分数的四种定义

分数的四种定义分数知识是数学素养的重要组成部分.在欧美各国的数学课程中，分数大多被放在中学(6～7年级)，我国的分数课程则要早一些。20世纪60年代，分数内容安排在五年级，现在则在四年级上学期，甚至三年级就开始学习了。这可能是由于中文数学名词“三分之一”“几分之几”，精确又达意，容易理解。而“三分之一”的英文表达是“one—third(一和第三)”，这就比较费解了。东亚的许多使用汉字的国家和地区，学生学习分数的成绩普遍比欧美各国好，据说与此有关。分数该怎样定义?一般地，有以下四种：

定义1(份数定义)：分数是把单位”1”平均分成若干份,表示其中的一份或几份。

定义2(商定义)：分数是两个整数相除(除数不为0)的商。

定义3(比定义)：分数是整数m与整数n(n≠0)之比。

定义4(公理化定义)：有序的整数对(p，q)，其中p≠0。

小学中,一般这样定义:将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示把单位“1”平均分成多少份的数a(a≠0)叫做分母，表示取了多少份的数b叫做分子。分数写成b/a，读作a分之b。这一定义的好处是直观、明白易懂，强调了“平均分”，特别对“几分之几”做了贴切的说明，对理解以后的分数运算也有很重要的价值。不仅可以分一个物体，还可以分一群物体。在教学上，选择适当的单位是理解分数的份数定义的关键。此外，把1/b作为分数单位加以强调，能帮助学生了解分数的含义。在教学中，我们强调“平均分”是必要的。同时，也要注意平均分只是各个部分的地位相同，外观不一定相同。例如，12辆汽车中，8辆是卡车，4辆是轿车，问轿车是全部汽车的几分之几?12粒糖中，巧克力有4粒，问巧克力占多少?这里平均分的是汽车、糖，而不在乎具体内容。

但是，用份数来定义分数，也有不少缺点。首先，一份或几份的说法，仍然和自然数靠得很近，没有显示出这是一种新的数。其次，平均分一个大饼之后其中的一份或几份的说法，常常会误解为分数总是小于1(比一个大饼小)。再次，由于分大饼或其他直观图的思维定势，不能适当选择单位，形成思维上的僵化。以下的调查可供我们思考.调查结果显示：看到1/4的学生有94.83％，但是，看到3/4的学生只有33.62％。特别是看到1/3的学生只有9.48％，这说明学生选择单位的能力很差。

因此，分数的份数定义可以作为起点，但是，不宜过分强调，应该迅速向更抽象的分数定义转移。

“分数是整数b除以整数a(a≠0)所得的商。”根据这一定义，如果a能够整除b，那么，其商依然是整数。但是，如果a不能整除b，那么，b/a是什么数呢?这就需要将整数扩展，引入新的数——分数。分数的真正来源，在于自然数除法的推广。1个大饼，由4个人平均分，得到有确定大小的一块大饼。对于这个客观存在的量，依除法的意义，应该是1÷4所得的商。可是，这种除数大、被除数小的除法，以前是不能除的，因而，也没有“商”的。于是，“创新”的机会来了。我们把已经认识的自然数当做“老朋友”，把1÷4的商看做“新朋友”，它的名字叫做四分之一。认识了这样的“新朋友”，任何两个自然数之间的除法就可以进行了。于是有这样的定义：分数是两个自然数a、b(a≠0)相除的商。b÷a的商是新数b/a，读作a分之b。当a能整除b，特别是b=l时，分数就是自然数。

从数学的观点来看，这一定义体现了分数的本质，符合数系扩张的数学思想。

目前的小学数学教材大多回避这一定义，只是用“分数和除法的关系，分数是分子除以分母”这样不着边际的话蒙混过去。事实上，儿童能够懂得：1个大饼给2个人平均分，每人只能分得一半——即“二分之一”。这时，脑子里如果始终是半个大饼，那就还没有学好分数。我们应该帮助学生想到“二分之一”即1/2，是一个新的数，它比1小。如果4个人平均分1个大饼，每个人得到1/4，它也是一个新的数。显然1/4<1/2。

01在过渡到分数的商定义时，在数直线上对分数作几何解释是非常重要的。这是一个半抽象的模型。线段模型是圆模型和其他平面模型的“再抽象”，可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。用线段的长度表示分数的大小，无论大饼、蛋糕有多大，这里的单位都是1。切下来的1份或2份，脑子里不再局限地呈现1或2，而是一个新的数。这样表示的好处很多。

首先，它的单位是抽象的“1”。虽与圆形、三角形相比，较抽象，但是仍然是几何直观，可以帮助学生感知分数的含义。其次，这是数轴的雏形，早在学习自然数的时候，已经用过这样的表示方法。再次，通过操作可以看到分数是填在自然数之间的“新”数，位置在两个相邻的自然数之间，并和分数大小比较、扩分、约分、通分以及运算相呼应。我国的分数教学，擅长分数的计算，不大注意在数轴上直观地加以表示。其实，这是数学素养的重要组成部分。应该让小学生知道，正的真分数是密密麻麻地分布在[0，1]区间上的。至少，在[0，1]内画出所有的以10为分母的真分数，加强分数和数直线之间的联系，乃是改进分数教学的一个方面。

“分数是两个整数的比(值)”，在中学数学和高等数学中，我们常常这样说。但是，小学数学课程的安排是先学分数，再学比。因此，不可能一开始就采用比作为分数的定义。令人意外的是，已经学过比和比例的小学六年级学生，仍然缺乏用比和比例的眼光去审视分数。前面曾提及的调查数据是：对于图1，38名六年级学生中，有36名学生看到了1/4，却只有3名的回答中有1/3。其实，1块黑，三块白，1：3，其比值正是1/3，非常直观。为什么看不到?只因把整块大饼看做单位“1”，已经根深蒂固。甚至有一位小学老师说，这个图表示的分数只能是1/4，说1/3是错的。由此可见，思维定势之严重。从数学上看，依份数定义看来，分数表面上是“一份或几份”，其实，表示的是部分和整体之比。“比”的定义是将它扩展，分数乃是“一部分和另一部分之比”，另一部分可以是整体，也可以是部分，把一部分当做新的整体。所以，在小学数学教学中，在讲比和比例的时候，应该补充“分数的再认识”。这对将来灵活地运用分数很有好处。比的定义和商的定义相近，值相同，表达的方式不同。在教学处理上，第一阶段的分数教学，先出份数的分数定义，然后过渡到“商”定义。份数定义显示过程，商定义表示结果。到了六年级，