+1x+1

，篷有最小值为2ja=4.

当x+l=«,即x=l时取得该最小值.

检验：x=l时，x+1=2。0,

故X=1是原方程的解.

所以，乜2的最小值为4,相应的x的值为