全国高考数学试卷(理科专用)

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

考生注意：

1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形

码的“准考证号、姓名、考试科目〃与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合4={以*<2},B={R3—2X>0},贝lj

A.Q8=|x|x<|j-B.A^\B=0

c.408=［木<|■:D.AUB=R

2.为评估一种农作物的种植效果，选了"块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为X1，xz,…，

X",下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

A.Xl,X2,…，X”的平均数B.Xl,X2,Xn的标准差

C.X1,X2,X”的最大值D.Xi,X2....X。的中位数

3.下列各式的运算结果为纯虚数的是

A.i(l+i)2B.i2(l-i)C.(1+i)2D.i(l+i)

4.如图，正方形ABC。内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形

的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

1

A.-

4

5.已知F是双曲线C：x2-a=l的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3).则AAPF的

面积为

1123

A.§B.5C.-D.万

6.如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则在这四个正方体

中，直接43与平面MNQ不平行的是

x+3y<3,

7.设x,y满足约束条件x-y>t则z=x+y的最大值为

y>0,

A.0B.1C.2D.3

8..函数丁=上四■的部分图像大致为

1-COSX

9.已知函数/(x)=lnx+ln(2-x),则

A./(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减

C.y=/(x)的图像关于直线x=l对称D.y=/(x)的图像关于点(1，。)对称

10.如图是为了求出满足3"-2">1000的最小偶数”，那么在。*和匚二|两个空白框中，可以分别填入

/输出〃/

A.A>1000和n=n+lB.A>1000和n=c+2

C.AS1000和n=n+lD.4<1000和n=n+2

11.△ABC的内角A、8,C的对边分别为a、b、c。已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=&,则

C=

兀兀兀兀

A.—B.-C.-D.一

12643

22

12.设A、8是椭圆C：一V+上v-=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足NAMB=120。，则m的取值范围

3m

是

A.(0,l]U[9,+co)B.((),向U[9,+oo)

C.(0,l]U[4,+co)D.((),6]U[4,+8)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量。=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与。垂直，则m=.

14.曲线丁=%2+，在点(1,2)处的切线方程为.

X

jlTI

15.已知aw(0,—),tana=2,则cos(a——)=。

24

16.已知三棱锥S-48C的所有顶点都在球。的球面上，SC是球。的直径。若平面SGAJ_平面5CB,SA=ACf

SB=BC,三棱锥S-48C的体积为9,则球。的表面积为。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（12分）

记5n为等比数列｛q｝的前n项和，已知S2=2,S3=-6.

（1）求｛。”｝的通项公式；

（2）求分,并判断S+1,Sn,5/2是否成等差数列.

18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，48〃8,且NBAP=NCDP=90

(1)证明：平面PABJ■平面PAD；

Q

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAP。=90,且四棱锥P-ABCD的体积为屋求该四棱锥的侧面积.

19.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个

零件，并测量其尺寸（单位：cm）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸10.110.010.0

9.959.969.969.929.98

214

抽取次序910111213141516

零件尺寸10.210.110.010.010.0

9.919.229.95

63245

经计算底痣116“97―七rj"""1刀6中5l~i磨16-一.…⑵

1616

Z（i—8.5）2*18.439,£（玉_于）«_8.5）=-2.78,其中x,为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,…,16.

/=!i=l

（1）求（七①（1=1,2,…,16）的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进

行而系统地变大或变小（若|川＜0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）.

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（亍-3s,元+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的

生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ii）在叵-3s,元+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸

的均值与标准差.（精确到0Q1）

才（七一元）（丫一刃

附：样本（1,％）（i=l,2,…的相关系数「=。'T，V0.008«0.09.

20.(12分)设48为曲线C：y=二上两点，A与8的横坐标之和为4.

4

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A8平行，且AM18M,求直线AB的方程.

21.(12分)

己知函数/(X)=e"(e*-a)-a2x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)20,求a的取值范围.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(9为参数)，直线/的参数方程为

［y=sm/

+4%为参数).

1丫=1一,

(1)若a=-l,求C与/的交点坐标：

(2)若C上的点到/的距离的最大值为J万，求a.

高中数学高考专题复习06立体几何(解答题)

1.【2019年高考全国I卷理数】如图，直四棱柱A8CM囚GOi的底面是菱形，A4i=4,AB=2,ZBAD=60°,

E,M,N分别是8C,BBi,A。的中点.

(1)证明：MN〃平面CQE；

(2)求二面角A-M4-N的正弦值.

2.【2019年高考全国II卷理数】如图，长方体的底面ABCO是正方形，点E在棱AAi上,

BE±ECt.

(1)证明：BE,平面ESG；

(2)若AE=A|E,求二面角B-EC-G的正弦值.

3.【2019年高考全国III卷理数】图1是由矩形AQE8,RMABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中

AB=\,BE=BF=2,ZFBC=60°,将其沿A3,BC折起使得BE与BF重合，连结QG,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABCJ_平面BCGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

4.【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P-ABC。中，PA，平面ABC。,8,A3〃BC,PA=AO=CD=2,

PF1

BC=3.E为PD的中点，点尸在PC上，且一=-.

PC3

(1)求证：。_1平面尸4)；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

(3)设点G在PB上，且上=2.判断直线4G是否在平面AEF内，说明理由.

PB3

5.[2019年高考天津卷理数】如图，平面ABC。，CF//AE,AD//BC,AD±AB,

AB=AD=\,AE=BC=2.

(1)求证：BE〃平面AOE；

(2)求直线CE与平面8DE所成角的正弦值；

(3)若二面角七一5。-歹的余弦值为:，求线段CE的长.

6.【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC—45G中，D,E分别为BC,AC的中点，AB=BC.

求证：(1)AIBI〃平面。ECi；

(2)BEl.CtE.

7.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱ABC—4与£,平面4ACG，平面A8C,NA3C=90°,

ZBAC=30。,AA=A。=AC,E,F分别是AC,A.B,的中点.

(1)证明：EF±BC；

(2)求直线EF与平面4BC所成角的余弦值.

Cl

8.【2018年高考全国I卷理数】如图，四边形A5CD为正方形，分别为的中点，以DF为

折痕把△OFC折起，使点C到达点P的位置，且P尸上BF.

(1)证明：平面平面ABED；

(2)求0P与平面ABED所成角的正弦值.

9.【2018年高考全国n卷理数】如图，在三棱锥尸-ABC中，AB=BC=2五,PA=PB=PC=AC=4,O

为AC的中点.

(1)证明：POJ_平面ABC；

(2)若点M在棱上，且二面角C为30。，求PC与平面所成角的正弦值.

10.【2018年高考全国m卷理数】如图,边长为2的正方形A8CD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,

M是CD上异于C，O的点.

(1)证明：平面4WO,平面四0C;

(2)当三棱锥"-AfiC体积最大时,求面与面MCD所成二面角的正弦值.

11.【2018年高考江苏卷】如图，在正三棱柱ABC-A冏G中，AB=A4=2,点P,。分别为A同，BC的中

点.

(1)求异面直线8尸与AG所成角的余弦值；

(2)求直线CG与平面AQC所成角的正弦值.

12.【2018年高考江苏卷】在平行六面体ABC。-A4G。中，AA]=AB,AB]±B]C,.

求证：(1)平面4片。；

(2)平面48片4，平面.

13.【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体A3C45G,A】A,BiB,GC均垂直于平面A3C,ZABC=120°,

AA=4,CiC=l,AB=BC=B\B=2.

(1)证明:AS上平面AiSG；

(2)求直线AG与平面ABBi所成的角的正弦值.

14.【2018年高考北京卷理数】如图，在三棱柱ABC-A4G中,CCJ平面ABC,D,E,F,G分别为仪，

AC,AG，网的中点，A8=BC=石，AC=AA]=2.

(1)求证：AC_L平面8EF；

(2)求二面角-G的余弦值；

(3)证明：直线尸G与平面8。相交.

15.【2018年高考天津卷理数】如图，AZ)〃BC且4£＞=2BC,A£＞，CO,EG〃AE＞且EG=AO,CD//FG

且CD=2FG,OG_L平面ABC。，DA=DC=DG=2.

(1)若M为C尸的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面CDE；

(2)求二面角E—BC—尸的正弦值；

(3)若点P在线段OG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60。，求线段DP的长.

16.【2017年高考全国I卷理数】如图，在四棱锥P-ABCO中，AB//CD,且N84P=NCQP=90.

(1)证明：平面附8J_平面BAD；

(2)若%=PZ)=4B=OC,ZAPD=90，求二面角A-PB-C的余弦值.

17.【2017年高考江苏卷】如图，在三棱锥A-BCD中，ABLA。，BC1.BD,平面43。，平面BCQ,点E,

尸(E与A,。不重合)分别在棱4。，上，且EFL4D

求证：(1)EF〃平面48C；

(2)AD±AC.

18.【2017年高考江苏卷】如图，在平行六面体A8CEM/iGA中，A4iJ_平面ABC。，S.AB=AD=2,A4i=

5ZBAD=120°.

(1)求异面直线48与4G所成角的余弦值；

(2)求二面角B-AQ-A的正弦值.

19.【2017年高考山东卷理数】如图，儿何体是圆柱的一部分，它是由矩形A3CD(及其内部)以A3边所

在直线为旋转轴旋转120。得到的，G是0/7的中点.

(1)设P是CE上的一点，且APLBE,求NC8P的大小；

(2)当A8=3,4)=2时，求二面角E-AG-C的大小.

20.【2017年高考全国n理数】如图，四棱锥P-ABC。中，侧面PAQ为等边三角形且垂直于底面A8CD,

A8=6C=2AO,N8AQ=ZABC=90°,E是尸。的中点.

2

(1)证明：直线CE〃平面"8；

(2)点M在棱PC上，且直线与底面ABCC所成角为45°，求二面角M—AB—。的余弦值.

21.【2017年高考全国III理数】如图，四面体ABCQ中，AABC是正三角形，△ACQ是直角三角形，ZABD=

ZCBD,AB=BD.

D

(1)证明：平面ACC平面ABC；

(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-

C的余弦值.

22.【2017年高考浙江卷】如图，已知四棱锥P-ABCQ,是以AO为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,

CDLAD,PC=AD=2DC=2CB,E为尸。的中点.

(1)证明：CE〃平面PA8；

(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

23.[2017年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P-A8C。中，底面ABCD为正方形，平面PAOL平面ABCD,

点M在线段尸8上，PD〃平面MAC,PA=PD=y[6>AB=4.

(1)求证：M为PB的中点;

(2)求二面角2-PD-A的大小；

(3)求直线MC与平面所成角的正弦值.

24.【2017年高考天津卷理数】如图，在三棱锥P/BC中，以，底面ABC,NB4C=90°.点。,E,N分

别为棱以，PC,BC的中点，M是线段AO的中点，PA=AC=4,AB=2.

(1)求证：MN〃平面B£>E；

求二面角C-EMW的正弦值;

已知点〃在棱用上，且直线NH与直线8E所成角的余弦值为立，求线段AH的长.

(3)

21

8

2020年全国统一高考数学试卷（文科）

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4={X|/-3X-4<0},B={-4,1,3,5},则4nB=（）

A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.[1,3}

2.若z=l+2i+i3,则|z|=（）

A.0B.1C.V2D.2

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正

方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值

为（）

A.-B.'C.四D.①

4242

4.设。为正方形ABC。的中心，在。，A,B,C,。中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度单位：°C）的关系，在20个不同的温度条

由此散点图，在10久至40久之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率），和温度x的回归方程类

型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx

6.已知圆/+y2—6x=o,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

7.设函数/'（X）=C0S（3X+$在［一兀,用的图象大致如图，则/（X）的最小正周期为（）

8.设出0。34=2,贝114一。=()

9.执行如图的程序框图，则输出的n=（）

A.17B.19C.21D.23

a2

10.设｛ci"｝是等比数列，且％+。2+。3=1，a2+3+«4=>则a6+a7+a8=()

A.12B.24C.30D.32

11.设Fi，尸2是双曲线C：/-9=1的两个焦点，。为坐标原点，点P在C上且|OP|=2,则的面

积为()

A.；B.3C.-D.2

22

12.已知A,SC为球0的球面上的三个点，OOi为44BC的外接圆.若。01的面积为4兀,AB=BC=AC=

。。1，则球O的表面积为()

A.64?rB.487rC.367rD.32兀

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

2x4-y—2<0,

13.若x,y满足约束条件无一y-lNO,贝旧=x+7y的最大值为.

',y+1>0,

14.设向量五=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若五13,则m=.

15.曲线丫=伍》+刀+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

n

16.数列｛a夕满足%+2+(-l)an=3n-1,前16项和为540,则%=.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A,B,C,。四个等级.加工业务约

定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于£>级品，厂家

每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,

乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这

种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数40202020

乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数28173421

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接

加工业务？

18.△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150。.

(1)若a=V3c.b=2V7,求仆ABC的面积；

(2)若+y/3sinC=孝，求C.

19.如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角

形，P为。。上一点，/.APC=90°.

(1)证明：平面PABJ■平面PAC；

(2)设。0=或，圆锥的侧面积为日兀，求三棱锥P-48C的体积.

20.已知函数/(x)=e*-a(久+2).

(1)当a=l时，讨论/(%)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

2

21.已知A,8分别为椭圆氏京+y2=1®>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，布.旗=8.P为直线x=6

上的动点，幺与E的另一交点为C,与E的另一交点为£>.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

22.在直角坐标系xOy中，曲线Q的参数方程为二;靠;'(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴

建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4pcos0-16Psm0+3=0.

(1)当k=l时，Q是什么曲线？

(2)当々=4时，求G与C2的公共点的直角坐标.

23.已知函数/(x)=|3x+1|-2|x-1|.

(1)画出y=f(x)的图象；

(2)求不等式/(x)>/(X+1)的解集.

y.

1

o1

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={幻％2-3%-4<0}=(-1,4),B={-4,1,3,5),

则4CB={1,3},

故选：D.

求解一元二次不等式化简A,再由交集运算得答案.

本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题.

根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可.

【解答】

解：z=l+2i+i3=l+2i—i=l+i,

22

A\z\=Vl+I=y/2-

故选：C.

3.【答案】C

【解析】解：设正四棱锥的高为力，底面边长为小侧面三角形底边上的高为”,

h2=-ah'

则依题意有：2

Hi—)，

因此有方2一G)2==4(}_2(?)—1=0=£=宇(负值舍去)；

故选：C.

先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论.

本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型概率问题，属于基础题.

根据古典概率公式即可求出.

【解答】

解：。，A,B,C,。中任取3点，共有盘=10,

其中共线为A,O,C和3,O,。两种，

故取到的3点共线的概率为P=W，

故选：A.

5.【答案】D

【解析】解：由散点图可知，在10久至40式之间，发芽率y和温度x所对应的点(x,y)在一段对数函数的曲线

附近，

结合选项可知，y=a+4nx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型.

故选：D.

直接由散点图结合给出的选项得答案.

本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：由圆的方程可得圆心坐标C(3,0),半径r=3；

设圆心到直线的距离为d,则过。(1,2)的直线与圆的相交弦长=23—d2,

当d最大时|AB|最小，当直线与CO所在的直线垂直时4最大，这时d=\CD\=7(3-I)2+(2-0)2=2症,

所以最小的弦长|AB|=2J32-(2或型=2，

故选：B.

由相交弦长|4B|和圆的半径r及圆心C到过。(1,2)的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即

圆心到直线的距离的最大时，而当直线与C。垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值.

本题考查直线与圆相交的相交弦长公式，及圆心到直线的距离的最大时的求法，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题.

由图象观察可得最小正周期小于与，大于雪，排除A,。；再对照选项B,C求得3,代入/(-与)=0计算,

即可得到结论.

【解答】

解：由图象可得最小正周期小于九一(一书=子，大于2X("9=华，排除A,D；

由图象可得/(-?)=cos(—?3+勺=0,

yyo

即为——3+巳=kTl+三，kEZ9(*)

962

若选8,即有3=要=孩，由一?X¥+%="+或可得k不为整数，排除B；

若选C,即有3=1=|,由一等可得k=-l，成立.

349262

故选：C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题.

直接根据对数和指数的运算性质即可求出.

【解答】

解：因为出。%4=2,则log34a=2,则4a=32=9

则户=*=孑

故选:B.

9.【答案】C

【解析】解：n=1,S=0,

第一次执行循环体后，5=1,不满足退出循环的条件，n=3；

第二次执行循环体后，5=4,不满足退出循环的条件，n=5；

第三次执行循环体后，S=9,不满足退出循环的条件，n=7；

第四次执行循环体后，5=16,不满足退出循环的条件，n=9；

第五次执行循环体后，5=25,不满足退出循环的条件，n=ll；

第六次执行循环体后，5=36,不满足退出循环的条件，n=13；

第七次执行循环体后，S=49,不满足退出循环的条件，n=15；

第八次执行循环体后，5=64,不满足退出循环的条件，n=17；

第九次执行循环体后，5=81,不满足退出循环的条件，n=19；

第十次执行循环体后，5=100,不满足退出循环的条件，n=21；

第十一次执行循环体后，5=121,满足退出循环的条件，

故输出“值为21,

故选：C.

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，分析循环中各变量值的变

化情况，可得答案.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.

10.【答案】D

【解析】解：｛册｝是等比数列，且由+&2+。3=1，

则。2+=q(&++。3)，即q=2,

55

•••a6+a7+a8=q(a1+a2+a3)=2x1=32>

故选：D.

根据等比数列的性质即可求出.

本题考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题.

11.【答案】B

【解析】解：由题意可得a=1,b=V3>c=2,

二I&F2I=2c=4,

•••IOPI=2,

・•・△PF1F2为直角三角形，

••・PF11PF2，

222

A|PF1|+|PF2|=4C=16,

-\\PF1\-\PF2\\=2a=2,

22

|PF1|+|PF2|-2|PF1|-|PF2|=4,

•••|PFII“PF2|=6,

：・△PF/2的面积为S=11^11•\PF2\=3,

故选：B.

先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出.

本题考查了双曲线的性质，直角三角形的性质，双曲线的定义，三角形的面积，属于中档题.

12.【答案】A

【解析】解：由题意可知图形如图：O。1的面积为4兀，可得。遇=2,则

|幽=ABsin60°,“01=当AB,

AB=BC=AC=。。1=2V3.

外接球的半径为：R=JA0：+。0盛=4,

球O的表面积：4x42xJi=647r.

故选：A.

画出图形，利用已知条件求出。01，然后求解球的半径，即可求解球的表

面积.

本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键.

13.【答案】1

2%+y—240,

【解析】解：X,y满足约束条件x-y—l20,,

（y+1>0,

不等式组表示的平面区域如图所示，

由仁芝_二,°，可得做1,0）时,目标函数z=x+7y,可得y=

1.1

一尹+产

当直线y=-^x+^z，过点A时，在），轴上截距最大，

此时z取得最大值：1+7x0=1.

故答案为：1.

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.

14.【答案】5

【解析】解：向量五=(1,一1),b=(m+l,2m-4)，若五_L方,

则五•b=m+1—(2m-4)=-m+5=0，

则m—5,

故答案为：5

根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果.

本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题.

15.【答案】y=2x

【解析】

【分析】

本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

求得函数y=bix+x+l的导数，设切点为可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线

的方程.

【解答】

解：y=Inx+x+1的导数为y'=：+1,

设切点为(ni,n),可得k=l+\=2,

解得m=1,即有切点(1,2),

则切线的方程为y-2=2(x—1),即y=2x,

故答案为：y=2x.

16.【答案】7

【解析】解：由an+2+(-l)na„=3n-1,

当“为奇数时，有an+2-an=3n-1,

可得斯—O-n-2=3(n—2)—1,

a3—aj=3-1—1,

累加可得a”—的=3[1+34------卜(n—2)]——

71-1

[l+(n-2)]«—n-1(n-l)(3n-5).

=□---------------------------------；

224

当〃为偶数时，an+2+an=3n-1,

可1*寻Q4+=5,CLQ+=17,@12+Qj,0=29,QI6+014=41.

可得。2+。4■1----H。16=92.

・•・Qi+a3H------Fa15=448.

8%+；(0+8+40+96+176+280+408+560)=448,

8al=56,即％=7.

故答案为：7.

在已知数列递推式中，分别取〃为奇数与偶数，可得即一册_2=3(71-2)—1与即+2+即=371—1,利用累

加法得到〃为奇数时即与的的关系，求出偶数项的和，然后列式求解的.

本题考查数列递推式，考查等差数列的前"项和，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：(1)由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40,故频率为盘=0.4,

乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28,故频率为喘=0.28,

故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别是0.4,0.28；

(2)由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4,0.2,0.2,0.2,

故其平均利润为(90-25)x0.4+(50-25)x0.2+(20-25)x0.2+(-50-25)x0.2=15(元);

同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28,0.17,0.34,0.21,

故其平均利润为(90-20)X0.28+(50-20)x0.17+(20-20)X0.34+(-50-20)X0.21=10(元)；

因为15>10,所以选择甲分厂承接更好.

【解析】(1)根据表格数据得到甲乙A级品的频数分别为40,28,即可求得相应频率;

(2)根据所给数据分别求出甲乙的平均利润即可.

本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.

18.【答案】解：中，B=150°,a=Wc,b=2«,

222

a+c-b3C2+C2-28V3

COSBo=------------=------—=--------，

2ac2y/3c22

»•C=2.jQ,—2^3r

••・S&ABC=^acsinB=1-2遮•2-1=V3.

(2)sinA+y/3sinC=

即sin(180。-150°-C)+y/3sinC=号

化简得三cosC+—sinC=—»

222

sin(C+30。)=4，

V0°<C<30°,

••・30°<C+30°<60°,

・・・C4-30°=45°,

AC=15°.

【解析】(1)根据题意，B=150°,通过余弦定理，即可求得c=2,a=2V3,进而通过三角形面积公式=

-acsinB=2^3-2--=y/3.

222

(2)通过三角形三边和为180。，将4=180。-150。-C代入sin4+遮sinC=¥，根据C的范围，即可求得。=

15°.

本题主要考查解三角形中余弦定理的应用，结合三角恒等变换中辅助角公式的应用，属于基础题.

19.【答案】解：（1）连接。4,OB,OC,AaBC是底面的内接正三角形,

所以4B=BC=4C.

O是圆锥底面的圆心，所以：04=0B=0C,

所以AP=BP=CP=OA2+OP2=OB2+OP2=OC2+OP2,

所以△APB三△BPC=^APC,

由于N4PC=90°.

所以44PB=乙BPC=9。。

所以AP_LBP,CP1BP,AP,PCu平面4PC,

由于4PCCP=P,

所以BP_L平面APC,

由于BPu平面PAB,

所以：平面PAB1平面PAC.

(2)设圆锥的底面半径为匕圆锥的母线长为I,

所以/=V2+r2.

由于圆锥的侧面积为百兀，

所以兀-r-y/2+r2=A/3TT,整理得(N+3)(r2—1)=0,

解得r=1.

所以AB=Jl+l-2xlxlx(-|)=V3.

由于/P2+8p2=4^2,解得ap=

则：/TBC=：X；xJ|x*x*=苧.

【解析】(1)首先利用三角形的全等的应用求出4P，BP,CP1BP,进一步求出二面角的平面角为直角，进

一步求出结论.

(2)利用锥体的体积公式和圆锥的侧面积公式的应用及勾股定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：面面垂直的判定和性质的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力

和转换能力及思维能力，属于中档题型.

20.【答案】解：由题意,f(约的定义域为(-8,+8),且/(%)=婚一Q.

(1)当a=l时，=令/(x)=0,解得％=0.

二当％E(-8,0)时，(。)<o,/(%)单调递减，

当%€(0,+8)时，f(x)>0,/(%)单调递增.

/(%)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；

(2)①当a40时，f'(x)=e，-Q>0恒成立，/(X)在(-8,+8)上单调递增，不合题意;

②当a>0时，令/。)=0,解得％=Ina,

当%G(一8,加Q)时，f(x)<0,f(%)单调递减,

当%6(仇见+8)时，f'(x)>0,f(x)单调递增.

:./(%)的极小值也是最小值为/'(ma)-a-a(lna+2)=—a(l+Ina).

又当％T—8时，f(X)T+8,当％T+8时，/(X)->H-OO.

・••耍使/(%)有两个零点，只耍/(仇Q)V0即可，

则1+Ina>0,可得Q〉e

综上，若/Xx)有两个零点，则a的取值范围是(%+8).

【解析】(1)当a=1时，/''(x)=e、-1,求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在

各区间段内的符号求得原函数的单调性；

(2)当aWO时，［。)=/一。>0恒成立，f(x)在(-8,+8)上单调递增，不合题意；当a>0时，利用导数

可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得。的取值范围.

本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围,

是中档题.

21.【答案】解：(1)由题设得,A(-a,0),B(a,O),G(0,l),则怒=

(a,1),GB=(a,-1)>

由布•布=8得a?-1=8,即a=3,

所以E的方程为q+y2=i.

(2)设CQi，%),。(超而，P(6,t),

若tH0,设直线CD的方程为x=my+n,由题可知，-3<n<3,

由于直线PA的方程为y=：(x+3),所以%="小+3),同理可得刈=沁2-3),

于是有3yl(小-3)=y2(x1+3)①.

由于遗+另=1,所以通=_9嗯

99

mn

将其代入①式，消去%2-3,可得27yly2=