高中专题复习及考试要求 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第6节 离散型随机变量及其分布列

第6节离散型随机变量及其分布列考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.1.离散型随机变量知

识

梳

理随着试验结果变化而变化的变量称为___________，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_________随机变量.随机变量离散型2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的______________.(2)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②_______________＝1.概率分布列p1＋p2＋…＋pn3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为X01P1－pp，其中p＝P(X＝1)称为成功概率.[常用结论与微点提醒]随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(

)(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.(

)(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布.(

)(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.(

)X25P0.30.7解析对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×2.(老教材选修2－3P49练习2改编)抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数X的所有可能取值是______.

答案0，1，23.(多选题)(老教材选修2－3P77A1改编)已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为(

)答案BC4.(2020·广州调研)若随机变量X的分布列为则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(

)A.(－∞，2] B.[1，2]C.(1，2] D.(1，2)X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1解析由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].答案C5.(2020·菏泽联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(

)答案C6.(2019·福州二模)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________.

解析由已知得X的所有可能取值为0，1，

且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，考点一离散型随机变量分布列的性质(2)(2019·南宁二模改编)设随机变量X的概率分布列为则P(|X－3|＝1)＝________.规律方法分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.则P(X≥2)＝(

)A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6答案(1)A

(2)D考点二离散型随机变量的分布列【例2】

(2019·冀州期末)有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法. (1)求n的值； (2)求随机变量X的概率分布列.解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意可知X的可能取值是0，2，3，4，所以X的概率分布列为规律方法求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格.对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率.【训练2】

(2020·济南调研)某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表：

图1：设备改造前样本的频率分布直方图表1：设备改造后样本的频数分布表(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值；(2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列.质量指标值[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)频数2184814162解(1)根据题图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下：质量指标值[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)频数416401218104×17.5＋16×22.5＋40×27.5＋12×32.5＋18×37.5＋10×42.5＝3020.根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2.随机变量X的取值为240，300，360，420，480.所以随机变量X的分布列为考点三超几何分布题号12345考前预估难度Pi0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144解(1)因为20人中答对第5题的人数为4，所以，估计240人中有240×0.2＝48人实测答对第5题.(2)X的所有可能取值是0，1，2.X的分布列为(3)将抽样的20名学生测试中第i题的实测难度作为240名学生测试中第i题的实测难度.列表如下：题号12345实测难度0.80.80.70.70.2因为S＝0.012＜0.05，所以，该次测试的难度预估是合理的.规律方法1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.【训练3】

某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行数据统计，具体情况如下表：组别年龄A组统计结果B组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车[15，25)27人13人40人20人[25，35)23人17人35人25人[35，45]20人20人35人25人先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去，(1)求这60人中“年龄达到