5.4 三角函数的图象与性质（精讲）-2022版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册）（教师版含解析）

5.4三角函数的图象与性质思维导图思维导图常见考法常见考法考点一五点画图【例1】(1)(2020·全国高一课时练习)用五点法作出函数的简图.(2)(2020·全国高一课时练习)利用正弦或余弦函数图象作出的图象．【答案】见解析【解析】(1)列表:0100101210描点，连线，如图.(2)由，所以的图象由的图象轴下方的部分关于轴对称上去，和轴上方的原图象共同组成，如图实线部分所表示的是的图象五点法画图五点法画图作形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0,2π]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x＝0、eq\f(π,2)、π、eq\f(3π,2)、2π；②描点；③用光滑曲线连成图．【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)利用“五点法”作出函数y＝1－sinx(0≤x≤2π)的简图．【答案】见解析【解析】列表：0010010121作图：2．(2020·全国高一课时练习)利用正弦曲线，求满足的x的集合．【答案】【解析】正弦函数一个周期内的图象如图，满足，由图可知，所以满足的x的集合为3．(2020·武功县普集高级中学高一月考)用五点法作出函数在内的图像.【答案】见解析【解析】列表：010－10153135描点得在内的图像(如图所示)：考点二周期【例2】(1)(2020·福建高二学业考试)函数的最小正周期为()A． B． C． D．(2)(2020年广东潮州)下列函数中，不是周期函数的是()A.y＝|cosx|B．y＝cos|x|C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|【答案】(1)D(2)D【解析】(1)函数的最小正周期为：故选：D(2)画出y＝sin|x|的图象，易知y＝sin|x|不是周期函数【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)下列函数中,最小正周期为的是()A． B． C． D．【答案】C【解析】对于，周期，错误.对于，周期，错误.对于，周期，正确.对于，，周期，错误，故选C.2．(2019·云南高二期末)函数的最小正周期为__________．【答案】【解析】由题得函数的最小正周期.故答案为：考点三对称性【例3】(2020·辽宁大连·高一期末)函数的图像的一条对称轴方程为()A． B． C． D．【答案】B【解析】函数令，则，当时，，故选B.【举一反三】1．(2020·永昌县第四中学高一期末)函数y＝sin的图象的一条对称轴是()A．x＝－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝【答案】C【解析】令，则，当时，，所以C成立，经检验，其他选项都不正确.故选：C2．(2020·山西省长治市第二中学校高一期末(理))下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数是()A． B．C． D．【答案】B【解析】先选项C中函数的周期为,故排除C,将,代入A,B,D求得函数值为,而函数在对称轴处取最值.故选:.3．(2020·河南平顶山·高一期末)如果函数的图象关于直线对称，那么取最小值时的值为()A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数的图象关于直线对称，可得，，即，，取最小值时，即或，即.故取最小值时的值为.故选：D.考点四单调性【例4】(1)(2020·吉林扶余市第一中学高一期中)函数的单调递增区间为()A．， B．，C．， D．，(2)(2020·吉林扶余市第一中学高一期中)已知函数在上单调递减，则实数的一个值是()．A． B． C． D．【答案】(1)A(2)C【解析】(1)当，时，函数单调递增，即当，时，函数单调递增.故选：A(2)因为，则，又函数在上单调递减，所以，，因此，，解得：，故选：C．【举一反三】1．(2020·湖南益阳·高一期末)函数的单调递增区间为()A． B．C． D．【答案】A【解析】由，，得，，即函数的单调递增区间为，故选：．2．(2020·全国高三其他(理))已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是()A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【解析】由题意，是函数的最大值，，即．，．当时，，在上单调递增，不符合题意；当时，，符合题意.的最小值为7.故选：D．3．(2020·全国高三其他(理))函数在上为增函数，则的值可以是()A．0 B． C． D．【答案】C【解析】对A,,由余弦函数的性质可知在上为减函数，舍去；对B，，在上先减后增，舍去对C,，由余弦函数的性质可知在上为增函数.成立；对D,,在上先增后减，舍去故选：C．考点五奇偶性【例5】(2020·上海黄浦·高一期末)下列函数中，周期是的偶函数为().A． B． C． D．【答案】C【解析】A选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，周期为；B选项，函数的定义域为R，且，所以函数为奇函数，周期为；C选项，函数的定义与为R，且，所以函数为偶函数，周期为；D选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，不具有周期性.故选：C【举一反三】1．(2019·贵州高三月考(文))函数是()A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】B【解析】由题意，函数，则，所以函数为奇函数，且最小正周期，故选B.2．(2020·辽宁辽阳·高一期末)下列函数中，周期为的奇函数是()A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，，是奇函数，周期T＝，不符合题意；对于B，y＝sin(2x+3π)＝﹣sin2x，是奇函数，周期T＝，符合题意；对于C，＝-cos2x，是偶函数，不符合题意；对于D，|sinx|，是偶函数，不符合题意；故选：B．3．(2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试)已知函数，下面结论错误的是()A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数C．函数的图象关于直线对称D．函数是偶函数【答案】B【解析】对于函数，它的周期等于，故正确．令，则，则是的对称轴，故正确．由于，故函数是偶函数，故D正确．利用排除法可得B错误；故选：B．考点六定义域【例6】(1)(2020·宁县第二中学高一期中)函数的定义域是________.(2)(2020·宁县第二中学高一期中)函数的定义域是__________.【答案】(1)(2)【解析】(1)因为，所以，解得，即函数的定义域为故答案为：(2)因为所以，解得，解得，所以或，故函数的定义域为故答案为：考查函数的定义域，即求使函数有意义的取值范围．求函数定义域的依据考查函数的定义域，即求使函数有意义的取值范围．求函数定义域的依据(1)整式函数的定义域为R；(2)分式的分母不为零；(3)偶次根式的被开方数不小于零；(4)对数函数的真数必须大于零；(5)正切函数y＝tanx的定义域为；(6)x0中x≠0；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【举一反三】1(2020·辽宁沈阳·高一期中)函数的定义域是()A． B．C． D．【答案】B【解析】令，则，故选：B.2．(2020·湖南高一月考)函数的定义域为()A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知可得，由正弦函数的性质知.故选：C.3．(2020·吉林公主岭·高一期末(理))函数的定义域为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由得所以.故选：C.考点七值域【例7】(1)(2019·福建高三学业考试)函数的最小值是。(2)(2020·全国高二月考(文))在区间上的最小值为______.(3)(2020·全国高一课时练习)函数，且的值域是________________．【答案】(1)(2)0(3)【解析】(1)当时，函数的最小值是，(2)因为，所以，则，，故在区间的最小值为，故答案为：.(3)函数在，值域为，在也单调递增，值域为，综上函数，且的值域是.故答案为：【举一反三】1．(2019·伊美区第二中学高一月考)求函数的最值，及取最值时x的集合．【答案】时，；时，．【解析】由已知，∵，∴当，即时，，当，即时，．2．(2020·新疆高三三模(理))f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.【答案】【解析】函数f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函数，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函数，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案为.3．(2020·山西省长治市第二中学校高一期末(理))已知函数在区间上的最小值为，则ω的取值范围是()A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，函数在区间上的最小值为，所以时，，所以，，时，，所以，，所以的范围是．故选：D．考点八正切函数性质【例8】(2020·山西省长治市第二中学校高一期末(理))下列关于函数的说法正确的是()A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的定义域为C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增【答案】B【解析】，A错；由得，B正确；时，，函数在此区间上不单调，C错；或时，函数值不存在，D错．故选：B．【举一反三】1．(2020·辉县市第二高级中学高一期中)关于函数，下列说法正确的是()A．是奇函数 B．在区间上单调递增C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为【答案】C【解析】，所以是函数图象的一个对称中心，故选C．2．(2020·海原县第一中学高一期末)下列关于函数的说法正确的是()A．在区间上单调递增 B．最小正周期是πC．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线成轴对称【答案】C【解析】函数无单调递增区间和对称轴，A、D错误其最小正周期是，故B