中国民航大学名师高数课件微分方程习题课(1-2)

一阶微分方程的习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用第十二章2015.51微分方程习题课(1-2)一、一阶微分方程求解

1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程2015.52微分方程习题课(1-2)例1.求下列方程的通解解答：故为分离变量方程:通解2015.53微分方程习题课(1-2)方程两边同除以x

即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.2015.54微分方程习题课(1-2)调换自变量与因变量的地位，化为这是一阶线性方程通解：化简为2015.55微分方程习题课(1-2)方法1

这是一个齐次方程.2015.56微分方程习题课(1-2)方法2

化为微分形式故这是一个全微分方程.2015.57微分方程习题课(1-2)内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程2015.58微分方程习题课(1-2)例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为2015.59微分方程习题课(1-2)令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为2015.510微分方程习题课(1-2)变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:2015.511微分方程习题课(1-2)例3.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:2015.512微分方程习题课(1-2)(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是2015.513微分方程习题课(1-2)练习题:(题3只考虑方法及步骤)P326题2求以为通解的微分方程.提示:消去

C

得P327题3

求下列微分方程的通解:提示:

令u=xy,化成可分离变量方程:提示:

这是一阶线性方程,其中P326题1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)2015.514微分方程习题课(1-2)提示:

可化为关于

x

的一阶线性方程提示:

为贝努里方程,令提示:

为全微分方程,通解提示:可化为贝努里方程令微分倒推公式2015.515微分方程习题课(1-2)思考:

能否根据草图列方程?练习题:P327题5,6P327题5.

已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:

设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵2015.516微分方程习题课(1-2)二阶微分方程的习题课(二)二、微分方程的应用

解法及应用一、两类二阶微分方程的解法第十二章2015.517微分方程习题课(1-2)一、两类二阶微分方程的解法

1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解2015.518微分方程习题课(1-2)2.二阶线性微分方程的解法

常系数情形齐次非齐次代数法

欧拉方程2015.519微分方程习题课(1-2)解答提示P327题2

求以为通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P327题3

求下列微分方程的通解提示:(6)令则方程变为2015.520微分方程习题课(1-2)特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思考若(7)中非齐次项改为提示:原方程通解为特解设法有何变化?2015.521微分方程习题课(1-2)P327题4(2)

求解提示:

令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考若问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何确定?2015.522微分方程习题课(1-2)特征根:例1.求微分方程提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解:代入方程定A,B,得得2015.523微分方程习题课(1-2)处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:2015.524微分方程习题课(1-2)例2.且满足方程提示:

则问题化为解初值问题:最后求得2015.525微分方程习题课(1-2)思考:

设提示:

对积分换元,则有解初值问题:答案:2015.526微分方程习题课(1-2)的解.例3.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对

x

求导,得

(1)

由反函数的导数公式知(2003考研)2015.527微分方程习题课(1-2)代入原微分方程得①(2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:2015.528微分方程习题课(1-2)由初始条件得故所求初值问题的解为2015.529微分方程习题课(1-2)备用题

有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解:故所给二阶非齐次方程为方程化为1.设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程2015.530微分方程习题课(1-2)故再积分得通解复习:

一阶线性微分方程通解公式2015.531微分方程习题课(1-2)

2.(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.解:(1)(02考研)2015.5