(4.2)-第三章 时域分析控制工程基础

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机械控制工程基础第三章时域分析第一节概述第二节一阶系统的时间响应第三节二阶系统的时间响应第四节高阶系统的响应分析第五节稳态误差分析与计算第六节时域分析的MATLAB实现▼

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学习重点了解典型信号和自动控制系统时域指标的定义；掌握一阶和二阶系统分析与暂态性能指标计算方法；了解系统参数对系统暂态性能指标的影响，能够定性分析高阶系统的暂态响应过程；理解稳态误差的概念，了解系统参数对系统误差的影响，熟练掌握稳态误差的计算方法。时域分析法：是根据系统微分方程，以拉氏变换为工具，直接解出响应的时间函数，并依据函数表达式及响应过程曲线，分析系统的动态性能及稳态性能。时域法的作用和特点：

(1)直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确；

(2)可以提供系统时间响应的全部信息；

(3)时域法是最基本的分析方法，该方法引出的概念、方法和结论是以后学习复域法、频域法等的基础。引言一、时间响应的概念

在输入信号作用下，系统输出随时间的变化过程称为系统的时间响应。瞬态响应——系统在某一输入信号的作用下，其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。稳态响应——当某一输入信号的作用下，系统的响应在时间趋于无穷大时的输出状态。第一节概述二、典型输入信号第二节一阶系统的时间响应一阶系统的数学模型一阶系统的时域响应动态性分析稳态性分析一阶系统的基本性质及结论1.一阶系统分析的步骤：2、时域分析法的分析思路：输入信号的时域描述Xi(t)数学模型Φ(s)输出信号的时域描述Xo(t)3、数学解算过程：Xi(t)Xi(S)Xo(S)=Φ(s)Xi(S)Xo(t)td、tr、tp、tsMp、N、ess拉氏变换由Φ(s)定义拉氏反变换由性能指标的定义一、一阶系统的定义

凡是能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其典型形式是惯性环节。uiCiuoUi(S)Uo(S)I

(S)-Uo(S)+Xi(s)Xo(s)下图所示的RC电路是一个典型的一阶系统。二、一阶系统的典型输入响应Xi(t)Xi(S)Xo(S)=Φ(s)Xi(S)Xo(t)拉氏变换由Φ(s)定义拉氏反变换

数学解算过程1.单位脉冲响应

单位脉冲响应曲线

从图中可以看出：当t→∞时，xo（t）→0，即在后面的“稳定性分析”中我们将看到满足这个条件的系统是稳定的。Xi(t)Xi(S)Xo(S)=Φ(s)Xi(S)Xo(t)拉氏变换由Φ(s)定义拉氏反变换

数学解算过程二、一阶系统的典型输入响应2.单位阶跃响应

单位阶跃响应曲线

动态性能指标：td=0.69T，

tr=2.20T，

ts=3T，峰值时间tP和超调量MP不存在.

可见一阶系统的时间常数T越小，响应速度越快，实际上，T反映了系统的惯性。稳态性能指标：t→∞时，xo（t）→1，即ess=1-xo（∞）=0。说明一阶系统能无差的跟踪单位阶跃信号。2012.9.14第9次课3.单位斜坡响应Xi(t)Xi(S)Xo(S)=Φ(s)Xi(S)Xo(t)拉氏变换由Φ(s)定义拉氏反变换

数学解算过程二、一阶系统的典型输入响应

单位斜坡响应曲线

可见，一阶系统能跟踪斜坡输入，但存在一恒定的跟踪误差，这一点在“稳态误差分析”中将作进一步分析。补：一阶系统的单位加速度响应曲线一阶系统对典型输入信号时间响应的比较：闭环传递函数输入信号（时域）

输出响应ess01(t)0tT无穷大

线性定常系统对时间响应的一个重要性质：如果系统的输入信号存在积分和微分关系，则系统的时间响应也存在对应的积分和微分关系。

可以证明，该结论可以推广到任何阶次的线性定常系统。即对于线性定常系统如果则这是线性定常系统的一个重要特性。这使得我们在研究线性定常系统的时间响应时，不必对每种输入信号形式进行分析，而只取其中一种典型形式进行分析，通常我们研究单位阶跃响应。第三节二阶系统的时间响应二阶系统及其数学模型二阶系统的时域响应动态性分析稳态性分析二阶系统的基本性质及结论二阶系统分析步骤：二阶系统时域分析法的分析思路和数学解算过程与一阶系统相同。一、

二阶系统的定义

凡是能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其典型形式是振荡环节。很多实际的系统都是二阶系统。uiu0LRCUi(S)Uo(S)I

(S)-Uo(S)+Xi(s)Xo(s)根据ξ的大小，可将二阶系统分为以下类型：jωs2s1[s平面]图1）jωs1=s2图2）jωs2s1图3）jωs2s1图4）jωs2s1图5）jωs2s1图6）左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1两个相等根jωnξ<0ωd=ωnσjωnβξ=0

jω右半平面ξ<0ξ>1两个不等根0负<-1ξ<-1两个不等根正稳定临界稳定不稳定？β—实轴负方向转过角度“注”：此处“极”坐标与数学上有所区别二、二阶系统的单位阶跃响应1、欠阻尼状态

数学解算过程Xi(t)Xi(S)Xo(S)=Φ(s)Xi(S)Xo(t)拉氏变换由Φ(s)定义拉氏反变换

稳态分量由输入信号决定；瞬态分量是一个以ωd为频率的衰减振荡过程，其衰减的快慢取决于ωn和ξ的大小，指数ξωn个称为衰减系数，由系统的极点决定。稳态分量瞬态分量0[s]

欠阻尼单位阶跃响应曲线jωs2s1衰减振荡2、无阻尼状态jωs2s1这是一条无阻尼的等幅振荡曲线，二阶系统处于临界稳定状态。过渡过程是不收敛的，即不存在。等幅振荡3、临界阻尼状态

临界阻尼单位阶跃响应曲线可见：这是一条无振荡、无超调的单调上升曲线，二阶系统处于振荡与不振荡的临界状态。

jωs1=s2xo0t1不振荡4、过阻尼状态txo01jωs2s1[s平面]可见：这仍是一条无振荡、无超调的单调上升曲线，二阶系统的过渡过程时间较长。

不振荡动态过程更长jωs2s1发散振荡5、负阻尼状态jωs2s1单调发散2012.9.17第10次课jωs2s1jωs1=s2jωs2s1jωs2s1xo01t无阻尼欠阻尼临界阻尼过阻尼

左极点稳定，右极点发散；复极点振荡，实极点不振荡；

极点起惯性延缓的作用，离虚轴越近影响越大；

零点起微分加快作用，可抵消最近极点作用；结论：总结xo01t衰减振荡不振荡不振荡等幅振荡jωs2s1jωs2s1负阻尼发散振荡单调发散

实际系统一般设计为0.4≤ξ≤0.8的欠阻尼状态，系统可以既快又稳的跟踪输入信号。在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。

三、二阶系统的性能指标

是指时域分析方法中对系统性能的定量描述，包括：稳定性指标、稳态性指标、动态性指标。a收敛b振荡次数N稳定性指标c延迟时间td动态性指标d上升时间tre峰值时间tpf调节时间tsg超调量Mp稳态性指标h稳态误差ess快稳准※在时域分析法中约定在单位阶跃信号作用下测定系统的性能。收敛、振荡次数①稳定性指标：收敛是指系统从一个状态运动到另一个状态，在其动态响应过程中，振荡逐渐减弱并稳在某一状态。反之则称为发散。振荡次数N是指在ts内输出量h（t）进入稳态前，穿越稳态值h（∞）次数的一半，反映了控制系统的阻尼特性。延迟时间td、②动态性指标：上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts、超调量Mp延迟时间是单位阶跃响应第一次达到其稳态值h（∞）的50％所需的时间。tr是响应从稳态值的10％上升到90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到稳态值所需的时间。峰值时间是响应超过稳态值h（∞）到达第一个峰值所需的时间。调节时间是响应到达并停留在稳态值的允许误差范围内（

±5%或±2%）所需的最小时间。超调量是在动态过程中，输出量的最大值h（tp）超出稳态值h（∞）的百分比。定义为Mp③

稳态性指标：稳态误差ess稳态误差：期望值与稳态值之差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。稳态误差：期望值与稳态值之差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。响应曲线从0上升到稳态值的100%所用时间响应曲线达到第一个峰值所用时间在响应曲线的稳态值上，用稳态值的绝对百分数做一个允许误差范围，响应曲线达到并且永远保持在这一允许误差范围内所用的最小时间10t这些点已被确定0.05或0.02三、二阶系统的性能指标不可能为0！0[s]04.39.416.325.437.252.772.910010.70.60.50.40.30.20.10表3-1不同阻尼比的最大超调量10t另一种求解方法：阻尼比0.707为最佳阻尼比：总结：当ξ一定时，tr，tp，ts均与ωn成反比，提高ωn可减小tr，

tp，ts

，从而提高系统的响应速度；当ωn一定时，若ξ增大，则tr，tp增大，系统响应速度降低，但Mp和N减小，即振荡程度减轻，平稳性好；响应速度和振荡强度矛盾，应折衷选取ξ和ωn，通常先根据Mp

确定ξ，继而确定其他参数；上述公式只适用于的情况，否则应先求出单位阶跃响应函数，再根据定义求性能指标。Xi(s)Xo(s)-例1：某数控机床的位置随动系统为单位负反馈系统，其结构框图如图所示，试求系统的。解：首先计算系统的传递函数与二阶系统的标准形式相比较，得例2：控制系统框图如图所示。若要求单位阶跃响应超调量调节时间，试确定的值。解：首先计算系统的传递函数与二阶系统的标准形式相比较，得2012.9.19第12次课Xi(s)Xo(s)-由性能指标，可以求得系统的特征参数将系统的特征参数带入，可以求得例3：已知机械系统如图，在质量块上施加8.9N的阶跃力作用，测得其时间响应如图。求系统参数m，B，ktxo(t)00.030.00292解：首先求系统传递函数。xiＢxomK联立三式求出m、c、k。第四节高阶系统的时间响应t01二阶系统阶跃响应：1xot0一阶系统阶跃响应：

二阶以上的高阶微分方程所描述的系统叫做高阶系统。大多数实际控制系统都属于高阶系统。一阶系统响应二阶系统响应

结论：高阶系统的瞬态响应是由一些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成的。当所有极点均具有负实部时，除了A0，其它各项随着t→∞而衰减为零，即系统是稳定的。

距虚轴最近且附近没有闭环零点的闭环极点对应着瞬态响应中衰减最慢的项，该极点对（或极点）对瞬态响应起主导作用，称之为主导极点。工程上当极点A距虚轴的距离大于5倍的极点B距虚轴的距离时，分析时可忽略极点A。1、主导极点

闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消去，称之为偶极子相消。工程上，某极点Pk与某零点Zi之间的距离比它们的模值小一个数量级时，可以认为这对零、极点为偶极子。2、偶极子

对于高阶系统的研究和分析，一般是比较复杂的。高阶系统通过合理的简化，可以用低阶系统近似。1）对于二阶振荡环节，决定了振荡衰减的快慢。极点离虚轴越远，该环节响应曲线衰减越快。2）若某极点附近有零点，则该极点对系统响应的影响大大减小。jw[s]s2s1第五节稳态误差分析与计算1、稳定

2、准确

3、快速误差动态误差：误差随时间变化的过程值；稳态误差：系统进入稳态后实际输出量和希望输出量之间的相差程度。跟踪输入信号的能力；抑制扰动信号的能力。对控制系统的基本要求：一、系统的误差与偏差偏差Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-B(s)-Xor(s)Er(s)+当控制系统的偏差信号E(s)=0时，控制系统无控制作用，此时系统的输出为理想输出Xor(t)Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-Xb(s)-Xor(s)Er(s)+※误差与偏差有简单的比例关系稳态误差与稳态偏差∴求稳态误差，只需求出稳态偏差即可。1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有物理意义，便于工程应用。说明：2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，便于理论分析。3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。二、

稳态误差计算

先看单位反馈系统-

非单位反馈系统-※例1：-该系统为一阶惯性系统，稳定三、静态误差系数法设闭环系统的开环传函为1、系统的类型称为0型系统称为I型系统称为II型系统系统的型别以来划分：K-系统的开环增益；

-开环传递函数中包含积分环节的数目；--2、典型输入信号作用下的稳态误差单位阶跃输入的稳态误差静态位置误差系数单位斜坡输入的稳态误差静态速度误差系数单位加速度输入的稳态误差静态加速度误差系数输入误差系数稳态误差系统型别结论：1）提高系统型次，或增加前向通道中积分环节数目，可减小或消除系统的稳态偏差。2）增大系统开环增益，有利于减小系统的稳态偏差。注意1、上述位置、速度、加速度误差分别指输入为阶跃、斜坡、加速度信号时的输出位置上的误差；且上述输入信号是广义