湖南省重点高中2023届高三下学期高考模拟数学试题

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一、单选题

1.设集合，若A的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合（）

A．

B．

C．

D．

2.已知，若对任意，，则一定为（）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．等腰三角形

D．直角三角形

3.过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（）

A．2

B．3

C．4

D．6

4.设，为正实数，，，则（）

A．

B．

C．1

D．

5.已知，，则的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

6.已知（，2，⋯，95），则数列中整数项的个数为（）

A．13

B．14

C．15

D．16

7.在直三棱柱中，，已知G与E分别为和的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.若，则线段DF长度的取值范围为

A．

B．

C．

D．

8.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

9.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（）

A．设总样本的平均数为，则

B．设总样本的平均数为，则

C．设总样本的方差为，则

D．若，则

10.如图，为正方体.任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（）

A．S为定值

B．S不为定值

C．l为定值

D．l不为定值

11.已知函数，实数，满足，，则（）

A．

B．

C．

D．

12.已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．则下列结论正确的是（）

A．数列的通项公式为

B．若数列的前项和为，则

C．当时，

D．当时，

三、填空题

13.直线与抛物线交于、两点，为抛物线上的一点，.则点的坐标为______.

14.设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，，则________

15.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是（）．

16.如图，在的长方形棋盘的每个小方格中各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，则称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.则最少取出______个棋子才可能满足要求.

四、解答题

17.已知的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列.

(1)若，的面积为2，求的周长；

(2)求的取值范围.

18.已知数列满足：，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，试比较与的大小.

19.类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．

（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；

（2）如图2，四棱柱中，平面平面，，，

①求的余弦值；

②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．

20.公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫向另一位著名的数学家帕斯卡提请了一个问题，帕斯卡和费马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注.

（1）甲、乙赌博意外终止，若，则甲应分得多少赌注？

（2）记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.

21.作斜率为的直线与椭圆交于、两点（如图）