3.2 函数的性质（精练）-2022版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册）（教师版含解析）

3.2函数的性质【题组一性质法求单调性(单调区间)】1．(2020·林芝市第二高级中学高二期中(文))函数的单调递增区间为()A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函数,∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为轴∴函数的单调增区间为.故选:A.2．(2019·福建高二期末(理))函数的单调增区间是()A． B． C． D．【答案】B【解析】定义域为恒成立所以在上单增，在上单增所以函数的单调增区间是3．函数y＝的单调区间是()A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．{x∈R|x≠1} D．R【答案】A【解析】单调区间不能写成集合，故C不对，由于函数的单调区间也不能超出定义域，故D不对，由于函数在(－∞，1)和(1，＋∞)内单调递减，所以B表达不当．故答案为：A.4．(2019·辽宁大连。高一期末)函数的单调递减区间为A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是故选A．5．(2018·唐山市第十一中学高一月考)下列函数中，在上为增函数的是()A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A选项，函数在上递减.对于B选项，函数在和上递减.对于C选项，函数在上递减，在上递增.对于D选项，函数在上递减，在上递增，故也在上递增，符合题意.故选D.6．(2020·上海高一课时练习)函数的单调增区间为____________．【答案】【解析】函数由复合而成，单调递减，则的减区间为即为函数的增区间，所以的增区间为.【题组二定义法求单调性(单调区间)】1．(2020·浙江高一课时练习)已知函数.(1)用定义证明在区间上是增函数.(2)求该函数在区间上的最大值与最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)，.【解析】(1)任取，，且，则.∵，∴，，∵，即，故函数在区间上是增函数.(2)由(1)知函数在区间上是增函数，∴，.2．(2020·全国高一)利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．【答案】证明见解析【解析】证明：设x1，x2是区间上任意两个实数且，则，∵，∴，，．∴．即，．∴在上是减函数．3．(2020·全国高一)已知函数，(1)判断函数的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值.【答案】(1)增函数.见解析(2)，【解析】(1)设且，所以∵∴，∴即，在上为增函数.(2)在上为增函数，则，【题组三图像法求单调性(单调区间)】1．(2020·全国高一课时练习)如图是定义在区间，上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【答案】答案见解析【解析】从函数图象上看，当时，图象呈下降趋势，所以为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当时，图象呈上升趋势，所以为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增；从函数图象上看，当时，图象呈下降趋势，所以为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当时，图象呈上升趋势，所以为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增．2．(2020·上海高一课时练习)作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)减区间：和，值域：；减区间：和，增区间：和，值域：；增区间：和，减区间：，值域：；减区间：和，增区间：和，值域：；(5)减区间：和，增区间：和，值域：，大致图像见解析【解析】(1)，图象如图所示：函数在和为减函数.因为，所以，故值域为：；(2)，图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数，当时，取得最小值，故值域：；(3)，图象如图所示：函数在和为增函数，在为减函数，值域为：.(4)，图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数.值域为：；(5)，函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：.3(2019·深州长江中学高一期中)已知函数(1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象；(2)写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.【答案】(1)作图见解析；(2)定义域为，增区间为，减区间为、、，值域为.【解析】(1)图象如图所示：(2)由函数的图象可知，该函数的定义域为，增区间为，减区间为、、，值域为.【题组四利用单调性求参数】1．(2019·广东顺德一中高一期中)如果函数在区间上是单调递增的，则实数a的取值范围是______．【答案】.【解析】由题意得，当时，函数，满足题意，当时，则，解得，综合得所求实数的取值范围为.故答案为：.2．(2020·全国高一课时练习)已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围为________．【答案】(－∞，1]∪[2，＋∞)【解析】∵函数在区间上具有单调性，

函数的对称轴为或故的取值范围为或.故答案为:．3．(2020·全国高一课时练习)若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x＝3解得故答案为：4．(2020·全国高一课时练习)函数在上是减函数，且，则的取值范围是________.【答案】(－1，1)【解析】函数在上是减函数，且，，解得，故答案为：5．(2020·天津高二期末)已知，若，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】在区间都是增函数，并且在处函数连续，所以在上是增函数，等价于，解得.故答案为:6．(2020·浙江高一课时练习)已知函数是上的增函数，且对一切实数都成立，则实数的取值范围是________.【答案】.【解析】∵是上的增函数，∴，即对一切都成立，∴.故答案为：．7．(2020·浙江高一课时练习)若的定义域为且在上是减函数，则下列不等式成立的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】，函的定义域为且在上是减函数，可得．故选：B．8．(2020·全国高一课时练习)若函数的定义域为，且为增函数，，则的取值范围又是什么？【答案】【解析】由于函数的定义域为，且为增函数，由，可得，解得.因此，实数的取值范围是.9．(2020·全国高一课时练习)已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围.【答案】【解析】由题意可知，，解得【题组五奇偶性的判断】1．(2020·全国高一专题练习)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)；(3)；(4)【答案】(1)奇函数；(2)既是奇函数又是偶函数；(3)既不是奇函数也不是偶函数；(4)奇函数.【解析】(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．(2)由得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝，于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．2．(2019·全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)．【答案】(1)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)偶函数．【解析】(1)由于该函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．(2)函数的定义域为，关于原点对称．，所以函数为偶函数．3．(2018·上海市上南中学高一期中)已知函数，求(1)函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性.【答案】(1)且；(2)奇函数【解析】(1)由题得得且x，所以函数的定义域为且.(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称.,所以函数是奇函数.【题组六利用奇偶性求解析式】1．(2016·徐汇。上海中学高一期末)已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______.【答案】【解析】因为是定义在上的奇函数,所以,当时,,所以,当时,,所以.故答案为:.2．(2020·浙江高一课时练习)函数在上为奇函数，且当时，，则当时，________．【答案】【解析】令，则，∴，又函数在上为奇函数，则，即，得，故当时，．3．(2020·吉林宁江.松原市实验高级中学高三其他(文))已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．【答案】【解析】根据题意，设，则，有，又由为偶函数，则，即，故答案为：．4．(2020·呼和浩特开来中学高二期末(文))已知定义在R上的奇函数,当时,,那么当时,的解析式为().A． B．C． D．【答案】D【解析】设,则,∵∴.故选：D【题组七利用奇偶性求参数】1．(2020·林芝市第二高级中学高二期末(文))已知函数，若，则的值为()A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为，，函数为奇函数，则.故选：B.2．(2020·上海高一开学考试)函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是()A． B． C． D．【答案】D【解析】为奇函数，.，.故由，得.又在单调递减，，.故选：D3．(2019·浙江南湖。嘉兴一中高一月考)设函数f(x)＝(x+1)(x+a)x为奇函数，则a＝【答案】-1【解析】因为函数f(x)＝(x+1)(x+a)x为奇函数，∴f(1)=(1+1)(1+a)1=-f(-1)=4．(2019·浙江湖州.高一期中)若定义域为的函数是偶函数，则______，______.【答案】20【解析】偶函数的定义域为，则，解得，所以，满足的对称轴关于轴对称，所以对称轴，解得.故答案为：2；05．(2020·辽宁丹东.高一期末)已知是定义域为的奇函数，当时，，那么实数m的值为________，的值为________.【答案】23【解析】由于奇函数的定义域为，所以，解得.所以当时，，所以.故答案为：(1).2(2).36．(2019·浙江高一期中)已知是定义在上的偶函数，则实数____，此函数的单调增区间为____．【答案】2【解析】因为是定义在上的偶函数，所以其对称轴为轴；即，解得；于是，显然其单调增区间为：．故答案为2；【题组八单调性与奇偶性的综合运用】1．(2020·盘锦市第二高级中学高二月考(理))已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是()A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意是偶函数，且在上单调递增，∴不等式可变为，∴，解得．故选：B．2．(2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试(文))已知函数为偶函数，当时，，则的解集是()A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，．由得或，解得或，即．所以不等式的解集为.故选：A.3．(2020·浙江高一课时练习)已知函数，若在上的值域为，则________.【答案】.【解析】由题意知函数在上单调递增，∴即解得.故答案为：．4．(2019·四川仁寿.高一期中)已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为______.【答案】【解析】因为函数为R上的奇函数,当时,令,则则由奇函数定义可得,所以所以当时,即所以,解不等式可得当时,成立当时,即,所以,解不等式可得综上所述,不等式成立的解集为故答案为:5．(2020·浙江高一课时练习)函数是定义在上的奇函数，且(1)求函数的解析式；(2)用定义证明:在上是增函数；(3)解不等式:【答案】(1)；(2)见详解；(3).【解析】(1)是定义在上的奇函数，.又，.经检验符合题意..(2)设，则.，，，所以在上是增函数.(3)是定义在上的奇函数，由，得，又是定义在上的增函数，，解得，所以原不等式的解集为.6．(2020·黑龙江萨尔图.大庆实验中学高二期末(理))已知是定义在[-1，1]上的奇函数且，若a､b∈[-1，1]，a+b≠0，有成立.(1)判断函数在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明.(2)解不等式.(3)若对所有､，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)是增函数，证明见解析;(2);(3)【解析】(1)任取，且，则，又∵为奇函数，∴，由已知得，，∴，即.∴在上单调递增.(2)∵在上单调递增，∴，∴，∴不等式的解集为.(3)因为在[﹣1，1]上是增函数，所以，即1是的最大值．若对所有､恒成立，则有，对恒成立，即恒成立．令，它的图象是一条线段，那么，解得：．7．(2019·福建省厦门第六中学高一月考)已知函数是上的奇函数，且当时，，(1)求函数在的解析式；(2)在所给的坐标系中画出的图像，并写出函数的单调区间.(作图要求：要标出与坐标轴的交点，顶点).【答案】(1)；(2)图象见解析；单调递增区间为和；单调递减区间为和【解析