4.3 对数运算（精讲）-2022版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册）（教师版含解析）

4.3对数的运算思维导图思维导图常见考法常见考法考点一指数对数的转化【例1】(2020·上海高一课时练习)将下列指数式与对数式互化.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1).(2).(3).(4).【解析】因为由可得，所以(1)由可得；(2)由可得；由可得，所以(3)由可得；(4)由可得.指数式和对数式的互化.指数式和对数式的互化.由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数；由对数式转化为指数式时，以对数的底数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数.【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【解析】，故正确；，故正确；，，故不正确；，故正确．故选：C．2．(2020·全国高一课时练习)将下列指数式写成对数式：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1)因为，所以.(2)因为，所以.(3)因为，所以.(4)因为，所以.3．(2020·上海高一课时练习)将下列对数式改为指数式：(1)，指数式为__________；(2)，指数式为__________；(3)，指数式为__________；(4)，指数式为____________.【答案】【解析】由于，所以：(1)，指数式为；(2)，指数式为；(3)，指数式为；(4)，指数式为故答案为：；；；.考点二对数式求值【例2】(2020·全国高一课时练习)求下列各式中x的值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)；(2)；(3)2；(4)【解析】(1)因为所以.(2)因为,所以.又所以(3)因为所以于是(4)因为所以于是【举一反三】1．(2019·福建省仙游县枫亭中学高一期中)下列四个等式:①;②;③若,则;④若,则.其中正确的是()A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【解析】①;②;③若,则;④若,则.故选：C2．(2019·安徽金安·六安一中高一月考)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴．∴．故选D．3．(2020·宁县第二中学高一月考)方程的解__________【答案】【解析】∵，∴，∴经检验满足故答案为：.考点三对数式化简【例3】(1)(2020·湖北黄冈·高一月考)计算：_______.(2)(2020·山西应县一中高二期中(文))计算：__________．(3)的值等于______．【答案】(1)2(2)4(3)【解析】(1)原式.故答案为：2.(2)原式故答案为4(3)=．故答案为:．【举一反三】1．(2020·四川达州·高三其他(文))计算______．【答案】0【解析】由题意.故答案为：.2．(2020·石嘴山市第三中学高二期末(理))______.【答案】【解析】根据对数的运算性质及换底公式化简可得，故答案为：.log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242；【答案】－eq\f(1,2)【解析】原式＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42))＝log22＝－eq\f(1,2).4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.【答案】1【解析】原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.考点四换底公式【例4】(2020·浙江高一课时练习)若，且，则为()A．0 B．1 C．1或2 D．0或2【答案】D【解析】令，则，，，依换底公式得或.当时，且，故；当时，.故选：D【举一反三】1．(2020·上海高一课时练习)_________.【答案】3【解析】原式.故答案为：.2．(2018·江苏省连云港市锦屏高级中学高一期中)设，，则等于()A． B． C． D．【答案】D【解析】根据对数的换底公式得，，故选D．3．(2020·浙江高一课时练习)计算：(1).(2).【答案】(1)4；(2).【解析】(1).(2).考点五指数对数运算的综合【例5】(2020年广东湛江)(1)已知，试用表示.(2)若26a＝33b＝62c，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(3,c).【答案】(1).(2)见解析【解析】(1).∵∴.则.(2)证明设26a＝33b＝62c＝k(k＞0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6a＝log2k，,3b＝log3k，,2c＝log6k，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(6,log2k)＝6logk2，,\f(1,b)＝\f(3,log3k)＝3logk3，,\f(1,c)＝\f(2,log6k)＝2logk6.))∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝6·logk2＋2×3logk3＝logk(26×36)＝6logk6＝3×2logk6＝eq\f(3,c)，即eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(3,c).【举一反三】1．(2019·浙江南湖·嘉兴一中高一月考)若实数a，b满足，则()A． B． C． D．1【答案】D【解析】因为，所以，．故选：D．2．(2020·浙江高二月考)若，，则__