重庆市部分区2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题

重庆市部分区2023~2024学年度第一学期期末联考高二数学试题卷注意事项：1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：4页．2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm签字笔．4．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，，且，则的值为（）A．－2 B．－1 C．0 D．22．已知直线：在轴与y轴上的截距相等，则实数的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．23．若圆：与圆：外切，则实数的值为（）A．±4 B．±2 C．2 D．44．设是等差数列的前项和，若，则＝（）A．1 B．3 C．5 D．105．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成（简称为8步“雹程”），当时，需要的“雹程”步数为（）A．8 B．9 C．10 D．116．已知双曲线：的两个焦点分别是和，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（）A． B． C． D．7．已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（）A． B． C． D．8．已知椭圆：，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在等比数列中，，，则（）A．该数列的第5项 B．该数列的通项公式C．数列是等比数列 D．设数列的前项和为，则10．在正方体中，下列结论正确的是（）A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角为C．二面角的大小为 D．11．给出下列命题，其中正确的是（）A．任意向量，，满足B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是C．已知，，，为空间向量的一个基底，则向量，，能共面D．已知，，，则向量在向量上的投影向量是12．已知圆：，点为直线：上一动点，过点向圆引两条切线和，其中，为切点，则下列说法正确的是（）A．的最小值为B．的最大值为C．当最小时，直线的方程为D．原点到动直线距离的最大值是1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线：与直线：平行，则实数的值为______．14．已知数列，则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为______．15．已知直线：和椭圆：，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的m的一个值为______．16．一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将这两个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，AC，若点G满足且，则的最小值为______．四、解答题：本题共有6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列，，（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的前项和为，求使不等式成立的的最小值．18．（12分）已知抛物线：过点．（1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）过焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的长．条件①：直线的斜率为2；条件②：线段的中点为．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．19．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M为BC中点，N为PA中点，．（1）证明：；（2）求直线MN与平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）已知数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．21．（12分）如图，在三棱锥P－ABC中，，，O为AC的中点．（1）证明：；（2）若点E在线段BC上（异于点B，C），平面PAE与平面PAC的夹角为，求的值．22．（12分）已知双曲线：的实轴长为2，且其渐近线方程为．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点且斜率不为0的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点Q在线段AB上，且，T为线段AB的中点，记直线OT，OQ（O为坐标原点）的斜率分别为，，求是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．重庆市部分区2023~2024学年度第一学期期末联考高二数学参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．12345678ADACBDDA二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9101112ACACDBCABD三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．； 14．3； 15．3（答案不唯一，满足即可）； 16．四、解答题：本大题共有6个小题，共70分．17．（10分）解：（1）∵，，成等比数列，∴∵数列是公差为2的等差数列，∴解得∴∴（2）由（1）可得，由可得，∴或又，∴的最小值为11．18．（12分）解：（1）由已知可得，，∴所以抛物线C的标准方程为抛物线C的的准线方程为（2）选条件①：由（1）可知，焦点坐标为∴直线的的方程为，即由消去，整理可得设，，∴∴选条件②：设，∵线段AB的中点为∴∴19．（12分）方法不唯一．（1）证明：取PD中点E，连接NE，CE．∵N为PA的中点∴且又底面ABCD为矩形，M为BC中点且∴且∴四边形MNEC为平行四边形∴∵，∴（2）解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系．则，，，，∴，，设平面PBC的一个法向量为，则，∴取，则，∴设直线MN与平面PBC所成角为．则20．（12分）解：（1）由题可知①∴（且）②由①－②得即（且）又当时，∴∵∴∴（且）所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列．∴（2）∵∴∴①∴②由①—②得∴∴即21．（12分）（1）证明：∵且O为AC中点∴又∵且O为AC中点∴又∴且∴∴为等腰直角三角形又∵O为AC中点∴又∵，即，∴又∵∴（2）解：以O点为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系∵且∴∴平面PAC的一个法向量设，，∴，