抛物线的简单几何性质1

2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质(1)复习抛物线的定义1抛物线的标准方程2抛物线的图象,焦点坐标,准线方程3椭圆及双曲线的性质4图形标准方程焦点坐标准线方程

类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？

我们根据抛物线的标准方程y2=2px(p>0)研究它的一些简单几何性质:抛物线的简单几何性质1.范围

因为p＞0，由方程y2=2px可知，对于抛物线上的点M(x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同;

当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2.对称性

以-y代y，方程y2=2px不变，所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3.顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2=2px中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．4.离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．1．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，焦点是F(0，5)；(2)顶点在原点，准线是x=4；(3)焦点是F(0，-8)，准线是y=8；(4)顶点在原点，关于x轴对称，顶点与焦点的距离等于6；y2＝24x或y2＝-24xx2＝20yy2＝-16xx2＝-32y2．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点

，求它的标准方程．y2＝4x3．顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点

的抛物线有几条？求出它们的标准方程．解：若焦点在x轴，可设抛物线的方程为：y2＝tx

将点

代入方程，解得：t=4

∴方程为：y2＝4x．

若焦点在y轴，可设抛物线的方程为：x2＝ty

将点

代入方程，解得：

∴方程为：

．4．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，关于x轴对称，过点M(2，-4)；(2)顶点在原点，关于y轴对称，过点P(-6，-3)；解：(1)设抛物线的方程为：y2＝tx，将点Ｍ(2，-4)代入方程，解得：t=8，∴方程为：y2＝8x． (2)设抛物线的方程为：x2＝ty，将点P(-6，-3)代入方程，解得：t=-12，∴方程为：x2＝-12y．xyOFABy2=2px2p

过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径.

利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.5.通径5．下列抛物线中，开口最大的是() A．x2＝y B．x2＝2y C．x2＝3y D．x2＝4yD(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率e是确定的，为１;(5)抛物线的通径为2p,2p越大，抛物线的张口越大.

连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.焦半径公式：xyOFP6.焦半径试推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA焦点弦公式：试推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。B7.焦点弦方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）1．抛物线y2=2px(p>0)上一点的横坐标为9，这点到焦点距离为13，则：这点到准线的距离为

；焦点到准线的距离为

；抛物线方程

；这点的坐标是

；此抛物线过焦点的最短的弦长为

．2．过抛物线y2=2x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，则|AB|=

．3．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=

．138y2=16x(9，±12)16784．斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．解：由题意知，F(1，0)，又∵l的斜率为1，∴l的方程为y=x-1，由

，得x2-6x+1=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=6，∴|AB|=x1+x2+2=8．5．过点M(2，0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于A，B两点，求|AB|．解：由题意知，l的方程为y=x-2，由

，得x2-8x+4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=8，x1x2=4，∴

．6．直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切证明：设AB的中点为E，过A，E，B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，则|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|=2|EH|∴EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，∴圆E和准线l相切．7．垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B两点，且|AB|= ，则直线AB的方程为

．8．已知等边三角形的一个顶点A位于原点，另外两个顶点B、C在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个等边三角形的边长．x=3解：由对称性可知，BC⊥x轴，设三角形的边长为2a，则B点坐标为

，代入抛物线方程解得：

，∴三角形的边长为

．9．如图，P是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FP为终边的角∠xFP=60o，求|FP|．解：∵F(1，0)，∠xFM=60o，∴