清华大学版理论力学课后习题集标准答案全集第6章刚体平面运动分析

6章刚体的平面运动分析

6-1图示半径为r的齿轮由曲柄0A带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄0A以等角加速度(Z绕

轴O转动，当运动开始时，角速度。0=0,转角90=0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。

解：4=(火+r)cos(p(1)

yA=(/?+?•)sin(2)

a为常数,当1=0时，。0=%=0

(p=-at2(3)

起始位置，尸与尸0重合，即起始位置A尸水

平，记NQ4P=。，则AP从起始水平位置至图示

AP位置转过

(PA=0+8

因动齿轮纯滚，故有原二分，即

R(p=r。

RR+r/A\

0n=-(p,(p=-------(p(4)

rAr

将(3)代入(1)、(2)、(4)得动齿轮以A为基点的平面运动方程为:

Ct7

XA=(/?+r)COSyZ

〃=(R+r)si吟/

1R+r2

外=5丁”

6-2杆AB斜靠于高为。的台阶角C处，一端A以匀速vo沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅

垂线的夹角，表示杆的角速度。

解：杆A3作平面运动，点C的

速度也沿杆AB如图所示。作速度

,c和％的垂线交于点P,点P即为

杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB

为

2

%_%COS0_VQCOS0

①AB~AP~AC~-h~

习题6—2图习题6—2解图

6-3图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为小试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速

度0A与有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。

解:co丛=上

ARR

①BVfi_=_L

2R—2R

6-4直径为606mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子较接，另一端与滑块C钱接。

设杆BC在水平位置时，滚子的角速度0=12rad/s,(9=30°,夕=60。，BC=270mm。试求该瞬时杆BC的

角速度和点C的速度。

解：杆BC的瞬

心在点P,滚子0的

瞬心在点D

vB=a)BD

v(0'BD

(Df>=—B=-----

cBPBP

12x606cos30。

一270sin30°

=8rad/s

习题6-4图习题6-4解图

%=①BLPC

=8x0.27cos30°=1.87m/s

6—5在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。

解：图（a）中平面运动的瞬心在点O,杆8C的瞬心在点C。

图（b）中平面运动的杆3C的瞬心在点P,杆AO做瞬时平移。

6—6图示的四连杆机械QABOi中，OA=O]B=—ABr曲柄OA的角速度。=3rad/s。试求当示。0=90°

2

而曲柄。山重合于的延长线上时，杆A8和曲柄OiB的角速度。

解：杆A8的瞬心在O

con=——=69=3rad/s

ABOA

CO()、B—=5/3tw=5.2rad/s

习题6-6图

6-7绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A有向右的速度％=0.8in/s,试求卷轴中心0

的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？

解:如图

0.6m

=—=1.333rad/s

°。=0.9-0.30.6

Q

VQ—0.9/0=0.9x—=1.2m/s

6

卷轴向右滚动。习题6-7图

6-8图示两齿条以速度〃和叱作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r,求齿轮的角速度

及其中心。的速度。

解：如图，以。为基点:

匕=%+

女=%一

解得：

6-9曲柄一滑块机构中，如曲柄角速度0=20rad/s,试求当曲柄OA在两铅垂位置和两水平位置时

配汽机构中气阀推杆OE的速度。己知Q4=400mm,AC=CB=200y/y?mm。

习题6-9图

解：。4定轴转动；AB、C。平面运动，DE平移。

1.当0=90°,270°时，0A处于铅垂位置，图

(a)表示0=90°情形，此时AB瞬时平移，vc水平，

而切只能沿铅垂，。为CD之瞬心

VDE=0

同理，*=270°时，VOE=0

2.e=180°,0°时，杆AB的瞬心在B

。=0°时，图(b),Vc=gv.(t)

此时CO杆瞬时平移

=口£>==义〃=4m/s(t)

同理180°时，VDE-4m/s(I)习题6—9解图

6—10杆AB长为一端钱接在半径为「二0.5m的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。

轮沿地面作纯滚动，已知轮心O速度的大小为田=20m/s。试求图示瞬时(OA水平)8点的速度以及轮和

杆的角速度。

解：轮0的速度瞬心

为点C，杆A8的速度瞬

心为点P

=%=22=4()rad/s

r0.5

vA=①。叵r=2(x/2m/s

v.20^2sin45°

=---------

AP1.5cos。

=10五=14.1rad/s

vBcos0=vAcos(45°+0)

00

vB=20V2(cos45-sin45tan0)=12.9m/s

6-11图示滑轮组中，绳索以速度依=0.12m/s下降，各轮半径已知，如图示。假设绳在轮上不打滑,

试求轮B的角速度与重物。的速度。

解：轮3瞬心在月点

VE=vc

-=^=1rad/s

60x2x10-30.12

VD=VB=2=2Vc=006向$

习题6一11图

6-12链杆式摆动传动机构如图所示，OCEA为一摇杆，且CA_LDE。曲柄0A=200mm,CO=CE=

250mm,曲柄转速〃=70i7min,CO=200A/3mm«试求当夕=90°时(这时04与C4成60°角)/、G

两点的速度的大小和方向。

习题6—12图

习题6—12解图

解：动点：。4上A；动系：DCEA；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动:

定轴转动。

〜“冗〃1由/10.7,

v=OAa)=0.2x——=----m/sv_=—v=——nm/s

八4303c243

v0.7兀7n..

g=—e=-----=—rad/sv=v=0.254tu=—m/s

cCA3x0.412EF°ne48

%=VE8s30°="•平=0.397m/s(f)

Vp=vc-0.397m/s(一)

6-13平面机构如图所示。已知：OA=A8=20cm,半径r=5cm的圆轮可沿铅垂面作纯滚

动。在图示位置时，0A水平，其角速度。=2rad/s、角加速度为零，杆AB处于铅垂。试求该瞬时：

(1)圆轮的角速度和角加速度；

(2)杆48的角加速度。

解：

(1)圆轮的角速度和角加速度

VA=OAO=AGcnVs

杆AB瞬时平移，(DAB=0

%=以=40cnVs

co=—=Srad/s

Br

aB~aBA=。

习题6—13解图

a=—=0

Br

(2)杆A8的角加速度。

以一力A=0，〃%=%=3•〃=80cnVs2

a=向±=4rad/s2

•AB

6-14图示机构由直角形曲杆A5C,等腰直角三角形板CEF,直杆。上等三个刚体和二个链杆较

接而成，DE杆绕力轴匀速转动，角速度为切0,求图示瞬时(AB水平，OE铅垂)点A的速度和三角板

点O习题6—14解图

v

A=-OA=2aco(}

(2)求三角板CEF的角加速度

a尸+a?=+ctpE+口£

将上式沿水平方向投影

aF=aFE=0(因为摩=0)

6-15曲柄连杆机构在其连杆中点C以钱链与CO相连接，DE杆可以绕E点转动。如曲柄的加速度

co=8rad/s,且。4=25cm,DE=100cm,若当8、E两点在同一铅垂线上时，。、A>B三点在同

♦水平线上，ZCDE=90°,求杆OE的角速度和杆A3的角加速度。

解：

（1）求杆£>E的角速度

VA=OA-co=200cnVs

杆AB的速度瞬心在点8

v=—=100cm/s

cr2

对杆CO应用速度投影定理

vD=vcsin30°=50cnVs

3p-=0.5rad/s

rl-DE

（2）求杆AB的角加速度

aB=aA+a'BA+a^A

将上式沿铅垂方向投影

也=0

aAB

AB

6-16试求在图示机构中，当曲柄OA和摇杆。山在铅垂位置时，B点的速度和加速度（切向和法向）。

曲柄0A以等角加速度a（）=5rad/s?转动，并在此瞬时其角速度为例）=IOrad/s»OA=r=200mm,O\B=

1000mm,AB=/=1200mm。

解：1.v*v—r(Oq

VB//V/\COAB=0

Vg=rco^=0.2x10=2m/s(1)

2.a：a£+a，=a；+a；+叱

上式沿AB方向投影得：

a'^sind+a'Hcos6=《sin6+a；cos0

a'B=a；tan。+a；-a,tan0

即2v；

-0.169+ra0--区0.169

O[B

=(0.2xIO2-^-)x0.169+0.2x5=3.70m/s2

/八0.20.2八…、

(lan。=一~~==-7=0.169)

71.22-0.227^4

端=^-=4m/s2

习题6—16解图

%=4m/s2

QB：CIB\.(方向如图)

{2

[aB=3.7m/s

6-17图示四连杆机构中，长为r的曲柄OA以等

角速度砒）转动，连杆A6长/二4r0设某瞬时NOiOA=

ZOiBA=30°o试求在此瞬时曲柄。出的角速度和角加

速度，并求连杆中点P的加速度。

解：1.v：以=s）

由速度投影定理知：vz?=O

①QB二°

“_s_g

①AB

(a)

2.a-.aB=a'B=aA+a'^A+a'BA

上式向四投影

a'Bcos60°=aA+a嬴

*-2（%+。益）=2（m＞；+1%）

r

_4424cos30。52戊.旧2

%止~oji~~5r--5r-一-5r-一

2cos30°

l

aBA-*cos30°=■—•g

6-18滑块以匀速度ws=2m/s沿铅垂滑槽向下滑动，通过连杆AB带动轮子A沿水平面作纯滚动。设连

杆长/=800mm,轮子半径r=200mm。当AB与铅垂线成角0=30。时，求此时点A的加速度及连杆、轮子的

角加速度。

解：1.v：点O为杆AB的速度瞬心J4jA

①AB5rad/s

OB/sin。

2.a：aA=a\B+a\B

心=脸/=20而

2

a\H=a\Bcot0-20V3nVs

aAB

2

=^AB_的Ms

sin。

=^-=—=200m/s2

r0.2

习题6-18解图

6-19图示曲柄摇块机构中，曲柄04以角速度@绕。轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动；摇块

及与其刚性连结的BO杆则绕B皎转动，杆BD长/。求在图示位置时，摇块的角速度及。点的速度。

解:

%=以sin30。=停

刃摇块一0c=一

ZJLC

CDc

VD~DB•0摇块=—习题6-19解图

6-20平面机构的曲柄OA长为2a,以角速度他绕轴。转动。在图示位置时，AB=BO且ZOAD=90°»

求此时套筒D相对于杆BC的速度。

解：1.分析滑块B

UA=2ag,丫佻=4。0

v二V一二2ag

Ba~cos300-V3

2.杆A£＞作平面运动

Qno4atyo

vA=vDacos30°,vDa=—^

3.分析滑块。

2a0）（.2ag