一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》（人教版）

专题1.3一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）【题型1由根的判别式判断方程根的情况】【题型2由方程方程根的情况求字母的取值范围】【题型3由根的判别式证明方程求根的必然情况】【题型4由根与系数的关系求代数式（直接）】【题型5由根与系数的关系求代数式（代换）】【题型6由根与系数的关系求代数式（降次）】【题型7构造一元二次方程求代数式的值】【题型8已知方程根的情况判断另一个根】【题型1由根的判别式判断方程根的情况】1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有一个实数根 D．有两个不等的实数根【答案】D【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，∴一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．故选：D．2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根【答案】A【解答】解：由新定义得：x2+x﹣1＝0，∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根【答案】A【解答】解：∵Δ＝22﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，∴一元二次方程x2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根．故选：A．4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根【答案】A【解答】解：2x2﹣5x+6＝0，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，∴原方程没有实数根．故选：A．5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（）A．无实根 B．有实根 C．有两个不相等实根 D．有两个相等实根【答案】C【解答】解：∵x2﹣（k+3）x+2k+1＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+1）＝k2+6k+9﹣8k﹣4＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∵（k﹣1）2≥0，∴Δ＝（k﹣1）2+4≥4＞0，∴方程有两个不相等的实根．故选：C．6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定【答案】B【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣1）＝m2+8＞0，∴一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：B．7．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根【答案】A【解答】解：∵（x﹣1）2＝x+3，∴x2+1﹣2x＝x+3，∴x2﹣3x﹣2＝0，∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0．∴原方程有两个不相等的实数根．故答案选：A．8．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根【答案】A【解答】解：∵Δ＝k2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴方程有两个实数根．故选：A．【题型2由方程方程根的情况求字母的取值范围】9．（2023•洛阳二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k≤4 D．k＜4【答案】C【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+k＝0有两个实数根，∴△≥0，即Δ＝16﹣4k≥0，解得k≤4．故k的取值范围为：k≤4；故选：C．10．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤1B．m≤﹣1C．m＜﹣1 D．m≥﹣1且m≠0【答案】B【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，∴Δ≥0，即42﹣4×1×（m+5）≥0，解得m≤﹣1，故选：B．11．（2023•东莞市校级一模）已知方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值（）A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k＞1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0【答案】D【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＞0，所以k＞﹣1且k≠0．故选：D．12．（2023春•洞头区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．﹣36 B．﹣9 C．9 D．36【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，解得c＝9，故选：C．13．（2023•阿克苏市一模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A． B． C．k＜且k≠2 D．且k≠2【答案】D【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝22﹣4（k﹣2）×3≥0，解得k≤且k≠2，故选：D．14．（2023•贵阳模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．2【答案】A【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0无实数根，∴Δ＝（﹣4）2+4k＜0，∴k＜﹣4，∴四个选项中，只有A选项符合题意．故选：A．【题型3由根的判别式证明方程求根的必然情况】15．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．【答案】（1）见解答；（2）﹣1.5．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣1）＝4k2+1﹣4k+4k+4＝4k2+5＞0，∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，由x1+x2﹣4x1x2＝2得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣1）＝2，解得：k＝﹣1.5．16．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．【答案】（1）证明见解答过程；（2）m＝1或m＝﹣3．．【解答】（1）证明：在关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0中a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1，所以Δ＝m2+4m+4﹣4m+4＝m2+8，无论m取何值，m2+8＞0，所以，无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：因为a和b是这个一元二次方程的两个根，所以a+b＝m+2，ab＝m﹣1，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（m+2）2﹣2m+2＝m2+2m+6＝（m+1）2+5＝9．解得m＝1或m＝﹣3．17．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．【答案】（1）略；（2）k的值为0或2．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2k，c＝k2﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）由题意得12﹣2k×1+k2﹣1＝0，整理，得k2﹣2k＝0，解得k1＝0，k2＝2，∴k的值为0或2．18．（2023•金溪县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．​（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k值．【答案】（1）见解答；（2）k＝9或k＝10．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）（x﹣k﹣1）＝0，解得：x1＝k，x2＝k+1．当等腰△ABC的腰长为10时，∴k＝10或k+1＝10，∴k＝9，解得：k＝9或k＝10．19．（2023•长安区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．【答案】（1）见解答；（2）m＝2．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵该方程的一个根为x＝0，∴m2﹣4＝0，解得m＝±2，∵m是正数，∴m＝2．20．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．【答案】（1）见解答；（2）x＝﹣2或x＝1．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：m＝0时，判别式的值最小，把m＝0代入方程，x2+x﹣2＝0，（x+2）（x﹣1）＝0，∴x＝﹣2或x＝1．【题型4由根与系数的关系求代数式（直接）】21．（2023•红桥区模拟）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值等于（）A．﹣4 B．4 C．﹣12 D．12【答案】A【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝﹣＝﹣4，故选：A．22．（2023•五华县校级开学）设一元二次方程x2﹣12x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【答案】D【解答】解：x2﹣12x+3＝0，∴a＝1，b＝﹣12，c＝3，x1x2＝＝3，故选：D．23．（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】D【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，所以x1+x2+2x1x2＝﹣4+2×3＝2．故选：D．24．（2023•长丰县模拟）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1【答案】A【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，∴m+n＝2，mn＝﹣3，∴m+n﹣mn＝2+3＝5，故选：A．【题型5由根与系数的关系求代数式（代换）】25．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由题意得x1+x2＝﹣＝4，x1x2＝＝3，∴＝＝，故选：C．26．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（）A．19 B．9 C．1 D．﹣1【答案】A【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5，∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝9+10＝19．故选：A．27．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则的值是（）A．2 B．﹣4 C．﹣6 D．2或﹣6【答案】D【解答】解：当m≠n时，∴m、n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，∴m+n＝2，mn＝﹣1，∴原式＝＝＝＝﹣6，当m＝n时，原式＝1+1＝2，故的值是2或﹣6．故选：D．28．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．﹣10 B．10 C．3 D．0【答案】D【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根，∴m2+2m﹣5＝0，即m2＝5﹣2m，∴m2+mn+2m＝5﹣2m+mn﹣2m＝5+mn，∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，∴mn＝﹣5，∴m2+mn+2m＝5﹣5＝0．故选：D．29．（2022秋•南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1、x2，则x2+x1的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【答案】D【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别是x1，x2，∴，，∴．故选：D．30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（）A．2023 B．2022 C．2020 D．2019【答案】D【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，∴m2+2m＝2023，m+n＝﹣2，∴m2+4m+2n＝（m2+2m）+2（m+n）＝2023+（﹣4）＝2019．故选：D【题型6由根与系数的关系求代数式（降次）】31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（）A．4047 B．4045 C．2023 D．1【答案】A【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，∴，x1x2＝﹣2023，x1+x2＝1，∴＝，故选：A．32．（2022秋•嘉陵区校级期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（）A．2018 B．2012 C．﹣2012 D．﹣2018【答案】A【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，∴m2+m﹣3＝0，∴m2＝﹣m+3，∴m3＝m（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（﹣m+3）+3m＝4m﹣3，∴m3+4n﹣mn+2022＝4m﹣3+4n﹣mn+2022＝4（m+n）﹣mn+2019，∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，∴原式＝4×（﹣1）﹣（﹣3）+2019＝﹣4+3+2019＝2018．故选：A．【题型7构造一元二次方程求代数式的值】33．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（）A．0 B．﹣2018 C．﹣2023 D．﹣2024【答案】B【解答】解：∵α为方程x2+2023x﹣5＝0的根，∴α2+2023α﹣5＝0，∴α2＝﹣2023α+5，∴α2+β+2024α＝﹣2023α+5+β+2024α＝α+β+5，∵方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，∴α+β＝﹣2023，∴α2+β+2024α＝﹣2023+5＝﹣2018．故选：B．34．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【解答】解：∵m、n是一元二次方x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，∴m+n＝1，∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的实数根，∴m2﹣m＝2024，∵m2﹣2m﹣n＝m2﹣m﹣（m+n）＝2024﹣1＝2023，故选：D．35．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【解答】解：∵a是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的根，∴a2+3a﹣2010＝0，∴a2＝﹣3a+2010，∴a2﹣a﹣4b＝﹣3a+2010﹣a﹣4b＝﹣4（a+b）+2010，∵a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，∴a+b＝﹣3，∴a2﹣a﹣4b＝﹣4×（﹣3）+2010＝2022．故选：C．36．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】B【解答】解：∵m、n是一元二次方x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，∴m+n＝1，∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的实数根，∴m2﹣m＝2022，∵m2﹣2m﹣n＝m2﹣m﹣（m+n）＝2022﹣1＝2021，故选：B37．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（）A．6076 B．﹣6074 C．6040 D．﹣6040【答案】B【解答】解：∵α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，∴α2+2019α﹣2＝0，β2+2019β﹣2＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝﹣2，∴α2＝2﹣2019α，β2＝2﹣2019β，∴（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）＝（2﹣2019α+2022α﹣1）（2﹣2019β+2022β﹣1）＝（1+3α）（1+3β）＝1+3（α+β）+9αβ＝1+3×（﹣2019）+9×（﹣2）＝﹣6074．故选：B．38．（2022秋•莲池区校级期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．12【答案】B【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，∴m2+